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浙江省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列


浙江省 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练





一、选择、填空题 1 、 ( 2016 年 浙 江 省 高 考 ) 如 图 , 点 列 {An} , {Bn} 分 别 在 某 锐 角 的 两 边 上 , 且
* An An?1 ? An? 1 An? 2, An ? An? , n 2 ?N ,

Bn Bn?1 ? Bn?1Bn?2 , Bn ? Bn?2 , n ? N* ,( P ? Q表示点P与Q不重合 ).
若 dn ? An Bn ,Sn为△An Bn Bn?1的面积,则

A. {Sn } 是等差数列 C. {dn } 是等差数列

2 B. {Sn } 是等差数列 2 D. {dn } 是等差数列

2、(2016 年浙江省高考)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则 a1= S5= .



3、(2015 年浙江省高考)已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn ,若 a3 , a4 , a8 成等 比数列,则( ) A. a1d ? 0, dS4 ? 0 C. a1d ? 0, dS4 ? 0 B. a1d ? 0, dS4 ? 0 D. a1d ? 0, dS4 ? 0

4、 (嘉兴市 2016 届高三下学期教学测试(二) )已知 ?an ? 是等差数列,公差为 2,?bn ? 是等比数列, 公比为 2,若 ?bn ? 的前 n 项和为 abn ,则 a1 ? b1 等于( A.1 B.2 C.3 D.4 )

* 5、 (金华、 丽水、 衢州市十二校 2017 届高三 8 月联考) 在数列 ?an ? 中,a1 ? 1, an ?1 ? 3an n ? N ,

?

?

则 a3 ? _________, S5 ? __________ 6、 (金华十校 2016 届高三上学期调研)等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , S 2 ? a3 ,且

a1 , a2 , ak 成等比数列,则 k ? ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

7 、(宁波市 2016 届高三上学期期末考试)已知实数列 ?an ? 是等比数列,若 a2 a5 a8 ? ?8 ,则

1 4 9 ( ▲ ) ? ? a1 a5 a1 a9 a5 a9
A.有最大值

1 2

B.有最小值

1 2

C.有最大值

5 2

D.有最小值

5 2

8、 (绍兴市柯桥区 2016 届高三教学质量调测(二模) )各项均不为零的等差数列 ?an ? 中,若

an ?1 ? an 2 ? an ?1 ? n ? N ? , n ? 2 ? ,则 S2016 ? (
A. 0 B. 2

) D. 4032

C. 2015

2 2 9、 (温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟)已知数列 {an } 为等差数列, a1 ? a2 ? 1, Sn 为 {an } 的前 n

项和,则 S5 的取值范围是 A. [ ?

15 15 2, 2] 2 2

B. [ ? 5 5 , 5 5] D. [ ? 5 3 , 5 3]

C. [ ? 10 , 10]

10、 (温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟) 数列 {an } 满足 an?1 ? an ? an?1 (n ? N* ,n ? 2) ,Sn 是 {an } 的前 n 项和,若 a5 ? 1 ,则 S6 ? ▲

11、 (温州市 2016 届高三第二次适应性考试) 数列 ?an ? 是递增数列, 且满足 an?1 ? f (an ) , a1 ? (0,1) , 则 f ( x ) 不可能是( A. f ( x) ? ) B. f ( x) ? 2 ?1
x

x

C. f ( x) ? 2 x ? x 2

D. f ( x) ? log 2 ( x ? 1)

12、(浙江省五校 2016 届高三第二次联考) 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, an ?1 ?

1 ? an ,则 1 ? an

a1a2 a3 ?a15 ?
S2016 ?


;设 bn ? ? ?1? an ,数列 ?bn ? 前 n 项的和为 S n ,则
n

13、 (诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测)已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1, 且 a 2 , a 4 , a3 成等差, 则数列 ?an ? 的公比 q ? ,数列 ?an ? 的前 4 项和 S 4 ? .

14、 (慈溪中学 2016 届高三高考适应性考试)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若数列 {Sn } 有唯一

的最大项 S3 , Hn ? S1 ? 2S2 ? 3S3 ? ?? nSn ,则( A. S5 ? S6 ? 0 C.数列 {an } 、 {Sn } 都是单调递减数列 B. H5 ? H6 ? 0



D. H 6 可能是数列 {H n } 最大项

15、 (杭州市学军中学 2016 届高三 5 月模拟考试) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 ,前 n 项和为 Sn , 若 2a3 , a5 ,3a4 成等差数列, a2 a4 a6 ? 64 ,则 q ? , Sn ? .

16、(温州市 2016 届高三第二次适应性考试)已知等差数列 ?an ? 的公差为-3,且 a3 是 a1 和 a4 的等 比中项,则通项 an ? _________,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的最大值为________.

二、解答题 1、(2016 年浙江省高考)设数列 ?an ? 满足 an ?
n ?1 a1 ? 2 , n ? ?? ; (I)证明: an ? 2

an?1 ? 1 , n ? ?? . 2

?

?

(II)若 an ? ?

?3? ? ? ? , n ? ? ,证明: an ? 2 , n ? ? . ?2?

n

2、(2015 年浙江省高考)已知数列 ?an ? 满足 a1 =

1 * 2 且 an ?1 = an — an (n ? N ) 2

(I)证明:1 ?

an ? 2 (n ? N * ); an ?1

2 (II)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,证明

? ?

S 1 1 * ? n? (n ? N ). 2(n ? 2) n 2(n ? 1)

3、 (嘉兴市 2016 届高三下学期教学测试(二) )已知点列 Pn ( xn ,

2 ) 与 An (an ,0) 满足 xn?1 ? xn , xn

?????? ? ?????? ? ?????? ? ?????? ? * P P ? A P ,且 P P ? A P n n ?1 n n ?1 ,其中 n ? N , x1 ? 1 . n n?1 n n?1
(1)求 xn ?1 与 xn 的关系式;
2 2 2 2 (2)求证: n2 ? x2 ? x3 ? ?? xn ?1 ? 4n .

4、 (金华、丽水、衢州市十二校 2017 届高三 8 月联考)已知数列 ?an ? 的各项都不为零,其前 n 项
* 为 Sn ,且满足: 2S n ? an ? an ? 1? n ? N .

?

?

(1)若 an ? 0 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)是否存在满足题意的无穷数列 ?an ? ,使得 a2016 ? ?2015 ?若存在,求出这样的无穷数列的一 个通项公式;若不存在,请说明理由.

5、 (金华十校 2016 届高三上学期调研)已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , an ?1 ? (1)证明:当 n ? 1 , n ? N 时,
?

an (n ? N ? ) . 2 1 ? an

2 ? an ? 1 ; n?2

(2)设 S n 为数列 ?an ?的前 n 项和,证明: S n ?

2 n ? 1( n ? N ? ) .

6、(宁波市 2016 届高三上学期期末考试)对任意正整数 n ,设 an 是方程 x ?
2

x ? 1 的正根. n

求证:(Ⅰ) an?1 ? an ; (Ⅱ)

1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? 1? ? ??? . 2a2 3a3 nan 2 3 n

7、 (绍兴市柯桥区 2016 届高三教学质量调测(二模) )已知数列 ?an ? 满足:

a1 ? 1, an ?1 ? an 2 ? 2an ? 3 ? b ? n ? N ? ? .
(1)若 b ? 1 ,求证数列

?? a ?1? ? 是等差数列;
2 n

(2) 若 b ? ?1 ,求证: a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ?

3n ? 4 . 6

8、 (温岭市 2016 届高三高考模拟) 已知数列 {an } 满足 0 ? an ? 1 , 且 an ?1 ? (Ⅰ)证明: an?1 ? an ; (Ⅱ)若 a1 ?

1 1 ? 2an ? (n ? N* ) . an ?1 an

1 5 ,设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,证明: 2n ? 4 ? ? Sn ? 3n ? 4 ? 2 . 2 2

9、 (温州市 2016 届高三第二次适应性考试)设正项数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,且对任意的 n, m ? N? ,
2 2 2 2 n ? m ,均有 an ?m ? an?m ? n ? m 成立.

(1)求 a2 , a3 的值,并求 ?an ? 的通项公式; (2) (i)比较 a2n?1 ? a2n?1 与 2a2 n 的大小; (ii)证明: a2 ? a4 ? ? ? a2 n ?

n (a1 ? a3 ? ? ? a2 n ?1 ) n ?1

2 3 3 Sn ? a13 ? a2 ? ? ? an n? N* , 10、 (浙江省五校 2016 届高三第二次联考) 已知正项数列 ?an ? 满足:

?

?

其中 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项的和。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 2n ? 1 (Ⅱ)求证: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?3。 (n ? 1) n ? 1 ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? ? a2 n?1 ?

3

3

3

3

11、 (诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测)已知数列 {an } 的各项都大于 1,且
2 2 * a1 ? 2, an ?1 ? an?1 ? an ? 1 ? 0(n ? N ).

(Ⅰ)求证:

n?7 ? an ? an ?1 ? n ? 2; 4

(Ⅱ)求证:

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ?1 2a ? 3 2a2 ? 3 2a3 ? 3 2an ? 3
2 1

12、 (慈溪中学 2016 届高三高考适应性考试)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,

a1 ? 2, a2 ? 7, an ? 3an?1 ? 2an?2 , n ? N * , n ? 3 .
(1)求证: a2017 一定是奇数; (2)①求证: 4S n ? 3 ?

17 a2 1 an , (n ? 2, n ? N ) ;②求证: | an?1 ? n |? , (n ? 2, n ? N ) . 3 an?1 2

13、 (杭州市学军中学 2016 届高三 5 月模拟考试)已知数列 ?an ? 满足:

a1 ? 1, an ?1 ? an ?

? n ? 1?

an 2

2

?n ? N ? .
?

(1)证明:

an?1 1 ; ? 1? 2 an ? n ? 1?
2 ? n ? 1? ? an ?1 ? n ? 1 . n?3

(2)求证:

参考答案 一、填空、选择题 1、【答案】A 【解析】 Sn 表示点 An 到对面直线的距离(设为 hn )乘以 Bn Bn?1 长度一半,即 S n ?

1 hn Bn Bn ?1 , 2

由题目中条件可知 Bn Bn?1 的长度为定值,那么我们需要知道 hn 的关系式,过 A 1 作垂直得到初始距

? 离 h1 ,那么 A 1, A n 和两个垂足构成了等腰梯形,那么 hn ? h 1? A n A n?1 ? tan ? ,其中 为两条线的夹

角,即为定值,那么 S n ? 差后: S n ?1 ? S n ? 2、【答案】 1

1 1 (h1 ? A1 A n ? tan ? ) Bn Bn ?1 , Sn ?1 ? ( h1 ? A1 A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,作 2 2

1 ( An A n ?1 ? tan ? ) Bn Bn ?1 ,都为定值,所以 Sn?1 ? Sn 为定值.故选 A. 2 121

3、答案: B 解析:等差数列 {an } 中, a3 , a4 , a5 成等比数列, 则: (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 2d )( a1 ? 7d ) ? a1 ? ? d ,
2

5 3

则: S 4 ? 2(a1 ? a4 ) ? 2(a1 ? a1 ? 3d ) ? ? 4、B 9、B 13、 5、9,121 10、4 6、D 11、B 7、D

2 2 d ,则 dS 4 ? ? d 2 ? 0 . 3 3
8、D

12、 3; ?2100

14、D

15、 2 ,

2n ? 1 2

16、 ?3n ? 15 , 30 二、解答题 1、【试题分析】(I)先利用三角形不等式得 an ?

a a ?1 1 1 an ?1 ? 1 ,变形为 n ? n ? n ,再用累加 n n ?1 2 2 2 2

法可得

a1 an a a 1 ? n ? 1 ,进而可证 an ? 2n ?1 ? a1 ? 2 ? ;(II)由(I)可得 n ? m ? n ?1 ,进而可 n m 2 2 2 2 2
m

?3? 得 an ? 2 ? ? ? ? 2n ,再利用 m 的任意性可证 an ? 2 . ?4?

(II)任取 n ? ? ,由(I)知,对于任意 m ? n ,

?

an 2
?
n

?

?a a ?1 ?? n ? n n 2 2n?1 ?2 am
m

? ? an ?1 an ? 2 ? ? ? n?1 ? n? 2 2 ? ?2

? ? am?1 am ? ? ? ??? ? ? m?1 ? m ? 2 ? ? ?2

1 1 1 ? n ?1 ? ??? ? m ?1 n 2 2 2 1 ? n ?1 , 2
? 1 a an ? ? n ?1 ? m 2m ?2 ? n ??2 ?
m



? 1 1 ? ? n ?1 ? m 2 ? ?2
m

?3? ?? ? ?2?

? n ??2 ? ?

?3? ? 2 ? ? ? ? 2n . ?4?
从而对于任意 m ? n ,均有

2、(1)由题意得, an?1 ? an ? ?an 2 ? 0 ,即 an?1 ? an , an ?

1 , 2

由 an ? (1 ? an?1 )an?1 ,得 an ? (1 ? an?1 )(1 ? an?2 ) ??? (1 ? a1 )a1 ? 0 , 由 0 ? an ?

1 a a an 1 得, n ? ? ? [1, 2] ,即 1 ? n ? 2 ; 2 2 an?1 an?1 an ? an 1 ? an

(2)由题意得 an 2 ? an ? an?1 ,∴ Sn ? a1 ? an?1 ①, 由

a 1 1 a 1 1 ? = n 和 1 ? n ? 2 得, 1 ? ? ? 2, an ?1 an an ?1 an?1 an ?1 an

∴n ?

1 1 1 1 ? an ?1 ? (n ? N * ) ②, ? ? 2n ,因此 2(n ? 1) n?2 an ?1 a1

由①②得

S 1 1 ? n? . 2(n ? 2) n 2(n ? 1)
2 x n ?1 ? 2 2 ) , An Pn?1 ? ( x n?1 ? a n , ) xn x n ?1

3、解: (Ⅰ) Pn Pn?1 ? ( x n?1 ? x n ,
( x n ?1 ? x n ,

2 2 2 4 ? ) ? ( xn ? 1 ? an , ) ? 0 得 x n ?1 ? a n ? 2 ①, xn ? 1 x n ?1 x n x n ?1 ? x n 2 xn ? 1 ? 2 2 4 ) ? ( xn ? 1 ? an )2 ? 2 ② xn xn ? 1
2 xn ?1

又 ( xn ? 1 ? xn )2 ? (

把①代入②,得 ( x n?1 ? x n ) 2 (1 ? 得 ( x n ?1 ? x n ) 2 ?
4
2 xn ?1

4 4 4 ) ? 2 (1 ? 2 ), 2 2 ? xn x n ?1 x n ?1 ? x n
2 x n ?1

,所以 x n?1 ? x n ?



(Ⅱ) x n?1 ? x n ?
2 所以 xn ?1 ? 1 ? n

2 x n ?1
i ?1 2

,所以 2 ? xn?12 ? xn xn?1 ? xn?12 ? xn 2 ,
? xi
2

? ?x
i ?1

? ? 2n ,所以 x

n?1

? 2n ? 1 ,

2 2 2 2 x2 ? x3 ? ?? x n ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ? n .
n n n

又 n ? 2 时, xn?1 ? x2 ? 因为
2 2i ? 1 ? 4

?
i ?2

( xi ?1 ? xi ) ?
?

?
i ?2

2 ? xi ?1

?
i ?2

2 2i ? 1



4 2i ? 2i ? 2

2i ? 1 ? 2i ? 1

? 2 2( i ? 1 ? i ) ,

所以 xn ? 1 ? x2 ?

? (2
i?2

n

2( i ? 1 ? i ) ? 2 2( n ? 1 ? 2 )

所以 xn ?1 ? 8n ? 8 ? 2 ,所以 x n?1 2 ? 8n ? 8 ? 4 ? 4 8n ? 8 ? 8n ? 4 ,
2 2 2 2 又 x 2 ? 2 ,所以 x2 ? x3 ? ? ? xn ? 1 ? 4[1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1)] ? 4n .
* 4、 (1)∵数列 ?an ? 的各项都不为零且满足 2S n ? an ? an ? 1? n ? N . . . . . . . . . . .①

?

?

∴ 2S1 ? 2a1 ? a1 ? a1 ? 1? ,解得 a1 ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 ∴ 2Sn?1 ? an?1 ? an?1 ?1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .②,
2 2 ②-①得 2an?1 ? an ?1 ? an ? an?1 ? an ,

整理得到 0 ? ? an?1 ? an ?1?? an ? an?1 ? ,∴ an?1 ? an ? 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ∴ ?an ? 是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列,∴ an ? 1 ? ? n ?1? ?1 ? n . . . . . . . . . . . . . . .7 分 (2) 根据 (1)a1 ? 1,0 ? ? an?1 ? an ?1?? an ? an?1 ? , 可得 an?1 ? an ? 1 或 an?1 ? ?an , . . . . . . . . . . . . 11 分 所以从第二项开始每一项都有两个分支,因此通项为

n, n ? 2015 ? ? an ? ? 的数列满足题意,使得 a2016 ? ?2015 (其他符合的答案类似给 n ?1 ? ?1? , n ? 2016 ? ?2015?
分) . . .15 分 5、解: (1)由已知条件易知: an ? 0 ,且

1 1 ? ? an , (*) an ?1 an



1 1 ? ? 0 ,因此 an ?1 ? an ,即数列 ?an ?是递减数列,故 an ? a1 ? 1 . an ?1 an
1 . 2

当 n ? 2, n ? N ? 时, an ? a2 ? 又由(*)知,

1 1 1 1 ? ? an ? ? (n ? 2) , an ?1 an an 2 1 1 1 1 2 ? ? (n ? 2) ? n ? 1 ,即 an ? , n ? 2, n ? N ? , an a2 2 2 n?2
2 2 ? 也成立. 1? 2 3

利用累加可得:

经验证:当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 因此当 n ? 1, n ? N ? 时, (2)将(*)式平方可得:

2 ? an ? 1 . n?2

1 1 2 ? 2 ? an ? 2, 2 an ?1 an

累加可得:

1 1 2 2 ? 2 ? a12 ? a2 ? ? ? ? ? an ?1 ? 2( n ? 1) ? 2 ? 2( n ? 1) ? 2n, ( n ? 2) , 2 an a1
2 ? 2 ( n ? n ? 1) . n ? n ?1

∴ an ?

2 ? 2 n

因此当 n ? 2, n ? N ? 时,

S n ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? 1 ? 2 ( 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? n ? n ? 1) ? 2n ? 1 ? 2 ,
只需证: 2n ? 1 ? 2 ?

2n ? 1 ,即证 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 , 2n ? 1 ,

两边平方整理得: 2n ? 1 ? 2 2n ? 2n ? 1 ? 2 2 2n ? 1 ,即 n ? 再次两边平方即证: n ? 1 ,显然成立. 经验证:当 n ? 1 时, S1 故 Sn ?

? 1 ? 2 ?1 ? 1 ? 1 也成立.

2 n ? 1( n ? N ? ) .

2 6、证:由 an ?

an ? 1 ,且 an ? 0 得 0 ? an ? 1 .……………………3 分 n a a 2 2 (Ⅰ) an ? n ? 1, an ?1 ? n ?1 ? 1 n n ?1 两式相减得 an ?1 an 2 2 0 ? an ? ?1 ? an ? n ?1 n

2 2 ? an ?1 ? an ?

an ?1 an ? n n

1 ? (an ?1 ? an )(an ?1 ? an ? ) n



因为 an ?1 ? an ?

1 ? 0 ,故 an?1 ? an ? 0 ,即 an?1 ? an . n

……………………7 分

1 1 ? ? 2 ?4 n a ? n 法二: n 2

……………………3 分

?

2 1 1 为单调 ? 4 ? n2 n
? ? 1? ? ? 1, n?

……………………7 分

(Ⅱ)因为 an ? an ?

所以

1 1 ? an ? , an n

由 0 ? an ? 1 得 从而当 i ? 2 时,
n

1 1 . ? 1? an n

……………………10 分

1 1 1 1 1 1 1 ( ? 1) ? (1 ? ? 1) ? 2 ? ? , i ai i i i i ?1 i

n 1 1 1 1 1 ( ? 1) ? ? 1 ? ( ? 1) ? ? a1 i ?1 i ai i ? 2 i ai

? ?

n 1 1 1 ?1? ? ( ? ) a1 i i ?2 i ? 1

1 1 1 ? ? a1 n a1
. ……………………15 分

所以

1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? 1? ? ??? 2a2 3a3 nan 2 3 n
2 2 2

7、 解: (1)an?1 ? an ? 2an ? 3 ? 1, ? an?1 ? 1? ? ? an ? 1? ? 2,? ? an ? 1? 等差数列. (2)显然 an ? 0, an ?1 ?

?

2

? 是首项为 0 ,公差为 2 的

2 an ? 2an ? 3 ? 1,? f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 1 在 x ??0,1? 上单调递减,

? ? f ? x? ? ? ? 2 ? 1, 3 ? 1? ,故当 0 ? an ? 1 时, 0 ? an?1 ? f ? an ? ? 1 , 即当 0 ? a1 ? 1时, an?1 ? 1

与 an ? 1 同号

?0 ? an ? 1 ,
2 2 an ? 2 ? an ? an ?1 ? 2an ?1 ? 3 ? an ?1 ? 2an ?1 ? 3 ?

? an?1 ? an?1 ? 2 ?? an?1 ? an?1 ?
2 2 an an ?1 ? 2an ?1 ? 3 ? ?1 ? 2an ?1 ? 3

,

? an?1 ? an?1 ? 2 ? 0, an?2 ? an 与 an?1 ? an?1 异号,且 a3 ? a1 ? 0 ,

?a2n?2 ? a2n ? 0, a2n?1 ? a2n?1 ? 0,??a2n?1? 单调递减, ?a2 n ? 单调递增,
3 ?? 1? ? an ? ?? an ? ? ? 1 1 1 1 2 ?? 2? 2 ? an?1 ? ? an ? 2an ? 3 ? ? ? ,? an ?1 ? 与 an ? 异号, 3 2 2 2 2 2 an ? 2an ? 3 ? 2
? a1 ? 1 1 1 1 ? 0,? a2 n ?1 ? ? 0, a2 n ? ? 0,? a2 n ? ? a2 n ?1 , n ? N ? . 2 2 2 2
2

3 ?? 1? 3 ?? 3? 5? ? ? ? a2 n ? ?? a2 n ? ? a2 n ? ?? a2 n ?1 ? ? 2? ? ? ? ? 1 1? 1? 2 ?? 2? 2 ?? 2? 2? ? ? ? ? a2 n ?1 ? ? ? ? a2 n ?1 ? ? ? ? a ? ? ? 2 ? 2 n ?1 3 ? 2 3 ?? 3? 2 2? ? 2? 3? ? a22n ? 2a2 n ? 3 ? a2 n ? 2a2 n ? 3 ? ?? a22n ?1 ? 2a2 n ?1 ? 3 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ?? 2? 2? ? 1? 1? ? ? a2 n ?1 ? ? 4? 2?

? ? 1 ?n ? ?1 ? ? ? ? n ?1 ?4? ? 1? ? 1? 1? 1 1 1 1 ?1? 1? ? ? ? ? ? 2, ? ? a1 ? ? ? ? a3 ? ? ? ... ? ? a2 n ?1 ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? 2? ? 2? 2? 2 2 4 2 ?4? 2 1? 1 3 ? ? 4 3n ? 4 ? a1 ? a3 ? ... ? a2 n ?1 ? 6
8、 证明:(1)? an ?1 ? 又 f ( x) ? x ?

1 ? 1? ? ? an ? ? ? an ? 0 , an ?1 ? an ?

1 在 (0,1) 单调递减, 0 ? an ? 1 , x
………………………5 分

? an?1 ? an .
(2)? an ?1 ?

1 1 ? 2an ? , an ?1 an 1 1 ? . an?1 an

? an ? an ?1 ? an ?

? Sn ? an ?1 ? a1 ?

1 1 1 5 ? ? an ?1 ? ? . an?1 a1 an?1 2

………………………8 分

又? an ?1 ? 2 ?
2

1 1 2 ? 4an ?4? 2 , 2 an?1 an
………………………10 分

?

1 1 2 2 ? 2 ? 2 ? 4an ? an ?1 . 2 an?1 an

由 0 ? an?1 ? an 可知?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4a12 ? 2 ? 3 , ………………………14 分 2 an an?1 an an

即2?

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ,? 2n ? 2 ? 2 ? 3n , 2 an?1 an an ?1 a1
1 1 1 ? 3n ? 4 .? 2n ? 4 ? ? 3n ? 4 , 0 ? an ?1 ? , 2 2 an ?1 an?1

? 2n ? 4 ?

? 2n ? 4 ?

5 ? Sn ? 3n ? 4 ? 2 2

………………………15 分

2 2 2 2 2 9、解: (Ⅰ)令 m ? 1 ,得 an ?1 an ?1 ? n ? 1,从而 a1 a3 ? 3 ,所以 a3 ? 3 ………………2


2 2 令 n ? m ? 2 ,得 a2 m? 2 ? a2 ? 4m ? 4

从而 a 4 ?

8 a2

, a6 ?

12 2 ,又 a 4 a 6 ? 5 ? 1 ? 24 , a2

2 所以 a 2 ? 2 , a2 ?

2
可知当 n 为偶数时, an ?

…………………4 分

从而 a2m?2 ?

2m ? 2

n;

令 n ? m ? 1 ,得 a2m?1 ? 综上可得 an ? (Ⅱ) (i)

2m ? 1 ,可知当 n 为奇数时, an ? n
…………………6 分

n (n ? N ? ) .

a 2 n?1 ? a 2 n ?1 ? 2a 2 n ? ( 2n ? 1 ? 2n ) ? ( 2n ? 1 ? 2n ) ? ?0 1 2 n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n

所以 a2n?1 ? a2n?1 ? 2a2n (ii)即证明 2 ?

…………………9 分

4 ? ? ? 2n ?

n ( 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2 n ? 1) n ?1

由(i)得 1 ? 3 ? 2 2 , 将上述的 n 个式子相加,得

3 ? 5 ? 2 4 ,…, 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 2n

2( 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? (1 ? 2n ? 1) ? 2( 2 ? 4 ? ? ? 2n )
所以 2 ? 4 ? ? ? 2n ? ( 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ? 1) ?

1 ? 2n ? 1 2

所以,只需证 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ?

1 ? 2n ? 1 n ? ( 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1) 2 n ?1

即 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? 事实上,当 k ? 0,1,2,?, n 时

(n ? 1)(1 ? 2n ? 1) ……………………………12 分 2

1 ? 2k ? 2n ? 1 ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 ?
(因为 1 ? 2k ? 1 ? 2n , 1 ?

2k 1 ? 2k ? 1

?

2k 2 n ? 1 ? 2k ? 2n ? 1

?0

2n ? 1 ? 2k )

所以 1 ? 2k ? 2n ? 1 ? 2k ? 1 ? 2n ? 1 从而

1 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1 ? [(1 ? 2n ? 1) ? ( 3 ? 2n ? 1) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 3 ) ? ( 2n ? 1 ? 1)] 2
1 (n ? 1)(1 ? 2n ? 1) .…………………………………………15 分 2

?

2 3 3 3 * 20.10、(Ⅰ)∵ S n ? a1 ? a2 ? ? ? an n ? N

?

? ? ?

∴ Sn?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1
2 3 3 3
2 2 3 3 2 两式相减得 S n ? S n ?1 ? an ? an S n ? S n ?1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? an 2 2 则 S n ? S n ?1 ? an , S n ?1 ? S n ? 2 ? an ?1

?

?

?

?

?

?

?a 两式相减得
所以

n

2 2 ? an ?1 ? ? an ? an ?1 ? ? an ? an ?1 ? ? 1

an ? n
3

4分

? 1 ?2 1 (Ⅱ)根据(Ⅰ)知, ? ? ? n n ? an ?
2 ? k ? 2n ? 2 ? k ? ∵ k ? 2n ? 2 ? k ? ? ? ? ? ? n ? 1? 2 ? ? 2



1 k k

?
3 2

1 (2n ? 2 ? k ) (2n ? 2 ? k )
3 2 3 2

?

2 k ? 2 n ? 2 ? k ? k ? 2n ? 2 ? k ?

?

2

? n ? 1?

n ?1

即?

?1? ? 1 ? ? 1 ? ? ?? ? ? 2? ? ? ak ? ? a2 n? 2?k ? ? an?1 ?

? 1 ?2 令 k ? 1, 2,3,?, n ,累加后再加 ? ? 得 a ? n?1 ?

3

? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? ? a2 n?1 ? ? an?1 ? ? an?1 ? ? an?1 ? ? an?1 ? ? an?1 ? ? 1 ? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1? ? ? ? (n ? 1) n ? 1 ? an?1 ?
又∵ ? 而
3 2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

9分

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ?3? ? ??? ?2 1 2 2 3 3 (2n ? 1) 2n ? 1 2 2 3 3 (2n ? 1) 2n ? 1

1 k k

?

1 1 1 ? 1 1 ? 1 k ? k ?1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k k k ?1 k ? k ?1 k ? k ? k ?1 k k? ? k ?1

?

2 k? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? 2? ? k ? k ?1 k? k? ? k ?1

令 k ? 2,3, 4,?, 2n ? 1 ,累加得

1 2 2

?

1 3 3

?? ?

1 (2n ? 1) 2n ? 1

1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ? ??? 2? ? ? 2 ?1 ? ??2 ? ? 2? 2? ? 2 3? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2n ?

? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2 2n ? 1 ∴ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?3 (n ? 1) n ? 1 ? a1 ? ? a2 ? ? a3 ? ? a2 n?1 ?
11、

3

3

3

3

14 分

12、 (1)证明:∵ an ? 3an?1 ? 2an?2 , n ? N * , n ? 3 ,∴ an 与 an ?1 有相同的奇偶性 ∵ a2 ? 7 是奇数,所以 a2017 一定是奇数 (2)①证明:当 n ? 3 时, ∵ an ? 3an?1 ? 2an?2 ,

an?1 ? 3an?2 ? 2an?3


a3 ? 3a2 ? 2a1
相加得:∵ Sn ? a1 ? a2 ? 3(Sn ? an ? a1 ) ? 2(Sn ? an?1 ? an )

4Sn ? 3 ? 5an ? 2an?1

∵ a1 ? 2, a2 ? 7 ,∴ an ? 3an?1 ? 2an?2 ? 0 ,∴ an ? 0 当 n ? 3 时, an ? 3an?1 ? 2an?2 ? 3an?1 ,∴ an ?1 ? ∵ a1 ? 2, a2 ? 7 ,∴ an ?1 ?

1 an , 3

1 an (n ? 2) 3 1 17 17 an ,即 4Sn ? 3 ? an ∴ 4S n ? 3 ? 5an ? 2an ?1 ? 5an ? 2 ? an ? 3 3 3
②证明:当 n ? 3 时,∵ | an?1 ?
2 an (3an?1 ? 2an?2 )2 |?| 3an ? 2an?1 ? | an?1 an?1

?|

2 2 2an 2a 2 ? 2an?2 an 2an?2 a2 ?1 ? 6an ?1an ? 2 ? 4an ? 2 |?| n?1 |? | an ? n?1 | an?1 an?1 an?1 an?2

∵ an ?1 ?

1 2a 2 an (n ? 2) ,∴ n?2 ? ? 1 3 an?1 3
2 an a2 a2 1 |?| an ? n?1 |? ? ?| a3 ? 2 |? an?1 an?2 a1 2 2 an a2 1 1 |? ,所以 | an?1 ? n |? , (n ? 2, n ? N ) . an?1 2 an?1 2

∵ | an?1 ?

当 n ? 2 时, | an ?1 ?

13、解: (1) an ?1 ? an ?

? n ? 1?

an 2

2

? 0 ? an ?1 ? an ? a1 ? 1 ,可得:

an?1 an 1 . ? 1? ? 1? 2 2 an ? n ? 1? ? n ? 1?
(2)

an?1 ? an an 1 ,所以: ? 2 an?1an ? n ? 1? an?1

0?

an an 1 1 1 1 1 1 1 ?1? ? ? ? ? ? ? 2 2 an?1 an an?1 ? n ? 1? an?1 ? n ? 1? ? n ? 1? n n n ? 1
1 1 1 ? ? 1? ? an?1 ? n ? 1 a1 an?1 n ?1

累加得:

(该不等式右边也可以用数学归纳法证明) 另一方面由 an ? n 可得:原式变形为.

an?1 an a n 1 n?2 n ?1 ? 1? ?1 ? 1? ? ? n ? 2 2 an n ?1 n ?1 an?1 n ? 2 ? n ? 1? ? n ? 1?

所以:

an 1 1 1 1 n ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 2 an an?1 ? n ? 1? an?1 ? n ? 1? n ? 2 ? n ? 1?? n ? 2? n ? 1 n ? 2
2 ? n ? 1? 1 1 1 1 . ? ? ? ? an?1 ? a1 an?1 2 n ? 1 n?3

累加得


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