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概率


第二章 随机变量及其分布
? ? ? ?

一. 随机变量的定义 二.分布函数定义 三. 连续型随机变量定义 四.随机变量函数的分布

§1 随机变量
实例:

1 从一批产品中任意抽取n件,观察出现的次 品数, 可用变量X1表示次品数, X1的所有可 能取值为:0,1,2,…,n. j件次品可用(

X1=j)表示. 2 记录某接待站一天中来访的人数,用变量X2 表示来访人数 “接待k个人”可用(X2=k)表示.

3 测试电子元件寿命的试验中, 用变量X3表示 元件寿命 “寿命为t小时”可以用(X3=t) 来表示.

4 掷一枚硬币观察正反面.试验结果为: ?1={正面}, ?2={反面}.试验的结果可以用 变量X4 表示.
?1,当? ? ?1 X 4 ? X 4 (ω) ? ? ?0,当? ? ?2

随机变量实际上是定义在样本空间上的一个单值 实函数。

X:S ? R

(p26)定义.如果对于样本空间中每个 样本点? ,都有唯一的一个实数 X(?)与之对应,则称X(?)为随机变 量。简记X(?)为X. 随机变量常用X、Y、Z 或 ?、?、?等 表示。记为r.v.X等。

几何意义:

X

R

同一个样本空间可以定义多个随机变量
S={儿童的身体发育状况?}



X(?)—儿童的身高

Y(?)—儿童的体重
各个随机变量可能相互有关系, 也可能没有关系—相互独立

引入随机变量的意义:
1.任何随机现象都可以用r.v.来描述.

(将随机试验的结果数量化,描述随机事件。)
2 .借助数学工具(比如微积分的工具)来研 究随机现象.

例1:引入适当的随机变量描述下列事件: ①将3个球随机地放入三个格子中,事件 A={有1个空格},B={有2个空格}, C={全有球}。 ②进行5次试验,事件 D={试验成功一次}, F={试验至少成功一次},G={至多成功3次}
解:① 设X为将3个球随机地放入三个格子后的 空格数,则

A={X=1},B={X=2},C={X=0}
② 设Y为进行5次试验中成功的次数,则 D={Y=1},F={Y?1},G={Y?3}

随机变量的分类

? 离散型随机变量 ? ? 随机变量 ? 连续型 ? ?非离散型? ? ?奇异型(混合型) ?

定义
离散型随机变量:随机变量全部可能取值是有

限或可列无穷多个.
非离散型随机变量:随机变量全部可能取值为无穷 不可列个.

§2 离散型随机变量的分布律(P27)
定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … ,且取这些 值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律。 可表示为 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, ? ), 或?
X Pk x1 p1 x2 p2 … … xK pk … …

● 分布律的性质
(1) pk ? 0, k=1, 2, … ;

(2)

? p =1.
k ?1 k

例1 设袋中有5只球,其中有2只白3只黑。现从 中任取3只球(不放回),求抽得的白球数X的分布 律。

解: X的可能取值为0,1,2

C C P{ X=k}= C

k 2

3? k 3 3 5

. k ? 0,1,2

对离散型随机变量来说,概率分布律可以完全 描述它的统计规律.换句话说,已知分布律,就 可以求出各种概率.

P( X ? (a, b)) ?
例3
X pk 0 0.1

xi ?( a ,b )

?

P( X ? xi )

设随机变量X的分布律为
1 2 0.15 0.2 3 0.3 4 0.12 5 6 a 0.03

P( X ? 4), P(2 ? X ? 5), P( X ? 3) 试求:a,
解: 0.1 0.87 0.72 0.7

几种常用的离散型随机变量 1. (0-1)分布(p28) 若X只能取0、1两个值,且 分布律为

P{X=k}=pk(1-p)1-k, k=0,1。 (0<p<1)
则称X服从参数为p的0—1分布或两点分布。


X
1

0

pk

p

1? p

2. 二项分布 · 贝努利试验:若试验E只有两个结果,记为 A、A. · n重贝努利试验:独立重复的进行n次贝努利试验。 a. 每次试验均为贝努利试验,只有两个结果。 b. 重复,指每次试验P(A)不变,为定值。 c. 独立,指某次试验事件A发生与否与其它次试验 事件A发生与否互不影响。

问题:设X为n重贝努利试验中事件A发生的次数,
且 P(A)=p,求r.v.X的分布律。 · · ,n 解: r.v.X 的可能取值为0,1,· 设Ai=“第i次试验事件A发生”,i=1,2,· · · ,n.且 P(Ai)=p {X } ( ? k ? A1 Ak1AK(? A) 1 AA Ak AK ? Ak ? An ) 2 1n 2
( 2A1 A
P (2A1 A

A1 An ? K ? n?k
An ) ?

An ),

k ? 0,1,

,n
n?k

1

Ak AK ?

?
i ?1

k

P ( Ai )

?
i ? k ?1

n

P ( Ai ) ? P (1 ? p )
k

Xk PP (C p ) ??1k ,) (1?, 0 n
kk k n n

?

?

若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数, P(A)=p, 则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~b(n,p), 其分布律为:

P{ X ? k} ? C n p k (1 ? p) n ? k , (k ? 0,1...n)

k

例2 一张考卷上有5道单选择题,每题4个答案,某学 生靠猜测至少能答对四题的概率是多少?

例3 某人射击的命中率为0.001,他独立射击5000次, 试求其命中次数不少于2的概率。 解: 设X表示5000次独立射击中命中的次数, 则X~b(5000, 0.001), 故 P{X?2}=1- P{X=0}-P {X=1} =0.9575.

几个二项分布的分布律图示

结论: (1) 当(n+1)p为整时,P(X=k)在k=(n+1)p 和k=(n+1)p-1处同时达到最大。 (2) (n+1)p非整时,P(X=k)在k=[(n+1)p] 处达到最大值。

使得P(X=k)达到最大值的数k称为最可能成功 的次数。

如上例 某人射击的命中率为0.001,他独立射击5000 次,如何求 P{ X ? 2000 }

当n较大, p又较小时, 二项分布的计算比较困难, 可以用Poisson分布近似计算.

当n很大且 p又较小时,
C p ?1 ? p ?
k n k n?k

?

?k e ? ?
k!

, 其 中? ? np.

3. 泊松(Poisson)分布(p30)
定义:若r.v.X的分布律为:
k ? X~P{X=k}=

其中 (??0) 则称r.v.X服从参数为?的泊松分布。记为: X ~ ? (? ) 例4: 某信息服务台在一分钟内接到的问讯次数X服从 参数为?的泊松分布,已知任一分钟内无问讯的概率为 e-6,求在指定的一分钟内至少有2次问讯的概率。 解: ? X ~ ? (? ),且P ? X ? 0? ? e ?6 即 e ? ? ? e ?6 ? ? ? 6
? P{ X ? 2} ? 1 ? P{ X ? 2} ? 1 ? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? 1 ? e ? 6 ? 6e ? 6 ? 0.9826

k!

e

?? ,

k=0, 1, 2,· · ·

例5:设书中每一页上印刷错误个数服从参数为?=1/2 的泊松分布,求(1)一页上至少有一处印错的概率? (2) 10页中至多有一页有错的概率?

解: (1) 设X为一页上印刷错误的个数,则 X ~ ? ( 1 2 )
所求概率为:

P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? 1 ? e ? 0.395
(2) 设Y为10页中有错的页数,则

?1 2

Y ~ b(10,0.395)
所求概率为:

P(Y ? 1) ? P(Y ? 0) ? P(Y ? 1) ? 0.049

想一想:离散型随机变量的统计特征可以
用分布律描述,非离散型的该如何描述? 如:熊猫彩电的寿命X是一个随机变量,事

件{X=5年}的概率为多少呢?

描述非离散随机变量统计特征,我们讨论它落 在某区间的概率。 这相当于,只要知道,对任意实数x,事件{X?x}的概率.

{a ? X ? b} ? { X ? b} ? { X ? a}

§3 随机变量的分布函数(P31)
定义

(P31) 设X是随机变量,x是任意实数,函数 F(x)=P{X?x}称为随机变量X的分布函数。
X

x

R

易知,对任意实数a, b (a<b), P {a<X?b}=P{X?b}-P{X?a}= F(b)-F(a).

分布函数的性质(P31) 1、单调不减性:若x1<x2, 则F(x1)?F(x2);
2、归一 性:对任意实数x,0?F(x)?1,且

F (??) ? lim F ( x) ? 0,
x ??? x ???

F (??) ? lim F ( x) ? 1;
3、右连续性:对任意实数x0,

F ( x0 ? 0) ? lim? F ( x) ? F ( x0 ).
x ? x0

反之,具有上述三个性质的实函数,必是某

个随机变量的分布函数。故该三个性质是
分布函数的充分必要性质。

例1: 设随机变量X分布律如右表 试求出X的分布函数。
解:

X 0 P
F ( x)

1

2

F ( x)=P{ X ? x}

0.1 0.6 0.3

当 x<0 时, F(x)=0 当0≤x<1 时, F(x)=P{X≤x}=P{X=0}=0.1
1

当1≤x<2 时, F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}=0.1+0.6=0.7

x0

x

1

x

2

x

当x≥2 时, F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1

一般地,对离散型随机变量
X~P{X= xk}=pk, k=1, 2, …

其分布函数为 F ( x) ? P{X ? x} ?

k :xk ? x

?p

k

离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 分布 函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值 点, 跳跃高度对应随机变量取对应值的概率; 反之, 如果某随机变量的分布函数是阶梯函数, 则该随机变量必为离散型.

利用分布函数计算概率的一些公式

(1) P (a ? X ? b) ? F (b) ? F (a )

(2) P ( X ? a ) ? 1 ? F (a )
( 3) P ( X ? a ) ? lim F ( x ) ? lim F ( x )
x ?a ? x ?a ?

? F ( a ) ? F ( a ? 0)

(4) P ( X ? a ) ? F (a ? 0)

例2:设离散r.v. X的分布函数为:
? ? ? ? ? F ( x) ? ? ? ? ? ? ? ? A 1 2 2 3
11 12

x ? 0 0 ? x ?1 1? x ? 2 2? x ?3 x ?3

B

求 r.v.X的分布律,并求 P{X ? 3}, P{X ? 0.5}, P{2 ? X ? 4}
1 解: F (??) ? A ? 0, F (??) ? B ? 1 P{ X ? 3} ? 1, P{ X ? 0.5} ? , 2 X 0 1 2 3 P{2 ? X ? 4} 1 1 1 Pk 1 2 6 12 4 ? F ( 4 ? 0) ? F ( 2 ? 0) ? 1 / 3

例3: 向[0,1]区间随机抛一质点,以X表示质点坐 标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率 与区间长成正比,求X的分布函数 解: F(x)=P{X≤x}
F ( x)

当x<0时,F(x)=0;
当0≤x≤1时,

当x>1时,F(x)=1
1

F ( x) ? P{0 ? X ? x} ? kx
特别,F(1)=P{0≤X≤1}=k=1

x
0

1

x?0 ? 0, ? ? F ( x)=P( X ? x)= ? x, 0 ? x ? 1 ? 1, x ?1 ?

§4 连续型随机变量及其概率密度(P34)
一、概率密度(P34)

1. 定义 对于随机变量X,若存在非负函 数 f(x),(-?<x<+?),使对任意实数x,都有

F ( x)=P( X ? x)=?

x

??

f (u )du

则称X为连续型随机变量

f(x)为X的概率密度函数,
简称概率密度或密度函数. 常记为:

X~ f(x) , (-?<x<+?)

2. 密度函数的性质 (p34) (1) 非负性 f(x)?0,(-?<x<?);

(2) 归一性

?

??

??

f ( x)dx = 1.

性质(1)、(2)是密度函数的充要性质;

设随机变量X的概率密度为

f ( x) ? ae
求常数a.

?x

答:

1 a? 2

(3) 若x是f(x)的连续点,则
dF ( x ) ? f ( x) dx

设随机变量X的分布函数为 求f(x)
? 1 x ? 2e F ( x) ? ? 1 ?1 ? e ? x ? 2 x?0 x?0

(4) 对任意实数b,若X~ f(x),

(-?<x<?),则P{X=b}=0。
于是

P{a ? X ? b}=P{a ? X ? b} =P{a ? X ? b}=? f ( x)dx
a b

例1:已知随机变量X的概率密度为

?2 Ax f ? x? ? ? ? 0

0 ? x ?1 其他

(1)求参数A. (2) P{0.5<X<3}. (3) 求分布函数F(X).

解:
(1) ( 2)

??

? f ( x )dx ? ? 2 Axdx ?1
0 3 0.5

?

1

?
1

A?1

P{0.5 ? X ? 3} ?

? f ( x )dx ? ? 2 xdx ? 0.75
0.5 x

( 3)

?0 ? 2 F ( x ) ? P{ X ? x } ? ? f ( t )dt ? ? x ?? ?1 ?

x?0 0? x?1 x ?1

二、几个常用的连续型分布(P36)
1. 均匀分布p(36)
f (x)
。 。

? 1 ?b ? a , a ? x ? b 若X~f(x)=? b 0 a x ? 0 ,其它 ? 则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b)

X落在(a, b)中任一区间的概率只与该区间的长度成正比,而 与该区间的位置无关,这就是均匀分布的概率意义。

例2.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车 ,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随机地 到达车站,求乘客候车时间超过10分钟的概率. 15 45

解:设A—乘客候车时间超过10分钟 X—乘客于某时X分钟到达,则X?U(0,60)

P( A) ? P{10 ? X ? 15} ? P(25 ? X ? 45} ? P{55 ? X ? 60}
5 ? 20 ? 5 1 ? ? 60 2

2. 指数分布(p37)
?? x ? ? e ,x ?0 ? 若 X~ f ( x)=? ? ? 0 ,x ?0

f (x)

x

0

则称X服从参数为 ? >0 的指数分布。 其分布函数为

?1 ? e , x ? 0 F ( x)=? ? 0, x ? 0

?? x

例3. 电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布
(1) 求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2) 已知该电子元件已使用了1.5年,求它还能使用 两年的概率为多少? 解:

? 3e f ( x) ? ? ? 0

?3 x

x?0 x ? 0,
? ?3 x ?6

(1) P{X ? 2}? ? 3e dx ?e
2

(2) P{ X ? 3.5 | X ? 1.5}
P{ X ? 3.5, X ? 1.5} ? P{ X ? 1.5}
?

?

3.5 ?

3e ?

? 3x

dx ?e
?6

1.5

3e ?

? 3x

dx

3. 正态分布(p38)
正态分布是实践中应用最为广泛,在理论上 研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特

别重要的地位。 B
A A,B间真实距离为?,测量值为X。

X的概率密度应该是什么形态?

若随机变量
? 1 X ~ f ( x) ? e 2??

?
( x ? ? )2 2? 2

, x?R

其中 ?为实数, ?>0 ,则称X服从参数为? ,?2的正态

分布,记为N(?, ?2),可表为X~N(?, ?2). P(35)

正态分布有两个特性:
(1) 单峰对称

密度曲线关于直线x=?对称;(p36)
f(?)=maxf(x)=
1 2? ?

?

(2) ?的大小直接影响概率的分布 ?越大,曲线越平坦, ?越小,曲线越陡峭。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布

?

4. 标准正态分布(p39)

参数?=0,?2=1的正态分布称为标准正态分 布,记作X~N(0, 1)。

其密度函数表示为

? ( x) ?

1 e 2?

x2 ? 2

, ?? ? x ? ??.

分布函数表示为

?( x) ? P{ X ? x} ?
1 2?

?

x

??

e

t2 ? 2

dt , ?? ? x ? ??

一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表 供读者查阅?(x)的值。(P268附表1)如,若 X~N(0,1), ?(0.5)=0.6915, P{1.32<X<2.43}=?(2.43)-?(1.32) 正态分布表 =0.9925-0.9066 注:(1) ?(x)=1- ?(-x);

(2) 若X~N(?, ?2),则

F ( x ) ? P { X ? x } ? ?(

x??

?

).

正态分布表

例5

设 X?N(?,?2),求P{?-3?<X<?+3?}.

本题结果称为3?原则.在工程应用中,通常认为

P{|(X- ?)/?|≤3}≈1,忽略{|(X- ?)/?|>3}的值.
如在质量控制中,常用标准指标值±3?作两条线, 当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报. 表明生产出现异常.

例6 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机 会在0.01以下设计的,设男子身高X?N(170,62)(厘 米),问车门高度应为多少?

解:设车门高度为h,按题意有 P(X>h)<0.01
h ? 170 ) ? 0.01 P( X ? h) ? 1 ? F (h) ? 1 ? ?( 6

h ? 170 即 ?( ) ? 0.99, 查 表 可 得 6
h ? 170 ? 2.33 ? h ? 184(厘 米) 6

●上?分位点: 设 X~N(0,1),若对于?:0<?<1,存在

z? , 满足 P{ X ? z? } ? ? , 则称z? 为 标准正态分布 的上? 分位点
例7 查表 Z0.05 ? 1.645
?

? z? ? z1??

z?

性质:

Z1?? ? ? Z?

思考:

在高为 h 的三角形ABC 中任取一点 M , 点 M 到 AB 的距离为随机变量 X , 求其密度函数 f (x).

思考:

南京某年有九万名高中生参加高考,结果 有5.4万名考生被各类高校录取,考试满分 为600分,540分以上有2025人,360分以下 有13500人,试估计高校录取最低分。

§5 随机变量函数的分布(P42)
一、离散型随机变量函数的分布律
设X为一个随机变量,分布律为

X~P{X=xk}=pk, k=1, 2, …
若y=g(x)是单值实函数,求Y =g(X)的分布律.

例1 已知
X Pk
1

求:Y=X2的分布律
-1
3

0
1 3

1
1 3

Y Pk

1
2 3

0
1 3

二、连续型随机变量函数的密度函数
1、一般方法

若X~f(x),-?<x<+?, Y=g(X)为随机变量X的函数, 则可先求Y的分布函数
FY (y) =P{Y?y}=P {g(X) ?y}=

?

g ( x )? y

f ( x )dx

再求Y的密度函数

dF Y ( y) fY ( y ) ? dy 此法也叫“ 分布函数法 ”

例2 设X?U(-1,1),求Y=X2的概率密度。

解:
?

?1 ? f X ?x? ? ? 2 ? ?0

?1? x ? 1 其它
y

?

FY ? y ? ? P(Y ? y) ? P( X 2 ? y)
1 ? 2 dx ? ? y y

当y<0时,FY ( y) ? 0; 当0≤y<1时, FY ( y ) ?

当y≥1时,

FY ( y ) ? 1
0 ? y ?1 其它

? 1 ? fY ( y ) ? FY '( y ) ? ? 2 y ? 0 ?

例3 设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x 的严格单调减函数,求Y=g(X)的概率密度。

解:Y的分布函数为:
FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y}

=P{X≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y)) ?Y的概率密度为:
fY(y)=-FX?(g-1(y))=-fX(g-1(y)) dg-1(y)
dy

2、公式法:一般地

若X~fX(x), y=g(x)是严格单调可导函数,则

d ?1 Y ? g ( X ) ~ fY ( y ) ? f X [ g ( y )] | g ( y) | dy
?1

注:1. 只有当g(x)是x的严格单调可导函数时,才可用

以上公式推求Y的密度函数。
2. 注意定义域的选择.

例4 解:

已知X?N(?,?2),求
y? x??

Y?

X ??

?

的概率密度.

?

关于x严格单调, 反函数为:

x ? g ?1 ( y) ? ?y ? ?

d ?1 fY ( y ) ? f X [ g ( y )] | g ( y ) |? f X (?y ? ? )? dy
?1

? 1 ? e 2? ?

??y ? ? ? ? ?2
2? 2

1 ?? e 2?

y2 ? 2

例5 设X~U(0,1),求Y=aX+b的概率密度.(a≠0)
?1

y ?b 解: y=ax+b关于x严格单调, 反函数为 g ( y ) ? a
故 d ?1 y ?b 1 ?1 fY ( y ) ? f X [ g ( y)] | g ( y ) |? f X ( ) dy a a 而 ?1 0 ? x ? 1 f X ( x) ? ? 其它 ?0 故 y ?b ?1 0? ?1 ? fY ( y ) ? ? a a ? 其它 ?0

小结
随机变量 随机变量函数的分布

离散型——分布律 归一性 分布函数与分布律的互变 概率计算

分布函数 归一性 概率计算 单调性

连续型——概率密度 归一性 概率计算 分布函数与概率密度的互变

0-1分布 二项分布 B( n,p) 泊松分布 P(? )

正态分布的概率计算

均匀分布 U(a,b) 2 正态分布 N(a, ? ) 指数分布 E( ?)


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高考理科数学专题复习---概率与统计

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