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2012.12.20南昌市铁路一中高一数学上第一次月考试卷及答案


南昌市铁路一中高一数学上第一次月考试卷
(第 I 卷)2012.12.20
一、选择题 (本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的. 请把正确结论的代号填入答题卷(即第 II 卷)的表格内. ) 1. 7 5 ? 化成弧度是 A.
?
12
3 10 10

B.
?
2

5? 12

C.

7? 12

D.

1 1? 12

2. 已知 sin ?
1 3

?

,? ? (

, ? ) ,则 tan ? ?

A.

?

B.

1 3

C.

?3

D.

3

3. 已知扇形的周长是 6cm,该扇形的圆心角是 1 弧度,则该扇形的面积是 A.
1cm
2

B.
f ( x ) ? | 2 sin( 2 x ?

2 cm
?
6

2

C.

6 cm

2

D.

18 cm

2

4. 已知函数
?
2

) | ,则 f ( x )

的最小正周期为

A.

B.

?
4

C.
?
3

2?

D. ?
? 2 cos 2 x

5. 已知函数 y 解析式为 A.

? f ( x ) 图像向左平移

个单位, 再向上平移 1 个单位, 得到函数 y

, 则

f (x)



2 sin( 2 x ?

?
6

)?1

B.

2 cos( 2 x ?

?
6

)?1

C.

2 sin( 2 x ?

?
6

)?1

D. ,有

2 cos( 2 x ?

?
6

)?1

6. 定义在 R 上函数

f (x)

f ( ? x ) ? f ( x ) ,且对任意 x 1 , x 2 ? [0 , ? ? )( x 1 ? x 2 )

,有

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

? 0



则下列说法正确的是 A. C.
f ( x ) 在 [0 , ? ? ) f (x) 在 R

上单调递增
f (0)

B. D.

f (x) f (x)

在 ( ? ? , 0 ] 上单调递减 在 R 上最小值为
f (0)

上最大值为

7. 若函数 A.
2?

f ( x ) ? 3 sin ( 2 x ? ? ) ? 1

为偶函数,则 ? 的取值可能为 C.
?
4

B. ?

D.

?
2

第 1 页 共 9 页

8. 已知函数

f (x) ?

ax ? 1 x? 2

在区间 ( 2 , ? ? ) 上单调递增,则实数 a 的取值范围

A.

(1, ? ? )

B.

(? ? , 1)

C.

(

1 2

, ? ?)

D.

(?? ,

1 2

)

9. 在直角坐标系中,角 ? ( 0 ? ? ? 2 ? ) 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上有一 点 Q (1, ta n 2 ) ,则角 ? 的大小为 A. ?
? 2

B.

2

C.

?
2

? 2

D.

2?

?
2

10. 已知函数 y
?
2 4 3

? A sin ? x ( A ? 0 , ? ? 0 ) 的图像与直线 y ?

A 2

的交点中,其中两个相邻交点之间的最小距

离为

,则 ? 的值为

A.

B.

3 4

C.

3 2

D.

2 3

二、填空题(每小题 5 分, 共 25 分.) 11. 已知 c o s ?
? ? 1 2 , ? ? (?? , 0)

,则 ?

?

__________________.

12. 函数

f ( x ) ? ln [ 2 c o s ( 2 x ?

?
3

) ? 1]

的定义域是__________________. ,则
f (?2)

13. 若函数

f ( x ) ? a co s x ? b x ? x ? 1, f ( 2 ) ? 2
2

=__________________. ___ _____.

14. 已知函数

f ( x ) ? s in

? x
3

,则

1220 3

[ f (1 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( 2 0 1 2 )] ?

15. 已知实数 a

? 0, b ? 0

且a ?

b ? 2

,则 ( a ? 1 ) 2

? (b ? 1)

2

的取值范围__________________.

第 2 页 共 9 页

南昌市铁路一中高一数学上第一次月考试卷 (第 II 卷)2012.12.20
命题人:徐利国

题号



二 16 17 18

三 19 20 21

总分

得分

一、选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题 11. ________; 12. _______________________; 13. ________; 14. ________; 15. ________. 三、解答题(本大题共 6 小题, 共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (12 分) 计算或化简: (1)
c o s 0 ? s in
2

7? 6

? ta n ( ?

3? 4

) ? cos (
4

5? 4

s in ( 2 ? ? ? ) c o s ( 3 ? ? ? ) ta n (
);

3? 2

??)

(2)
s in (

5? 2

.

? ? ) c o s (? ? ? )

第 3 页 共 9 页

17. (12 分) 已知函数 图所示,求: (1) (3)

f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? )( x ? R ) (其中 A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

)的部分图象如

f ( x ) 的解析式;

(2)

f (x)

的对称轴方程及对称中心点坐标;

f ( x ) 的单调递减区间.

2
7? 4

?
4

–2

18. (12分) 已知函数 (1) 画出 y

f (x) ? x

2

? 2x

,求:

? | f ( x ) | 的图像;

(2) 若方程 |

f ( x ) | ? log

a

k ? 0 ( a ? 0 , a ? 1 ) 有四个实数解,求 k

的取值范围.

第 4 页 共 9 页

19. (12分) 如下图,在直角坐标系中,给定单位圆,角 ? ( 0 半轴重合,终边在函数 y (1) 求证: k (2) 若函数 y
? tan ?

? ? ?

?
2

)

的顶点在原点,始边与 x 轴的非负 .

? kx ( x ? 0 ) 的图像上,与单位圆交点为 P

; ,求点 P 的坐标;

? kx ( x ? 0 ) 过点 M ( 3 , 3 )

(3) 若点 P 、 、R 、 (如图)为单位圆上互异的四点且横、纵坐标绝对值分别对应相等. 利用 Q T
k

表示出四边形 PQRT 的面积 S ( k ) ,并求当 k 为何值时, S ( k ) 取得最大值.
y
y ? kx ( x ? 0 )

M

T

·
o

P

· ·
1

x

R

·

Q

·

20. (13 分) 已知函数

f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? ) (其中 A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,有两

个交点的距离与二次函数 g ( x )
2? 3

? x

2

?

3? 2

x ?

?
2

2

的两个零点的距离正好相等,且函数 y

? f (x)

图象

上一个最低点为 D (

, ? 2)

. (2) 在(1)的条件下,求当 x ? [
?
12

(1) 求 ? 的最小值;

,

?
2

] 时, f ( x )

的值域.

第 5 页 共 9 页

21. (14 分) 已知函数 (1) 证明:函数

f ( x ) ?| 1 ?

1 x

|.

f (x)

在 ( 0 , 1] 上单调递减;
a ? b)

(2) 是否存在实数 a , b ( 0 ?

,使得函数

f (x)

的定义域和值域都是 [ a , b ] ?

第 6 页 共 9 页

高一数学上第一次月考试卷参考答案及评分意见
一、选择题. 1 B 二、填空题. 11.
? 2? 3

2 C

3 B

4 A

5 C

6 C

7 D

8 D

9 A

10 A



12.

(k? ,

?
3

? k ? ), k ? Z

; 13. -2;

14. 1220;

15.

[8 , 1 0 ] .

三、解答题. 16.【解】(1) 原式= 1 ?
1 4 ?1?( 1 2 s in ? c o s ? c o t ? cos ? cos ?
2? T

) ? 0
4

;……………………………………………………………..6 分

(2) 原式=

( ? s in ? )( ? c o s ? ) c o t ? cos ? ( ? cos ? )
? 2, T 2 ?

? ?

? ?1

.………………………………………..12 分
2 3

17.【解】(1) 由图可知: A
?
4

3 2

? T ? 3,

? ? ? ? ?

,即

f ( x ) ? 2 s in (

2 3

x??)

f(
, 2 ,则 )

?
4

)?

函数过点 (

2 ? 2 s in? ( ? ? 3 4 )

? ?( 0 ,
2 3 x?

?
2

? ?)? 2 ? ? ?? ? ? 3 ? ? ?

2 ? ? f ( x ) ? 2 s i n (x ? 3 3

;……….…5 分 )
?
4

(2) 由(1)知,
2 3 x?

?
3

?

?
2

? k? , k ? Z ? x ?

?
4

?

3 2

k? , k ? Z

,即对称轴方程为 x
?
2 ? 3 2

?

?

3 2

k? , k ? Z



?
3

? k? , k ? Z ? x ? ?

?
2

?

3 2

k? , k ? Z

,即所求对称中心的坐标为 ( ?
?
4 , 7? 4 ]?

k ? , 0 ), k ? Z

.…9 分

(3) 由图可知,函数 为[
?
4 ? 3k? , 7? 4

f ( x ) 在一个周期内的单调递减区间为 [

f (x)

在 R 上所有的递减区间

? 3 k ? ], k ? Z

.…………………………………………………….…………………12 分

备注:本题(2)、(3)问也可以根据题中的所给的图像,并结合函数周期性直接得出相关答案. 18.【解】(1) 如下图:
8 6

4

f(x) = x2
2

2?x

15

10

5

5

10

15

2

4

6

8

…………………….……5 分
? | f ( x ) | 与 y ? lo g a k

(2)

| f ( x ) | ? lo g a k ? 0 ? | f ( x ) | ? lo g a k

,则原问题转化为函数 y
第 7 页 共 9 页

的图像有四个

交点问题. ……………………………………………………………………………………….…..7 分 由数形结合法知: 0 ?
lo g a k ? 1 ? lo g a 1 ? lo g a k ? lo g a a

.……………………………………...9 分

① 当 a ? 1 时,有 1 ? k ? a ;② 当 0 ? a ? 1 时,有 a ? k ? 1 . 综上得,当 a ? 1 时,有 1 ? k ? a ;当 0 ? a ? 1 时,有 a ? k ? 1 ……………………………...12 分 19.【解】(1) 证明:点 p (co s ? , sin ? ) 在 y ? k x 上,则 sin ? ? k co s ? ? k ? ta n ? .………………….…3 分
? ? cos ? ? ? 由三角函数定义与相似性原理可知, ? ? s in ? ? ? ? 3 3 ? ( 3)
2 2

?

1 2 ? P( 1 2 , 3 2 ) .……………….6

(2)



3 ( 3) ? 3
2 2

?

3 2

(3) 根据对称性可知,四边形 PQRT 为矩形,则
S ? P Q R T ? 4 s in ? c o s ? ? ta n ? ? k ? ? cos ? ? ? ? ? ?? ? 0?? ? ? ? s in ? ? 2? ? ? 1 1? k k 1? k
2 2

? ? ? 4k 1 1 1 ? (k ? 0) ? ? (k ? ) ? ? S (k ) ? 2 1? k S (k ) 4 k ? ? ? ?
) 上单调递增.

.……………..…10 分

函数 k

?

1 k

在(

, 0 , 1 ] 上单调递减,在 [ 1 ? ?

即当 k

? 1 ? 1 1 ? ? ? S m a x ( k ) ? 2 .…………………………………………...12分 ? 1 时,有 ? ? S (1 ) 2 ? S ( k ) ? m in
3? 2

20.【解】(1) 二次函数 g ( x )

? x

2

?

x ?

?
2

2

对应的方程为 x 2
?
2

?

3? 2

x ?

?
2

2

? 0 ? x 1, 2 ?

?
2

或 ? …….2 分

即y

? g ( x ) 两个零点之间的距离为 ? ?

?

?
2

,则依题意可知

? ?? ? ? 2n(n ? N )? nT ? ? (n ? N ) ? T ? ? ? ? ? ? ? m in ? 2 ?2 2 n ? ? 0? ? 2? ? ?T ? ? ?

..………………………….....6 分

(2) 函数

?A ? 2 ? 2? ? 2? y ? f ( x ) 的图象上一个最低点为 D ( , ? 2) ? ? f ( ) ? ?2 3 3 ?

? ? 2
2? 2? 3 ?? ? ? ? 2k? ? ? ? 2 ?? ? ? 6 ? ? 0?? ? ? 2 ? 3?

? ? ? ? ? ? ?

? 2 s in ( 2 ?

2? 3

? ? ) ? ?2 ?

,即

f ( x ) ? 2 s in ( 2 x ?

?
6

)

...…………………………………10 分

第 8 页 共 9 页

?
12

? x ?

?
2

?

?
3

? 2x ?

?
6

?

7? 6

? ?

1 2

? s in ( 2 x ?

?
6

) ? 1 ? ? 1 ? 2 s in ( 2 x ?

?
6

)? 2



f ( x ) 的值域为 [ ? 1, 2 ] .……………………………………………………………………………….13 分

21.【解】(1) 当 x ? ( 0 , 1] 时,则 任取两实数 x 1

f (x) ?

1 x

? 1 .……………………………………………………...…..….2



? x 2 ? ( 0 , 1] ,则

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? (

x1 ? x 2 ? ? x2 x1 x1 x 2 ? ? ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x1 ? x 2 ? 0 ? x 1 ? x 2 ? ( 0 , 1] ? ? ? x1 x 2 ? 0 ? ? 1 ? 1) ? ( 1 ? 1) ?

即函数

f ( x) 在( 0 , 1 ] 上单调递减.

.……………………………………………………...…………..….5 分

(2) 不存在. 假设存在实数 a , b ( 0 ?
a ? b)

,使得函数

f (x)

的定义域和值域都是 [ a , b ] ,则

1 ? 1? , x ? 1, ? ? x . f (x) ? ? 1 ? ? 1, 0 ? x ? 1 . ?x ?

.……………………………………………………...…………..….7 分

① 当 a , b ? ( 0 , 1) 时,则

f (x) ?

1 x

? 1 在 ( 0 , 1 ) 上单调递减,有

?1 ?a ?1 ? b f (a ) ? b ? ? ? ? ? a ? b ? ? f (b ) ? a ?1 ?1 ? a ?b ?

,矛盾;………………………...…………………………..….9 分

② 当 a , b ? (1, ? ? ) 时,则

f (x) ?

1 x

? 1 在 (1, ? ? ) 上单调递增,有

?1 ?a ?1 ? a ? f (a ) ? a ? ? ? ? a, b ? ? f (b ) ? b ?1 ?1 ? b ?b ?

是一元二次方程 x 2

? x?1? 0

的实根且 ?

? ?3 ? 0

,矛盾;12 分

③ 当 a ? ( 0 , 1), b ? [1, ?

? ) 时,则 1 ? [ a , b ] ,而 f (1 ) ? 0 ? [ a , b ] ,矛盾.

综上可知, 不存在实数 a , b 满足题设条件. . …………..…………………………………….……...14 分

第 9 页 共 9 页


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