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【金识源】高中数学 3.1.1 倾斜角与斜率课件 新人教A版必修2


3.1.1

倾斜角与斜率

直线的倾斜角 [提出问题]
在平面直角坐标系中,直线l经过点P. 问题1:直线l的位置能够确定吗? 提示:不能. 问题2:过点P可以作与l相交的直线多少条?

提示:无数条.
问题3:上述问题中的所有直线有什么区别? 提示:倾斜程度不同.

[导入新知] 1.倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,

x轴_________ 正方向 与直线l______ 向上 方向之间所成的角叫做直线l的倾
斜角.如图所示,直线l的倾斜角是∠APx,直线l′的倾斜角是 ∠BPx. 2.倾斜角的范围:直线的倾斜角α的取值范围是 0°≤α<180° ,并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角 ________________

为0°.

3.倾斜角与直线形状的关系

倾斜角

α=0°

0° <α<90°

α=90°

90° <α<180°

直线

[化解疑难]
对直线的倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件: ①x轴正向;②直线向上的方向;③小于180°的非负角. (2)从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴按逆时

针方向旋转到与直线重合时所成的角.
(3)倾斜角是一个几何概念,它直观地描述且表现了直线对 x轴的倾斜程度.

(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角,
且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线, 其倾斜角不相等.

直线的斜率
[提出问题] 升高量 日常生活中, 常用坡度(坡度= )表示倾斜程度, 前进量 例如,“进 2 升 3”与“进 2 升 2”比较,前者更陡一些, 3 2 因为坡度 > . 2 2

问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度,可否借助于
坡度来描述直线的倾斜程度? 提示:可以. 问题2:由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值,那么 对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量? 提示:可以. 问题3:通过坐标比,你会发现它与倾斜角有何关系?

提示:与倾斜角的正切值相等.

[导入新知] 正切 值叫做这条 1.斜率的定义:一条直线的倾斜角α的______ tanα 直线的斜率.常用小写字母k表示,即k=________.
2.斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线

y2-y1 x2-x1 当 x1=x2 时,直线 P1P2 没有斜率. 的斜率公式为 k=________.

3.斜率作用:用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 倾斜程度 . __________

[化解疑难] 1.倾斜角α与斜率k的关系 (1)直线都有倾斜角,但并不是所有的直线都有斜率.当倾 斜角是90°时,直线的斜率不存在,此时,直线垂直于x轴(平行

于y轴或与y轴重合).
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程 度.当0°≤α<90°时,斜率越大,直线的倾斜程度越大;当 90°<α<180°时,斜率越大,直线的倾斜程度也越大.

2.斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐 标在公式中的次序可以同时调换,就是说, 如果分子是y2- y1,分母必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,分母必须 y1-y2 y2-y1 是x1-x2,即k= = . x1-x2 x2-x1 (2)用斜率公式时要一看,二用,三求值.一看,就是看

所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在, 若不相等,则进行第二步;二用,就是将点的坐标代入斜率

公式;三求值,就是计算斜率的值,尤其是点的坐标中含有
参数时,应用斜率公式时要对参数进行讨论.

直线的倾斜角 [例1] (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则 ) 直线l的倾斜角为(

A.30°
C.30°或150° (2)下列说法中,正确的是(

B.60°
D.60°或120° )

A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α B.直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α C.若直线的倾斜角为α,则sin α>0 D.任意直线都有倾斜角α,且α≠90°时,斜率为tan α

[解析]

(1)如图,直线l有两种情况,

故l的倾斜角为60°或120°.
(2)对于A,当α=90°时,直线的斜 率不存在,故不正确;对于B,虽然直线的 斜率为tan α,但只有0°≤α<180°时,α才是此直线的倾斜角, 故不正确;对于C,当直线平行于x轴时,α=0°,sin α=0,

故C不正确,故选D.
[答案] (1)D (2)D

[类题通法]

求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求 角. (2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为 0°,当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.

[活学活用] 1.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是( A.[0°,90°) C.(90°,180°) )

B.[90°,180°) D.(0°,180°)

解析:直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),又直
线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是(90°, 180°). 答案:C

2.设直线 l 过原点,其倾斜角为 α,将直线 l 绕坐标原点沿逆 时针方向旋转 45° , 得到直线 l1, 则直线 l1 的倾斜角为( A.α+45° B.α-135° C.135° -α D.当 0° ≤α<135° 时为 α+45° ,当 135° ≤α<180° 时为 α -135° )

解析:当 0° ≤α<135° 时,l1 的倾斜角是 α+45° .当 135° ≤α< 180° 时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到 l1 的倾斜角为 α -135° ,故应选 D.

答案:D

直线的斜率

[例2]

(1)已知过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜

角为135°,则y=________; (2)过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值 为________; (3)已知过A(3,1),B(m,-2)的直线的斜率为1,则m的

值为 ________.

[解析]

(1)直线AB的斜率k=tan 135° =-1,

-3-y -3-y 又k= ,由 =-1,得y=-5. 2-4 2-4 4-m (2)由斜率公式k= =1,得m=1. m+ 2 (3)当m=3时,直线AB平行于y轴,斜率不存在. -2-1 3 当m≠3时,k= =- =1,解得m=0. m- 3 m- 3

[答案] (1)-5

(2)1

(3)0

[类题通法] 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”, 即直线不与 x 轴垂 直,因为当直线与 x 轴垂直时,斜率是不存在的; (2)斜率公式与两点 P1,P2 的先后顺序无关,也就是说公 式中的 x1 与 x2,y1 与 y2 可以同时交换位置.

[活学活用] 3. 若直线过点 (1,2),(4,2+ 3),则此直线的倾斜角是( A.30° C.60° B.45° D.90° )

解析:设直线的倾斜角为α, ?2+ 3?-2 3 直线斜率k= = , 3 4-1 3 ∴tan α= . 3 又∵0° ≤α<180° ,∴α=30° .
答案:A

直线的斜率的应用 [例3] 已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求的最

大值和最小值. [解] 如图所示,由于点(x,y)满足关
系式 2x+y=8,且 2≤x≤3,可知点 P(x, y)在线段 AB 上移动,并且 A,B 两点的坐标 y 可分别求得为 A(2,4),B(3,2).由于x的几何意义是直线 OP 的斜 2 y 2 率,且 kOA=2,kOB= ,所以可求得x的最大值为 2,最小值为 . 3 3

[类题通法] y2-y1 根据题目中代数式的特征,看是否可以写成 的形 x2-x1 式,若能,则联想其几何意义(即直线的斜率),再利用图形的 直观性来分析解决问题.

[活学活用] 4.点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x∈[2,5]时,求 y+1 的取值范围. x+1

y+1 y-?-1? 解: = 的几何意义是过M(x,y),N(-1,- x+1 x-?-1? 1)两点的直线的斜率. ∵点M在函数y=-2x+8的图象上,且x∈[2,5], ∴设该线段为AB且A(2,4),B(5,-2).

5 1 ∵kNA= ,kNB=- , 3 6 1 y+1 5 ∴- ≤ ≤ . 6 x+1 3 y+1 1 5 ∴ 的取值范围为[- , ]. 6 3 x+1

6.倾斜角与斜率的关系

[典例]

已知两点 A(-3,4),B(3,2),过点 P(1,0)的直线

l 与线段 AB 有公共点,则 l 的倾斜角的取值范围________; 直线 l 的斜率 k 的取值范围________. 4-0 [解析] 如图,由题意可知 kPA= - 3- 1
2-0 =-1,kPB= =1,则直线 l 的倾斜角介 3-1 于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间, 又 PB 的倾 斜角是 45° ,PA 的倾斜角是 135° ,

∴直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 45° ≤α≤135° ;要 使 l 与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k≤-1 或 k≥1.

[答案]

45° ≤α≤135° k≤-1 或 k≥1

[易错防范]
1.本题易错误地认为-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜 角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间,要特别注意,当l的 倾斜角小于90°时,有k≥kPB;当l的倾斜角大于90°时,则有 k≤kPA.

2.如图,过点P的直线l与直线段
AB相交时,因为过点P且与x轴垂直的 直线PC的斜率不存在,而PC所在的直线与线段AB不相交,所 以满足题意的斜率夹在中间,即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时, 可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两 边.

[成功破障] 已知直线l过点P(3,4),且与以A(-1,0),B(2,1)为端点的线段 AB有公共点,求直线l的斜率k的取值范围. 4-0 解:∵直线PA的斜率kPA= =1,直线PB的斜率kPB 3-?-1?

4-1 = =3,∴要使直线l与线段AB有公共点,k的取值范围 3-2 为[1,3].

[随堂即时演练] 1.关于直线的倾斜角和斜率,下列说法正确的是( A.任一直线都有倾斜角,都存在斜率 B.倾斜角为135°的直线的斜率为1 )

C.若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tan α
D.直线斜率的取值范围是(-∞,+∞) 解析:任一直线都有倾斜角,但当倾斜角为90°时,斜率 不存在.所以A、C错误;倾斜角为135°的直线的斜率为 -1,所以B错误;只有D正确.

答案:D

2.已知经过两点(5,m)和(m,8)的直线的斜率等于1,则m的值 是( A.5 13 C. 2 ) B. 8

D.7 8-m 13 解析:由斜率公式可得 =1,解之得m= . 2 m- 5 答案:C

3.直线l经过原点和(-1,1),则它的倾斜角为________.
1-0 解析:kl= =-1, - 1- 0 因此倾斜角为135° .

答案:135°

4.已知三点A(a,2),B(3,7),C(-2,-9a)在同一条直线上,

实数a的值为________.
解析:∵A、B、C三点共线, 9a+7 5 2 ∴kAB=kBC,即 = ,∴a=2或 . 5 9 3-a 2 答案:2或 9

5.已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线AC的斜 率等于直线BC的斜率的3倍,求m的值.
解:由题意直线AC的斜率存在,即m≠-1. ?-m+3?-4 ?m-1?-4 ∴kAC= ,kBC= . m+ 1 2-?-1? ?-m+3?-4 ?m-1?-4 ∴ =3· . m+ 1 2-?-1? 整理得:-m-1=(m-5)(m+1), 即(m+1)(m-4)=0, ∴m=4或m=-1(舍去). ∴m=4.


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