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14.3 用函数观点看方程与不等式(1)---一次函数与一元一次方程


14.3

用函数观点看方程与不等式(1)

---一次函数与一元一次方程 吴忠市第四中学----李庆华
教学目标 (一)教学知识点 1.用函数观点认识一元一次方程. 2.用函数的方法求解一元一次方程. 3.加深理解数形结合思想. (二)能力训练目标 1.培养多元思维能力. 2.拓宽解题思路. 3.加深数形结合思想的认识与应用. (三)情感与价值观要求 1.经过活动,会从不同方面认识事物本质的方法. 2.培养学生实事求是,一分为二的分析思维习惯. 教学重点 1.函数观点认识一元一次方程. 2.应用函数求解一元一次方程. 教学难点 用函数观点认识一元一次方程. 教学方法 自主─合作─探究 归纳─总结─应用. 教具准备 多媒体演示. 教学过程 Ⅰ.提出问题,创设情境 我们来看下面两个问题: 1.解方程 2x+20=0 2.当自变量 x 为何值时,函数 y=2x+20 的值为 0? 这两个问题之间有什么联系吗? 我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法. Ⅱ.导入新课 我们首先来思考上面提出的两个问题.在问题1中,解方程 2x+20=0,?得 x=?-10.解 决问题2就是要考虑当函数 y=2x+20 的值为 0 时, 所对应的自变量 x 为何值. 这可以通过解 方程 2x+20=0,得出 x=-10.因此这两个问题实际上是一个问题. 从函数图象上看,直线 y=2x+20 与 x 轴交点的坐标(-10,0) ,这也说明函数 y=2x+20 值为 0 对应的自变量 x 为-10,即方程 2x+20=0 的解是 x=-10.

[活动一] 活动内容设计: 由上面两个问题的关系,大家来讨论思考,归纳概括出解一元一次方程与求自变量 x 为何值时,一次函数 y=kx+b 的值为 0 有什么关系? 活动设计意图: 通过上述活动, 逐步学会从特殊到一般的归纳概括能力, 进一步认识函数与一元一次方 程的内在联系. 教师活动: 引导学生从特殊事例中寻求一般规律.进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联 系,从思想上真正理解函数与方程的关系. 学生活动: 在教师引导下,通过自主合作,分析思考,找出这两个具体问题中的一般规律,从而经 过讨论,归纳概括出较完整的关系,还要从思想上正确理解函数与方程关系的目的. 活动过程与结论: 规律: 任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b 为常数,k≠0)的形式. 而一次函数解析式形式正是 y=kx+b (k、 为常数, b k≠0) 当函数值为 0 时, kx+b=0 . ?即 就与一元一次方程完全相同. 结论: 由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0(k、b 为常数,k≠0)的形式.所以解一元 一次方程可以转化为:当一次函数值为 0 时,求相应的自变量的值. 从图象上看,这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值. [师]大家总结得很好!我们来试着看个问题,如何用函数的观点解决它. [例]一个物体现在的速度是 5m/s, 其速度每秒增加 2m/s, 再过几秒它的速度为 17m/s? [解]方法一:设再过 x 秒物体速度为 17m/s.由题意可知:2x+5=17 解之得:x=6. 方法二:速度 y(m/s)是时间 x(s)的函数,关系式为:y=2x+5. 当函数值为 17 时,对应的自变量 x 值可通过解方程 2x+5=17 得到 x=6. 方法三:由 2x+5=17 可变形得到:2x-12=0. 从图象上看,直线 y=2x-12 与 x 轴的交点为(6,0) .得 x=6.

总结: 这个题我们通过三种方法, 从方程、 函数解析式及图象三个不同方面进行解答. 它 是数与形的完美结合,结果是相同的,这就是特途同归. [活动二] 活动内容设计: 利用图象求方程 6x-3=x+2 的解. 活动设计意图: 通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题, 进而加深对数形 结合思想的认识与理解. 教师活动: 引导学生通过解决问题掌握方法,提高认识,从思想上真正理解数形结合的重要性. 学生活动: 在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题,从思想上理清数与形的有机结合. 活动过程与结论: 方法一: 我们首先将方程 6x-3=x+2 整理变形为 5x-5=0. 然后画出函数 y=5x-5 的图象,看直线 y=5x-5 与 x 轴的交点在哪儿,?坐标是什么,由 交点横坐标即可知方程的解.

由图可知直线 y=5x-5 与 x 轴交点为(1,0) ,故可得 x=1. 方法二: 我们可以把方程 6x-3=x+2 看作函数 y=6x-3 与 y=x+2 在何时两函数值相等, ?即可从两 个函数图象上看出,直线 y=6x-3 与 y=x+2 的交点,?交点的横坐标即是方程的解.

由图象可以看出直线 y=6x-3 与 y=x+2 交于点(1,3) ,所以 x=1. Ⅲ.随堂练习 1.2x-3=x-2. 2.x+3=2x+1. [解]1.把 2x-3=x-2 整理变形为 x-1=0.从函数 y=x-1 的图象与 x?轴交点坐标上即可 看出方程的解. 由图象上可以看出直线 y=x-1 与 x 轴交点为(1,0) .∴x=1.

2.我们可以把 x+3=2x+1 看作函数 y=x+3 与 y=2x+1 在自变量 x 取何值时函数值相等, 反映在图象上即直线 y=x+3 与 y=2x+1 的交点横坐标.由下图可知交点为(2,5) . ∴x=2.

[师]从上面活动及练习可以看出,用一次函数图象解方程未必简单.但是,从函数角度 看问题, 我们可以发现一次函数与一元一次方程之间的联系, 这种数与形的转化与结合在以 后学习中有很重要的作用. Ⅳ.课时小结 Ⅴ.课后作业

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