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2014届福州高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)集合(含解析)


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第一节

集__合

[知识能否忆起] 一、元素与集合 1.集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. 2.集合中元素与集合的关系: 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈和?. 3.常见集合的符号表示: 集合 表示 自然数集

N 正整数集 N 或 N+
*

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

4.集合的表示法:列举法、描述法、韦恩图. 二、集合间的基本关系 描述关系 集合 间的 基本 关系 真子集 相等 子集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A 中任意一元素均为 B 中的元素 A 中任意一元素均为 B 中的元素,且 B 中至 少有一个元素 A 中没有 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 符号语言 A=B A?B 或 B?A A?B 或 B?A ??B ??B(B≠?)

空集

三、集合的基本运算 集合的并集 符号表示 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为 U, 则集合 A 的 补集为?UA

图形表示 意义 {x|x∈A,或 x∈B} {x|x∈A,且 x∈B} {x|x∈U,且 x?A}

[小题能否全取]

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1.(2012· 大纲全国卷)已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形},C={x|x 是正 方形},D={x|x 是菱形},则( A.A?B C.D?C ) B.C?B D.A?D

解析:选 B 选项 A 错,应当是 B?A.选项 B 对,正方形一定是矩形,但矩形不一定是 正方形.选项 C 错,正方形一定是菱形,但菱形不一定是正方形.选项 D 错,应当是 D?A. 2.(2012· 浙江高考)设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2-2x-3≤0},则 A∩(?RB)= ( ) A.(1,4) C.(1,3) B.(3,4) D.(1,2)∪(3,4)

解析:选 B 因为?RB={x|x>3,或 x<-1},所以 A∩(?RB)={x|3<x<4}. 3.(教材习题改编)A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则 A∩B=B 时 a 的值 是( ) A.2 C.1 或 3 B.2 或 3 D.1 或 2

解析:选 D 验证 a=1 时 B=?满足条件;验证 a=2 时 B={1}也满足条件. 4.(2012· 城 模 拟 ) 如 图 , 已 知 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , 集 合 A = 盐 {2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分 表示的集合为________. 解析:阴影部分表示的集合为 A∩C∩(?UB)={2,8}. 答案:{2,8} 2 ? ? 5.(教材习题改编)已知全集 U={-2,-1,0,1,2},集合 A=?x?x=n-1,x,n∈Z? ,
?

?

?

则?UA=________. 2 ? ? 解析:因为 A=?x?x=n-1,x,n∈Z? ,
?

?

?

当 n=0 时,x=-2;n=1 时不合题意; n=2 时,x=2;n=3 时,x=1; n≥4 时,x?Z;n=-1 时,x=-1; n≤-2 时,x?Z. 故 A={-2,2,1,-1}, 又 U={-2,-1,0,1,2},所以?UA={0}. 答案:{0}

1.正确理解集合的概念

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研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用 描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分{x|y=f(x)}、{y|y=f(x)}、{(x, y)|y=f(x)}三者的不同. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集 合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑 A=?和 A≠?两种可能的 情况.

元素与集合

典题导入 [例 1] (1)(2012· 新课标全国卷)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y ∈A},则 B 中所含元素的个数为( A.3 C.8 B.6 D.10 )

(2)已知集合 M={1,m},N={n,log2n},若 M=N,则(m-n)2013=________. [自主解答] (1)∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5}, ∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}, ∴B 中所含元素的个数为 10. (2)由 M=N 知
? ? ?n=1, ?n=m, ? 或? ? ? ?log2n=m ?log2n=1, ? ? ?m=0, ?m=2, ∴? 或? ?n=1 ?n=2, ? ?

故(m-n)2 013=-1 或 0. [答案] (1)D (2)-1 或 0 由题悟法 1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在 求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. 2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列

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出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性. 以题试法 1.(1)(2012· 北京东城区模拟)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a ∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数为( A.9 C.7 B.8 D.6 )

(2)已知集合 A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则 a=________. 解析:(1)∵P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5},Q={1,2,6},∴当 a=0 时,a+b 的值为 1,2,6;当 a=2 时,a+b 的值为 3,4,8;当 a=5 时,a+b 的值为 6,7,11, ∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},∴P+Q 中有 8 个元素. (2)∵-3∈A, ∴-3=a-2 或-3=2a2+5a. 3 ∴a=-1 或 a=- . 2 当 a=-1 时,a-2=-3,2a2+5a=-3, 与元素互异性矛盾,应舍去. 3 7 当 a=- 时,a-2=- ,2a2+5a=-3. 2 2 3 ∴a=- 满足条件. 2 3 答案:(1)B (2)- 2

集合间的基本关系

典题导入 [例 2] (1)(2012· 湖北高考)已知集合 A={x|x2-3x+2=0, x∈R}, B={x|0<x<5, x∈N}, 则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( A.1 C.3 B.2 D.4 )

(2)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实数 a 的取值范围是(c,+ ∞),其中 c=________. [自主解答] (1)由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2, ∴A={1,2}. 由题意知 B={1,2,3,4},∴满足条件的 C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (2)由 log2x≤2,得 0<x≤4,

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即 A={x|0<x≤4},而 B=(-∞,a), 由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4. [答案] (1)D (2)4 由题悟法 1.判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系; 二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进 而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析.

以题试法 2.(文)(2012· 郑州模拟)已知集合 A={2,3},B={x|mx-6=0},若 B?A,则实数 m 的 值为( A.3 C.2 或 3 ) B.2 D.0 或 2 或 3

解析:选 D 当 m=0 时,B=??A;
?6? 当 m≠0 时,由 B=?m??{2,3}可得 ? ?

6 6 =2 或 =3, m m 解得 m=3 或 m=2, 综上可得实数 m=0 或 2 或 3. (理)已知集合 A={y|y= -x2+2x},B={x||x-m|<2 013},若 A∩B=A,则 m 的取值范 围是( ) B.(-2 012,2 013) D.(-2 013,2 011)

A.[-2 012,2 013] C.[-2 013,2 011]

解析: B 集合 A 表示函数 y= -x2+2x的值域,由 t=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, 选 可得 0≤y≤1,故 A=[0,1]. 集合 B 是不等式|x-m|<2 013 的解集, 解之得 m-2 013<x<m+2 013, 所以 B=(m-2 013, m+2 013). 因为 A∩B=A,所以 A?B.

如图,由数轴可得
?m-2 013<0, ? ? ? ?m+2 013>1,

解得-2 012<m<2 013.

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集合的基本运算

典题导入 [例 3] (1)(2011· 江西高考)若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6} 等于( ) B.M∩N D.(?UM)∩(?UN)

A.M∪N C.(?UM)∪(?UN)

(2)(2012· 安徽合肥质检)设集合 A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则 图中阴影部分表示的集合为( A.{x|x≥1} C.{x|-8<x<1} ) B.{x|-4<x<2} D.{x|1≤x<2}

[自主解答] (1)∵M∪N={1,2,3,4}, ∴(?UM)∩(?UN)=?U(M∪N)={5,6}. (2)∵x2+2x-8<0, ∴-4<x<2, ∴A={x|-4<x<2}, 又∵B={x|x<1}, ∴图中阴影部分表示的集合为 A∩(?UB)={x|1≤x<2}. [答案] (1)D (2)D

将例 3(1)中的条件“M={2,3}”改为“M∩N=N”,试求满足条件的集合 M 的个数. 解:由 M∩N=N 得 M?N. 含有 2 个元素的集合 M 有 1 个,含有 3 个元素的集合 M 有 4 个, 含有 4 个元素的集合 M 有 6 个,含有 5 个元素的集合 M 有 4 个, 含有 6 个元素的集合 M 有 1 个. 因此,满足条件的集合 M 有 1+4+6+4+1=16 个.

由题悟法 1.在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地, 集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时注意端点值的 取舍. 2.在解决有关 A∩B=?,A?B 等集合问题时,一定先考虑 A 或 B 是否为空集,以防 漏解.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

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以题试法 3. (2012· 锦州模拟)已知全集 U=R,集合 A={x|x2-2x>0},B={x|y=lg(x-1)},则(?
UA)∩B

等于(

) B.{x|1<x<2} D.{x|1≤x≤2}

A.{x|x>2,或 x<0} C.{x|1<x≤2}

解析:选 C A={x|x(x-2)>0}={x|x>2,或 x<0}, B={x|y=lg(x-1)}={x|x-1>0}={x|x>1}, ?UA={x|0≤x≤2}. ∴(?UA)∩B={x|1<x≤2}.

1.(2012· 新课标全国卷)已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( A.A?B C.A=B B.B?A D.A∩B=?

)

解析:选 B A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2}, B={x|-1<x<1}, 所以 B?A. 2.(2012· 山西四校联考)已知集合 M={0,1},则满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 的个数是 ( ) A.2 C.4 B.3 D.8

解析:选 C 依题意得,满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 有{2},{0,2},{1,2},{0,1,2}共 4 个. 3.设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=( A.{3,0} C.{3,0,2} B.{3,0,1} D.{3,0,1,2} )

解析:选 B 因为 P∩Q={0},所以 0∈P,log2a=0,a=1,而 0∈Q,所以 b=0.所以 P∪Q={3,0,1}. 4.(2012· 辽宁高考)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B= {2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=( A.{5,8} C.{0,1,3} ) B.{7,9} D.{2,4,6}

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解析:选 B 因为 A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8},所以(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={7,9}. 5. (2013· 合肥质检)已知集合 A={-2, -1,0,1,2}, 集合 B={x∈Z||x|≤a}, 则满足 A?B 的实数 a 的一个值为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:选 D 当 a=0 时,B={0}; 当 a=1 时,B={-1,0,1}; 当 a=2 时,B={-2,-1,0,1,2}; 当 a=3 时,B={-3,-2,-1,0,1,2,3}, 显然只有 a=3 时满足条件. 6.已知全集 U=R,集合 A={x|3≤x<7},B={x|x2-7x+10<0},则?U(A∩B)=( A.(-∞,3)∪(5,+∞) C.(-∞,3)∪[5,+∞) 解析:选 C B.(-∞,3]∪[5,+∞) D.(-∞,3]∪(5,+∞) )

x2-7x+10<0?(x-2)· (x-5)<0?2<x<5,A∩B={x|3≤x<5},

故?U(A∩B)=(-∞,3)∪[5,+∞). 7.(2012· 大纲全国卷)已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 C.1 或 3 3 B.0 或 3 D.1 或 3 )

解析:选 B 法一:∵A∪B=A,∴B?A.又 A={1,3, m},B={1,m},∴m=3 或 m = m. 由 m= m得 m=0 或 m=1.但 m=1 不符合集合中元素的互异性,故舍去,故 m=0 或 m=3. 法二:∵B={1,m},∴m≠1,∴可排除选项 C、D. 又当 m=3 时,A={1,3, 3},B={1,3},满足 A∪B={1,3, 3}=A,故选 B. 8.设 S={x|x<-1,或 x>5},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则 a 的取值范围是( A.(-3,-1) B.[-3,-1] C.(-∞,-3]∪(-1,+∞) D.(-∞,-3)∪(-1,+∞) 解析:选 A 在数轴上表示两个集合,因为 S∪T=R,由图
?a<-1, ? 可得? 解得-3<a<-1. ? ?a+8>5,

)

9.若集合 U=R,A={x|x+2>0},B={x|x≥1},则 A∩(?UB)=________. 解析:由题意得?UB=(-∞,1), 又因为 A={x|x+2>0}={x|x>-2}, 于是 A∩(?UB)=(-2,1).

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答案:(-2,1) 10. (2012· 武汉适应性训练)已知 A, 均为集合 U={1,2,3,4,5,6}的子集, A∩B={3}, B 且 (?UB)∩A={1},(?UA)∩(?UB)={2,4},则 B∩(?UA)=________. 解析:依题意及韦恩图得,B∩(?UA)={5,6}. 答案:{5,6}
? 2 ? 11.已知 R 是实数集,M=?x?x <1? ,N={y|y= x-1},则 ? ? ?

N∩(?RM)=________. 解析:M={x|x<0,或 x>2},所以?RM=[0,2], 又 N=[0,+∞),所以 N∩(?RM)=[0,2]. 答案:[0,2] 12. (2012· 吉林模拟)已知 U=R, 集合 A={x|x2-x-2=0}, B={x|mx+1=0}, B∩(?UA) =?,则 m=________. 1 解析:A={-1,2},B=?时,m=0;B={-1}时,m=1;B={2}时,m=- . 2 1 答案:0,1,- 2 13.(2012· 苏北四市调研)已知集合 A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R},存在 a∈R,使得集 合 A 中所有整数元素的和为 28,则实数 a 的取值范围是________. 解析:不等式 x2 +a≤(a+1)x 可化为(x-a)(x-1)≤0,由题意知不等式的解集为 {x|1≤x≤a}.A 中所有整数元素构成以 1 为首项,1 为公差的等差数列,其前 7 项和为 7×?1+7? =28,所以 7≤a<8,即实数 a 的取值范围是[7,8). 2 答案:[7,8) 14.(2012· 安徽名校模拟)设集合 Sn={1,2,3,?,n},若 X?Sn,把 X 的所有元素的乘 积称为 X 的容量(若 X 中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为 0).若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为 Sn 的奇(偶)子集.则 S4 的所有奇子集的容量之和为 ________. 解析:∵S4={1,2,3,4},∴X=?,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3}, {2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}.其中是奇子集的为 X={1}, {3},{1,3},其容量分别为 1,3,3,所以 S4 的所有奇子集的容量之和为 7. 答案:7

? ? 1 1.(2012· 杭州十四中月考)若集合 A=?y?y=lg x,10≤x≤10 ?,B={-2,-1,1,2}, ? ? ?

全集 U=R,则下列结论正确的是(

)

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A.A∩B={-1,1} C.A∪B=(-2,2)

B.(?UA)∪B=[-1,1] D.(?UA)∩B=[-2,2]

1 解析:选 A ∵x∈?10,10?,∴y∈[-1,1], ? ? ∴A∩B={-1,1}. 2.设 A 是自然数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k2?A,且 k?A,那么 k 是 A 的 一个“酷元”,给定 S={x∈N|y=lg(36-x2)},设 M?S,且集合 M 中的两个元素都是“酷 元”,那么这样的集合 M 有( A.3 个 C.5 个 ) B.4 个 D.6 个

解析:选 C 由 36-x2>0,解得-6<x<6.又因为 x∈N,所以 S={0,1,2,3,4,5}. 依题意,可知若 k 是集合 M 的“酷元”是指 k2 与 k都不属于集合 M.显然 k=0,1 都不 是“酷元”. 若 k=2,则 k2=4;若 k=4,则 k=2.所以 2 与 4 不同时在集合 M 中,才能成为“酷 元”. 显然 3 与 5 都是集合 S 中的“酷元”. 综上,若集合 M 中的两个元素都是“酷元”,则这两个元素的选择可分为两类: (1)只选 3 与 5,即 M={3,5}; (2)从 3 与 5 中任选一个,从 2 与 4 中任选一个,即 M={3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}. 所以满足条件的集合 M 共有 5 个. 3. (2013· 河北质检)已知全集 U=R, 集合 M={x|x+a≥0}, N={x|log2(x-1)<1}, M∩(? 若
UN)={x|x=1,或

x≥3},那么(

) B.a≤1 D.a≥1

A.a=-1 C.a=1

解析:选 A 由题意得 M={x|x≥-a},N={x|1<x<3},所以?UN={x|x≤1,或 x≥3}, 又 M∩(?UN)={x|x=1,或 x≥3},因此-a=1,a=-1. 4.给定集合 A,若对于任意 a,b∈A,有 a+b∈A,且 a-b∈A,则称集合 A 为闭集 合,给出如下三个结论: ①集合 A={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ②集合 A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③若集合 A1,A2 为闭集合,则 A1∪A2 为闭集合. 其中正确结论的序号是________. 解析:①中,-4+(-2)=-6?A,所以不正确; ②中设 n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则 n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正

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确; ③令 A1={-4,0,4},A2={-2,0,2},则 A1,A2 为闭集合,但 A1∪A2 不是闭集合,所以 ③不正确. 答案:② 5.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)若 A∩B=[1,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 解:A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.
?m-2=1, ? (1)∵A∩B=[1,3],∴? 得 m=3. ? ?m+2≥3,

(2)?RB={x|x<m-2,或 x>m+2}. ∵A??RB,∴m-2>3 或 m+2<-1. ∴m>5 或 m<-3. 即 m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞). 6.(2012· 衡水模拟)设全集 I=R,已知集合 M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1)求(?IM)∩N; (2)记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 B∪A=A,求实 数 a 的取值范围. 解:(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴?IM={x|x∈R 且 x≠-3}, ∴(?IM)∩N={2}. (2)A=(?IM)∩N={2}, ∵A∪B=A,∴B?A,∴B=?或 B={2}, 当 B=?时,a-1>5-a,∴a>3;
?a-1=2, ? 当 B={2}时,? 解得 a=3, ? ?5-a=2,

综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}.

b ? ? 1. 现有含三个元素的集合, 既可以表示为?a,a,1?, 也可表示为{a2, a+b,0}, a2 013 则
? ?

+b2 013=________. b 解析:由已知得 =0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a2=1,即 a=1 或 a=-1,又根据集 a

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合中元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a=-1,故 a2 013+b2 013=(-1)2 013=-1. 答案:-1 2.集合 S={a,b,c,d,e},包含{a,b}的 S 的子集共有( A.2 个 C.5 个 B.3 个 D.8 个 )

解析:选 D 包含{a,b}的 S 的子集有:{a,b};{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e}; {a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e};{a,b,c,d,e}共 8 个. 3. 某班有 36 名同学参加数学、 物理、 化学课外探究小组, 每名同学至多参加两个小组. 已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13,同时参加数学和物理小组的有 6 人,同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有________人. 解析:由题意知,同时参加三个小组的人数为 0,设同时参加数 学和化学小组的人数为 x,Venn 图如图所示, ∴(20-x)+6+5+4+(9-x)+x=36,解得 x=8. 答案:8 4.已知集合 A={x|x2+2x+a≤0},B={x|a≤x≤4a-9},若 A,B 中至少有一个不是 空集,则 a 的取值范围是________. 解析:若 A,B 全为空集,则实数 a 满足 4-4a<0 且 a>4a-9,即 1<a<3,则满足题意 的 a 的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞). 答案:(-∞,1]∪[3,+∞) 1 ? 5.(2012· 重庆高考)设平面点集 A=(x,y)(y-x)· ?y-x ?≥0?,B={(x,y)|(x-1)2+(y- ? ?
?

1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( 3 A. π 4 4 C. π 7 3 B. π 5 π D. 2

)

解析: D A∩B 表示的平面图形为图中阴影部分, 选 由对称性可 知,SC=SF,SD=SE.因此 A∩B 所表示的平面图形的面积是圆面积的 π 一半,即为 . 2 文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)


2014届福州高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)集合(含解析)

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