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高中数学必修4三角函数常考题型:三角函数的诱导公式(一)


三角函数的诱导公式(一)
【知识梳理】
1.诱导公式二 (1)角 π+α 与角 α 的终边关于原点对称. 如图所示.

(2)公式:sin(π+α)=-sin_α. cos(π+α)=-cos_α. tan(π+α)=tan_α. 2.诱导公式三 (1)角-α 与角 α 的终边关于 x 轴对称. 如图所示.

(2)公式:sin(-α)=-sin_α. cos(-α)=cos_α. tan(-α)=-tan_α. 3.诱导公式四 (1)角 π-α 与角 α 的终边关于 y 轴对称. 如图所示.

(2)公式:sin(π-α)=sin_α. cos(π-α)=-cos_α. tan(π-α)=-tan_α.

【常考题型】 题型一、给角求值问题

【例 1】 求下列三角函数值: 119π (1)sin(-1 200° );(2)tan 945° ;(3)cos . 6 [解] (1)sin(-1 200° )=-sin 1 200° =-sin(3×360° +120° )=-sin 120° =-sin(180° -60° ) 3 ; 2

=-sin 60° =-

(2)tan 945° =tan(2×360° +225° )=tan 225° =tan(180° +45° )=tan 45° =1; π? 119π π 3 ? π? (3)cos =cos? ?20π-6?=cos?-6?=cos6= 2 . 6 【类题通法】 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

【对点训练】 求 sin 585° cos 1 290° +cos(-30° )sin 210° +tan 135° 的值. 解:sin 585° cos 1 290° +cos(-30° )sin 210° +tan 135° =sin(360° +225° )cos(3×360° +210)+ cos 30° sin 210° +tan(180° -45° )=sin 225° cos 210° +cos 30° sin 210° -tan 45° =sin(180° + 45° )cos(180° +30° )+cos 30° · sin(180° +30° )-tan 45° =sin 45° cos 30° -cos 30° sin 30° -tan 45° = 6- 3-4 2 3 3 1 × - × -1= . 2 2 2 2 4

题型二、化简求值问题
cos?-α?tan?7π+α? 【例 2】 (1)化简: =________; sin?π-α? sin?1 440° +α?· cos?α-1 080° ? (2)化简 . cos?-180° -α?· sin?-α-180° ? (1)[解析] [答案] 1 sin?4×360° +α?· cos?3×360° -α? sin α· cos?-α? cos α (2)[解] 原式= = = =-1. cos?180° +α?· [-sin?180° +α?] ?-cos α?· sin α -cos α 【类题通法】 cos?-α?tan?7π+α? cos αtan?π+α? cos α· tan α sin α = = = =1. sin α sin α sin α sin?π-α?

利用诱导公式一~四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的; (2)化简时函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变; (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切. 【对点训练】 tan?2π-θ?sin?2π-θ?cos?6π-θ? 化简: . ?-cos θ?sin?5π+θ? tan?-θ?sin?-θ?cos?-θ? tan θsin θcos θ 解:原式= = =tan θ. cos θsin θ ?-cos θ?sin?π+θ?

题型三、给角(或式)求值问题
1 【例 3】 (1)已知 sin β= ,cos(α+β)=-1,则 sin(α+2β)的值为( 3 A.1 1 C. 3 B.-1 1 D.- 3 )

1 (2)已知 cos(α-55° )=- ,且 α 为第四象限角,求 sin(α+125° )的值. 3 (1)[解析] ∵cos(α+β)=-1, ∴α+β=π+2kπ,k∈Z, 1 ∴sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(π+β)=-sin β=- . 3 [答案] D 1 (2)[解] ∵cos(α-55° )=- <0,且 α 是第四象限角. 3 ∴α-55° 是第三象限角. 2 2 sin(α-55° )=- 1-cos2?α-55° ?=- . 3 ∵α+125° =180° +(α-55° ), ∴sin(α+125° )=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55° )= 【类题通法】 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间 的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化. 2 2 . 3

【对点训练】 1 已知 sin(π+α)=- ,求 cos(5π+α)的值. 3 解:由诱导公式得,sin(π+α)=-sin α, 1 所以 sin α= ,所以 α 是第一象限或第二象限角. 3 当 α 是第一象限角时,cos α= 1-sin2α= 2 2 , 3

2 2 此时,cos(5π+α)=cos(π+α)=-cos α=- . 3 2 2 当 α 是第二象限角时,cos α=- 1-sin2α=- , 3 2 2 此时,cos(5π+α)=cos(π+α)=-cos α= . 3

【练习反馈】
1.如图所示,角 θ 的终边与单位圆交于点 P?-

?

5 2 5? ,则 cos(π-θ) , 5 5 ?

的值为(

) B.- 2 5 D. 5 5 , 5 5 5

2 5 A.- 5 C. 5 5

解析:选 C ∵r=1,∴cos θ=- ∴cos(π-θ)=-cos θ= 5 . 5

4 2.已知 sin(π+α)= ,且 α 是第四象限角,则 cos(α-2π)的值是( 5 3 A.- 5 3 C.± 5 解析:选 B 3 B. 5 4 D. 5 4 sin α=- ,又 α 是第四象限角, 5

)

3 ∴cos(α-2π)=cos α= 1-sin2α= . 5 sin?α-3π?+cos?π-α? 3.设 tan(5π+α)=m,则 =________. sin?-α?-cos?π+α?

解析:∵tan(5π+α)=tan α=m, -sin α-cos α -tan α-1 -m-1 m+1 ∴原式= = = = . -sin α+cos α -tan α+1 -m+1 m-1 m+1 答案: m-1 4. cos?-585° ? 的值是________. sin 495° +sin?-570° ?

cos?360° +225° ? 解析:原式= sin?360° +135° ?-sin?210° +360° ? = cos?180° +45° ? cos 225° = sin 135° -sin 210° sin?180° -45° ?-sin?180° +30° ?

2 - 2 -cos 45° = = = 2-2. sin 45° +sin 30° 2 1 + 2 2 答案: 2-2 π ? 3 ? 5π? 5.已知 cos? ?6-α?= 3 ,求 cos?α+ 6 ?的值. 5π? ? ? 5π?? 解:cos? ?π+ 6 ?=-cos?π-?α+ 6 ??= π 3 ? -cos? ?6-α?=- 3 .


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