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贵州省遵义航天高级中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


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2014--2015 学年第二学期期末联考 高二数学(理科)试题
考试时间:120 分钟 满 分:150 分

第Ⅰ卷:选择题 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的,请将正确答案填写

在答题卡上. ) 1.集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M ? N ? ( A. (0, 2) B. [1, 2) C. (0, 2] ) D. (1, 2]

2.设 i 为虚数单位,则复数错误!未找到引用源。=( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 3. 阅读右侧程序框图,输出的结果错误!未找到引用源。的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.9 4.将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组


开始

S? i?

由 1名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( A. 12 种 B. 10 种 C. ? 种 D. ? 种


输出i

S ? 100



S ? S?

5.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 3) x 的导函数为 f ?( x) ,且 f ?( x) 是偶函数, 则 曲线: y ? f ( x) 在点 (2 , f (2)) 处的切线方程为( A. 9 x ? y ? 16 ? 0 B. 9 x ? y ? 16 ? 0 ) D. 6 x ? y ? 12 ? 0 C. 6 x ? y ? 12 ? 0

结束

i ?i?

6.在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (1,2), a ? A.-2 B.-4 C.-3

1 b ? (3,1), c ? ( x,3), 若 (2a ? b) // c ,则 x=( 2
D.-1



7.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? ,且 a5·a6=2,则 log2a1+ log2a2+…+ log2a10=( )A.2 B.4 8.已知双曲线 C : C.5 D.2
5

x2 y 2 =1 的焦距为 10 ,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( a2 b2 x2 y 2 B. =1 5 20 x2 y 2 C. =1 80 20



x2 y2 A. =1 20 5

x2 y2 D. =19.已知某个几何体的三视图如下, 20 80

1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是(



正视图

侧视图

俯视图

1 A. cm 3 3

2 B. cm 3 3

4 C. cm 3 3

8 D. cm 3 3

10.如图,长方形的四个顶点为 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) ,曲线 y ? 机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中阴影区域的概率是( A. )

x 经过点 B ,现将一质点随

5 12

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

11.将函数 f(x)=3sin(4x+

? ? )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 个单位长度,得 6 6


到函数 y ? g ?x ? 的图象.则 y ? g ?x ? 图象的一条对称轴是( A.x=

? 12

B.x=

? 6

C.x=

? 3

D.x=

2? 3

12.已知函数 f ( x ) 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? e x ( x ? 1) ,给出下列命题: ①当 x ? 0 时, f ( x ) ? e x (1 ? x ); ③ f ( x ) ? 0 的解集为 ( ?1, 0) ? (1, ? ? ) 其中正确命题个数是 A.1 B.2 ②函数 f ( x ) 有 2 个零点 ④ ?x1 , x2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 C.3 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.
2 13.在 (2 x ?

D.4

1 5 ) 的二项展开式中, x 的系数为 x

x2 y 2 3a 14.设 F1,F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, ?F2 PF 1 是底角 2 a b
为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为 15. 设变量错误!未找到引用源。满足约束条件错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的最大 值是 16.下列 4 个命题:
2
?

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ① ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ; ②已知随机变量 X 服从正态分布 N(3, ? ) ,P(X≤6)=0.72,则 P(X≤0)=0.28;
2

③函数 f ( x) ? a log 2 | x | ? x ? b 为奇函数的充要条件是 a ? b ? 0 ;

a ? e ? a ? 2e, 则 a在e 方向上的投影为 ④已知 e是单位向量,
其中正确命题的序号是 .

1 , 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤并写在答题卡指定 位置。 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin A, sin B) , n ? (cosB, cos A) , m ? n ? sin 2C ,其中 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的内 角. (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 AB 的长.

18.(本小题满分 12 分) 为迎接 2016 年奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取 最后一个参赛名额进行的 7 轮比赛的得分如茎叶图所示: (1)若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选 3 个不低于 80 且不高于 90 的得分,求甲的三个得分与 其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过 2 的概率; (2)若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于 80 且不高于 90 的得分中任选 1 个,求甲、乙两 名运动员得分之差的绝对值 ? 的分布列与期望. 甲 8 5 4 5 4 1 1 7 8 9 乙 9 4 4 6 7 4 1

19. (本小题满分 12 分) 如图 5 所示 , 在四棱锥 P ? ABCD中 , 底面 ABC D 为矩形 , PA ? 平面 A B C D , 点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面 BDE . (1)证明: BD ? 平面 PAC ;
3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)若 PA ?1 , AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 . ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 2 3 ,离心率为 2 a b 2

(1)求椭圆方程; (2)设过椭圆顶点 B (0, b) ,斜率为 k 的直线交椭圆于另一点 D ,交 x 轴于点 E , 且 BD , BE , DE 成等比数列,求 k 2 的值.

21.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ?
1? a , (a ? R). x

(1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E , D ,连接

EC, CD .
(1)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线;

E O D A C B
4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)若 tan ?CED ?

1 , ⊙ O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

? 2 x ? 3? t ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
ρ =2 5sin θ . (1)求圆 C 的直角坐标方程;

(t 为参数),在极坐标系(与直角

坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为

(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (2)若 | a |? 1,| b |? 1,且 a ? 0 ,求证: f ( ab) ?| a | f ( ) .

b a

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 2014--2015 学年第二学期期末联考 高二数学(理科)答案 一、选择题: 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 A 6 D 7 C 8 A 9 C 10 C 11 C 12 B 16.②

(2)填空题:13.-40 ④ 三、解答题:

14. 错误!未找到引用源。

15.错误!未找到引用源。 5

17.解:(Ⅰ) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) ………………………(2 分) 对于 ?ABC, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.
又? m ? n ? sin 2C ,

………………………(4 分)

? sin 2C ? sin C , cos C ?

1 ? ,C ? . 2 3

………………………(6 分)

, 得2 sin C ? sin A ? sin B , (Ⅱ)由 sin A, sin C, sin B成等差比数列
由正弦定理得 2c ? a ? b. ………………………(8 分)

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18 ,
即 ab cosC ? 18, ab ? 36.
2 2 2

……………………(10 分)
2

由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC ? (a ? b) ? 3ab,

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,? c ? 6.

……………(12 分)

18.(本小题满分 12 分) 解:(1)有茎叶图可知,甲运动员七轮比赛的得分情况为:78,81,84,85,84,85,91. 所以甲每轮比赛的平均得分为 错误!未找到引用源。 显然甲运动员每轮比赛得分中不低于 80 且不高于 90 的得分共有 5 个,分别为 81,84,85,84, 85, 其中 81 分与平均得分的绝对值大于 2,所求概率 P ?
3 C4 2 ? 。………6 分 3 C5 5

(2)设甲、乙两名运动员的得分分别为 x, y ,则得分之差的绝对值为 ? ? x ? y 。 显然,由茎叶图可知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,5,6. 当 ? =0 时, x ? y ? 84 ,故 P ?? ? 0 ? ?
1 1 C2 C3 6 ? ; 1 1 C5C5 25
1 1 C2 C4 8 ? ; 1 1 C5C5 25

当 ? =1 时, x ? 85, y ? 84 或 y ? 86 ,故 P ?? ? 1? ?

当 ? =2 时, x ? 84, y ? 86 或 x ? 85, y ? 87 ,故 P ?? ? 2 ? ?

1 1 2C2 C1 4 ? ; 1 1 C5C5 25

6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当 ? =3 时, x ? 81, y ? 84 或 x ? 84, y ? 87 ,故 P ?? ? 3? ? 当 ? =5 时, x ? 81, y ? 86 ,故 P ?? ? 5? ? 当 ? =6 时, x ? 81, y ? 87 ,故 P ?? ? 6 ? ?
1 1 C1 C1 1 ? ; 1 1 C5C5 25 1 1 C1 C1 1 ? ; 所以 ? 的分布列为: 1 1 C5C5 25

1 1 1 1 C1 C3 ? C2 C1 1 ? ; 1 1 C5C5 5

?

0

1

2

3

5

6

6 8 4 1 1 1 25 25 25 25 25 5 6 8 4 1 1 1 42 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 ? ? 6 ? ? . ………12 分 25 25 25 5 25 25 25

P

19. 解: (1)因为错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ,错误!未找 到引用源。平面错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 . 又因为错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。,错误!未找 到引用源。平面错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 . 而错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。平面错误!未找到引 用源。,错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。,所以错误! 未找到引用源。平面错误!未找到引用源。. ---------5 分 (2)由(1)可知错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。,而错误!未找到引用源。平面错误! 未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,而错误!未找到引用源。为矩形, 所以错误!未找到引用源。为正方形,于是错误!未找到引用源。. 以错误!未找到引用源。点为原点,错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 、错误!未找到引 用源。为错误!未找到引用源。轴、错误!未找到引用源。轴、错误!未找到引用源。轴,建立空间 直角坐标系错误!未找到引用源。.则 错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。,于是 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。. 设平面错误!未找到引用源。的一个法向量为错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,则错误! 未找到引用源。,从而错误!未找到引用源。, 令错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。.而平面错误!未找到引用源。的一个法向量为错 误!未找到引用源。错误!未找到引用源。. 所以二面角错误!未找到引用源。的余弦值为错误!未找到引用源。, 于是二面角错误!未找到引用源。的正切值为 3. ----------12 分 20、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。. …………… 2分 y 解得错误!未找到引用源。 , ……………4 分 B 所以错误!未找到引用源。 , 椭圆的方程为错误!未找到引用源。. ……………5 分 x E (Ⅱ)由(Ⅰ)得过错误!未找到引用源。点的直线为错误!未找到引用源。 , O D 由错误!未找到引用源。 得错误!未找到引用源。 , ……………6 分 所以错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 , ……………7 分 依题意错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。. 因为错误!未找到引用源。成等比数列,所以错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 , ……………9 分 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,无解, …………… 10 分 当 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 时 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, 解 得 错 误 ! 未 找 到 引 用
7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 源。 , ……………11 分 所以错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 , 所以,当错误!未找到引用源。成等比数列时,错误!未找到引用源。. 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)错误!未找到引用源。的定义域为错误!未找到引用源。 ,

……………12

当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 , , 错误!未找到引用源。 错误! 未找到 错误!未找 错误!未找 1 引用 到引用源。 到引用源。 源。 所以错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。处取 错误! 未找到 得极小值 1. — 0 + 引用 (Ⅱ) , 源。 错误!未找到引用源。 错误! 错误!未找到引用源。 未找到 ①当错误!未找到引用源。 时,即错误!未找到引用源。 极小 引用 时,在错误!未找到引用源。上错误!未找到引用源。 , 源。 在错误!未找到引用源。上错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上单调递减,在错误!未找到引用源。上单调递增; ②当错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。时,在错误!未找到引用源。上错误!未找到引用 , 源。 所以,函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上单调递增. 22 证明: (Ⅰ)如图,连接 OC,错误!未找到引用源。OA =OB,CA=CB,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。是圆的半径,错误!未找到引用源。是圆的切线. (3 分) (Ⅱ)错误!未找到引用源。是直径,错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。 2 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 (5 分) 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。∽错误!未找到引用源。 (7 分) 设错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。…(9 分) 错误!未找到引用源。 (10)分 23. (本小题满分 10 分) 解:(1)由 ρ =2 5sin θ ,得 x +y -2 5y=0, 即 x +(y- 5) =5.
2 2 2 2

-----------5 分

(2)法一:将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得(3- 2 2 2 t) +( t)2=5, 2 2
2

即 t -3 2t+4=0.

2

由于 Δ =(3 2) -4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根, 所以?

?t1+t2=3 2, ?t1·t2=4.
8

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2.-----------10 分 (2)法二:因为圆 C 的圆心为(0, 5),半径 r= 5, 直线 l 的普通方程为:y=-x+3+ 5.

?x2+?y- 5?2=5, 由? ?y=-x+3+ 5.
解得:?

得 x -3x+2=0.

2

?x=1, ?y=2+ 5.

或 ?

?x=2, ?y=1+ 5.

不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5), 又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2. -----------10 分

? ?-2x-2,x<-3, -3≤x≤1, 24.(Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ?2x+2, x>1. ?
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}.

…………5 分

b (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( )即|ab-1|>|a-b|. …………6 分 a 因为|a|<1,|b|<1, 2 2 2 2 2 2 2 2 所以|ab-1| -|a-b| =(a b -2ab+1)-(a -2ab+b )=(a -1)(b -1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.
故所证不等式成立. ……………10 分

9


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