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(教案)对数函数的定义、图象、性质


一.课题:对数函数(1)——对数函数的定义、图象、性质 二.教学目标:1.要求学生了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系 2.明确对数函数与指数函数的互为反函数,能利用其相互关系研究问题,会 求对数函数的定义域; 3.记住对数函数图象的规律,并能用于解题; 4.培养培养学生数形结合的意识用联系的观点研究数学问题的能力。 三.教学重点:对数函数的图象和性质,能熟练地求与对数函数有关的函数的定义域。 四.教学难点:对数函数与指数函数的关系,借助指数函数研究对数函数的图象和性质。 五.教学过程: (一)复习引入: 1.指数函数的定义、图象、性质。 2. 回忆学习指数函数时的实例——细胞分裂问题: 细胞的个数是分裂次数的指数函数 y ? 2 x . 反之,细胞分裂的次数是细胞个数的函数,由对数定义: x ? log2 y , 即:次数 y 是个数 x 的函数 y ? log2 x . (二)新课讲解: 1.对数函数的定义:函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数。 2.对数函数的性质: (1) 定义域、 值域: 对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0,??) , 值域为 (??,??) . (2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函 数图象作关于 y ? x 的对称图形,即可获得。 同样:也分 a ? 1 与 0 ? a ? 1 两种情况归纳,以 y ? log2 x (图 1)与 y ? log 1 x (图 2)为例。

y ? 2x y?x

1 1

y ? log2 x

1 y ? ( )x 2
1 1

2

y?x

(图 1) (3)对数函数性质列表:

(图 2)

y ? log 1 x
2

a ?1 x ?1
图 象

0 ? a ?1 x ?1

y ? loga x

(1, 0)

(1, 0)

y ? loga x
(1)定义域: (0, ??) 性 质 (2)值域: R (3)过点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在 (0, ??) 上是减函数

对数函数(1)

2.例题分析: 例 1.求下列函数的定义域: (1) y ? loga x 2 ; (2) y ? loga (4 ? x) ; (3) y ? loga (9 ? x 2 ) . 分析:此题主要利用对数函数 y ? loga x 的定义域 (0, ??) 求解。
2 解: (1)由 x >0 得 x ? 0 ,

∴函数 y ? loga x 2 的定义域是 x x ? 0 ; (2)由 4 ? x ? 0 得 x ? 4 ,
2 (3)由 9- ? x ? 0 得-3 ? x ? 3 ,

?

?

∴函数 y ? loga (4 ? x) 的定义域是 x x ? 4 ; ∴函数 y ? loga (9 ? x 2 ) 的定义域是 x ? 3 ? x ? 3 . 说明:此题只是对数函数性质的简单应用,应强调学生注意书写格式。

?

?

?

?

?1? ?1? 例 2.求函数 y ? ? ? ? 2 和函数 y ? ? ? ?2? ?5?

x

x 2 ?1

? 2 ( x ? 0) 的反函数。

?1? 解: (1) ? ? ? y ? 2 ?5? ?1 ∴ f ( x) ? log 1 ( x ? 2)
5

x

( x ? -2) ;

?1? (2) ? ? ?2?
-1

x2 ?1

? y-2
5 (2 ? x ? ) . 2

∴ f ( x) ? ? log 1 ( x - 2)
2

例 3.作出下列函数的图象: (1) y ? log 2 | x |

(2) y ?| log 1 ( x ? 2) | .
2

分析:本题主要利用函数图象的平移、对称变换来作图(图略) 。 六.练习:P89 页,练习 1,2. 七.小结:对数函数定义、图象、性质。 八.作业:习题 2.8 第 1、2、4 题。

对数函数(1)


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