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§2.2.1从位移的合成到向量的加法第一课时


§2.2.1 从位移的合成到向量的加法第一课时
陕西省西安中学 宋心茹

【教材版本】北师大版 【教材分析】
向量是近代数学中重要的基本概念, 向量的加法是本章知识的重点, 是平面向量一章最 基本的运算,也是向量数量积等运算的基础.向量的加法也是本节教学的重点. 向量是联系数量关系与空间形式的工具,它具有广泛地实际应用性,向量加法的教学, 必须紧密联系力的分解与合成、速度变化、位置移动等实际问题,并通过教学解决这些实际 问题. 教学中通过学习向量加法的运算, 还必须让学生理解并掌握向量加法的运算法则, 并会 用几何意义和方法解决数学问题.

【学情分析】
学生在上节课中学习了向量的定义及表示,相等向量,平行向量等概念,知道向量可以 自由移动,这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌,并且在物理中学过力的合 成、位移的合成等矢量的加法,所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为 背景引入,这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义,准确把握两个加法法则的特点。

【教学目标】
1.知识与技能
(1)理解向量加法的定义. (2)熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 会求两个向量的和及几个向 量的和. (3)能准确理解、表述向量加法的交换律和结合律,并能熟练运用向量加法的交换律 和结合律进行向量运算. 2.过程与方法 本节课中, 通过类比位移的合成引入向量的加法, 通过一个个特殊的例子探索向量加法 的性质、规律,都体现了对学生合情推理能力(主要是类比和不完全归纳)的培养。当然, 合情推理毕竟是一种或然推理, 对其猜想出的结果尽量要做理论上的验证, 所以在例题的设 置和求解过程中就体现了合情推理与演绎推理的完美结合。

3.情感、态度与价值观
通过本节的学习,培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。

【重点难点】
1.本节基础知识及关键为准确理解有向线段的概念,掌握用有向线段表示向量, 理解 向量加法的几何意义,掌握向量加法、减法运算法则,解决好“有方向”亦可以“相加”的 确切含义. 2.本节教学重点为求两个向量的和向量. 3.本节教学难点为正确理解向量加法的定义,准确认识向量既有方向又有大小,求向 量的模及模的有关概念.

【教学环境】
◆多媒体教室 ◆课件

【教学设计】 一、情景引入、提出问题
设计意图 从熟悉的实例出发,经过观察、分析、归纳、概括出向量加法的概念. 在 师生共同的活动与变换中,实施教学任务,展现自然流畅的教学过程. 实例 1 飞机从上海飞往香港,再从香港飞往台北,这两次位移的结果与飞机从上海直

接飞往台北的位移是相同的. 这时,我们就把后面这样一次位移叫作前面两次位移的合位移. 请同学们也举几个合位移的实例. 如图,把合位移表示出来: 实例 2 在大型生产车间里,如图,一件重物被天车从 A 处搬运到 B 处.它的实际位移

上海

台北

D

B

香港 实例 1 图

A 实例 2 图

C

AB ,可以看作竖直向上运动的分位移 AD ,与水平运动的分位移 DB 的合位移.
由分位移求合位移,称为位移的合成. 根据物理学知识我们知道:位移合成遵循平行四边形法则,即 AC 是以 AB 、 AD 为邻 边的

ABCD 的对角线.有 AC ? AB ? AD .
D C

A

B

二、新知探究
向量加法的定义
已知向量 a , b ,如图,在平面内任取一点 A ,作 AB ? a , BC ? b ,再作向量 AC , 则向量 AC 叫作向量 a 与 b 的和,记作 a + b . 此即向量求和的三角形法则. 同物理中力的合成、速度的合成一样,如图,

AC ? AB ? AD .
A

C

a?b

b a
B

D

C

b
A

a?b
B

a

此即向量求和的平行四边形法则.

三、学生活动、猜想讨论
问题 向量求和的各种情况的讨论.

讨论设计 (1)两向量不共线:

a
b

a?b
a?b

b

a

a?b

a?b

b b a
(2)两向量共线:

a

a

b
a?b

a
a?b

b

注:当两向量共线时,向量加法的平行四边形法则就不成立了. (3)其中有一个是零向量: a ? 0 ? 0 ? a ? a . 小结:两个向量(的)和仍是向量, (第二个向量的)首(与第一个 向量的)尾相接,指向(第二个向量的)终点.

四、典例精析
例1 轮船从 A 港沿东偏北 30 方 北

向行驶了 40 n mile(海里)到达 B 处, 再由 B 处沿正北方向行驶 40 n mile 到 达 C 处,求此时轮船与 A 港的相对位 置. 解:如图,设 AB 、 BC 分别表示 轮船的两次位移,则 AC 表示轮船的合 位移,则有

C

B
西

30
A


D



AC ? AB ? BC .

在 Rt ?ADB 中, ?BAD ? 30 , ?BDA ? 90 , | AB |? 40 n mile,∴

| DB |? 20 n mile,

| AD |? 20 3 n mile.
在 Rt ?ADC 中, ?CDA ? 90 , | DC |? 20 ? 40 ? 60 (n mile) , ∴

| AC |? | AD |2 ? | DC |2 ? (20 3) 2 ? 602 ? 40 3 ? 69.3 (n mile).
又 ∵

| AC |? 2 | AD | , ∴ ?CAD ? 60 .

答:轮船此时位于 A 港东偏北 60 ,且距 A 港约 69.3 n mile 的 C 处. 例2 两个力 F1 和 F2 同时作用在一个物体上,其中 F 1 ? 40 N ,方向向东, F 2 ? 30 N ,方

向向北,求它们的合力.

OA 表示 F1 ,OB 表示 F2 . 解: 如图, 以 OA 、
OB 为邻边作 OACB ,则 OC 表示合力 F .

B

C
F

在 Rt ?OAC 中, OA ? 40 N ,

F1

AC ? OB ? 30N .
由勾股定理,得

O

?

F2

A

F ?| OC |? | OA |2 ? | AC |2 ? 402 ? 302 ? 50 ( N ) .
3 ? 0.75 , ∴ ? ? arctan 0.75 37 . 4

tan ? ?

答:合力大小为 50 N ,方向为东偏北约 37 . 例3 在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速

度为 v1 ? 3 46 km / h ,河水流动的速度 试求小船过河实际航行速度的大小和 v2 ? 2.0 km / h , 方向. 解: 如图,设 OA 表示小船垂直于河岸方向行驶 的速度, OB 表示水流动的速度,以 OA 、 OB 为邻边 作

.

A

C

O

B

OACB ,则 OC 就是小船过河实际航行的速度.
在 Rt ?OBC 中, | BC |? v1 ? 3 46 km / h , | OB |? v2 ? 2 0 km / h .

.

.

由勾股定理,得 | OC |? | OB | ? | BC | ? 3 46 ? 2 0 ? 4 0 ( km / h) .
2 2 2 2

.

.

.



tan BOC ?

v1 ? 1.73 , ∴ v2

?BOC ? arctan1.73 ? 60 .

答:小船过河实际航行的速度大小为 4 0 km / h ,方向与水流的方向成 60 角.

.

五、思考交流、活动探究
问题 1 如图,思考向量加法满足的运算律:如图,

a?b?c

b?c a?b

c
a

a

b
a?b

(1)交换律: a ? b ? b ? a ; (2)结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) . 注:可用向量求和的三角形法则和平行四边形法则证明. 问题 2

n 个向量求和的三角形法则: n 个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点

与后一个向量的起点重合,组成一个向量的折线,则这 n 个向量的和等于折线起点到终点的 向量,即 A0 A 1?A 1A 2 ?A 2A 3?

? An?2 An?1 ? An?1 An ? A0 An .

六、学生活动课堂练习
P90 练习 3.小船向正东方向行驶了 10 km ,又向正北方向行驶了 17 3 km .求小船经过两次位移 的合位移. 解: 如图,设 AB 表示小船向 正东方向的位移, BC 表示小船 向正北方向的位移,则 AC 就是

.

C

A

B

小船经过两次位移的合位移. 在 Rt ?ABC 中, | AB |? 10 km , | BC |? 17 3 km , ?ABC ? 90 . 由勾股定理,得 又

.

| AC |? | AB |2 ? | BC |2 ? 102 ? 17.32 ? 20 ( km) .

tan BAC ?

| BC | ? 1.73 , ∴ ?BAC ? arctan1.73 ? 60 . | AB |

答:小船经过两次位移的合位移约为 20 km ,方向为东偏北约 60 . 4.填空: (1) AB ? BC ? AC ; (2) AB ? BC ? CD ? DE ? EF ? AF ; (3) AB ? BC ? CA ? 0 .

七、研究课题
如前例 3,在“小船过河”的问题中,若小船过河时,小船实际沿垂直河岸的方向过河, 试求小船过河自身行驶速度的大小和方向.

八、布置作业
P93 习题 2—2 课堂作业 课外作业 A 组 B 组 1.2.3. 1.2.


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