kl800.com省心范文网

第1章-1.2-1.2.2-第1课时组合与组合数公式


1.2.2 第 1 课时

组合

组合与组合数公式

●三维目标 1.知识与技能 通过实例,理解组合的概念;能利用排列数公式、两个 计数原理推导组合数公式.

2.过程与方法 通过对具体实例的对比分析,亲身经历组合概念的形成 过程,明确排列与组合的关系;在用列举法列出组合、排列 的过程中体会组合

数与排列数、计数原理的关系,并参与体 验组合数的应用,体会将实际问题化归为组合问题的方法. 3.情感、态度与价值观 培养学生的全面、有序地思考问题的习惯,发展学生的 数学的应用意识和创新意识.

●重点、难点 重点:组合数公式的应用. 难点:组合数公式的推导. 组合数公式的推导过程体现了众多数学思想方法的应 用,教学的关键是引导学生研究组合与排列的关系,发现排
m 列可以分为“先取元素,再作全排列”两个步骤,即 Am n =Cn

Am m,从而化解难点.

课 标 1.理解组合与组合数的概念. 解 2.会推导组合数公式并会应用公式求值. 读

组合的定义

【问题导思】 ①从全班 40 人中选出 5 人组成班委会. ②从全班 40 人中选出 5 人分别担任班委中的 5 个不同职 务. 以上两个问题中哪个是排列?①与②有何不同特点?

【提示】 ②是排列,①中选出的 5 人无需排列,②中 选出的 5 人有顺序.

组合的定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 合成一组 ,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.

组合数与组合数公式

【问题导思】 从 1,3,5,7 中任取两个相除,(1)可以得到多少个不同的 商?(2)如何用分步乘法计数原理求商的个数? (3)你能得出 计算 C2 4的公式吗?

【提示】 (1)A2 4=4×3=12 个. (2)第 1 步,从这四个数中任取两个数,有 C2 4种方法;第 2 步,将每个组合中的两个数排列,有 A2 2种排法.由分步乘
2 法计数原理,可得商的个数为 C2 4A2=12. 2 A 4 2 2 2 2 (3)能.因为 A4=C4A2,所以 C4= 2=6. A2

组合数与组合数公式 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 组合数 所有不同组合的个数 ,叫做从 n 个不同元 定义及 素中取出 m 个元素的组合数,用符号 Cm n 表示. 表示

n?n-1??n-2???n-m+1? 乘积 m C m! 组合数 形式 n= n! 公式 阶乘 m Cn = m!?n-m?! 形式 n-m m C Cn = n m-1 m 性质 m C C n Cn+1= n + 1 备注 规定 C0 n=

组合概念的理解
判断下列问题是组合还是排列,并用组合数或 排列数表示出来. (1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有 3 个元 素的有多少个? (2)8 人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件? (3)8 人相互通电话一次,共通了多少次电话? (4)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航 线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?

【思路探究】 明确组合、排列的定义是解题的关键, 若问题是否与顺序有关不明显,则可以尝试写出其中的一个 结果进行判断.

【自主解答】 (1)已知集合的元素具有无序性,因此含 3 个元素的子集个数与元素的顺序无关,是组合问题,共有 C3 7个. (2)因为发件人与收件人有顺序区别,与顺序有关是排列 问题,共写了 A2 8个电子邮件. (3)同时通电话, 无顺序, 是组合问题, 共通了 C2 8次电话. (4)飞机票与起点站、终点站有关,故求飞机票的种数是 排列问题,有 A2 4种飞机票;票价只与两站的距离有关,故票 价的种数是组合问题,有 C2 4种票价.

排列与组合的区别 区别一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有 无“顺序”, 有顺序就是排列问题, 无顺序就是组合问题. 判 断一个问题是否有顺序:先将元素取出来,看交换元素的顺 序对结果有无影响,有影响就是“有序”,是排列问题;没 有影响就是“无序”,是组合问题. 也就是说排列与选取的元素的顺序有关,组合与选取的 元素的顺序无关.

本例(1)若从已知集合中选取 3 个不同的元素,作为一元 二次方程 ax2+bx+c=0 的系数, 可以得到多少个不同的一元 二次方程?

【解】 是排列问题.选取的 3 个元素顺序不同时,得
3 到不同的一元二次方程,共有(C3 - 1)A 7 3个不同的一元二次方

程.

有关组合数的计算与证明
3 (1)计算 C4 A3 10-C7· 3; m-1 (2)证明:mCm = n C n n-1 .

【思路探究】 利用组合数公式和组合数的性质解决.

【自主解答】

10×9×8×7 4 3 (1) 原 式 = C 10 - A 7 = - 4×3×2×1

7×6×5=210-210=0. (2)证明:mCm n =m· n! n· ?n-1?! = m!?n-m?! ?m-1?!?n-m?!

?n-1?! =n· ?m-1?!?n-m?!
-1 =nCm n-1 .

关于组合数计算公式的选取
m A n (1) 涉 及 具 体 数 字 的 可 以 直 接 用 公 式 C m n = m= Am

n?n-1??n-2???n-m+1? 计算; m! (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cm n= n! 计算; m!?n-m?!

n-m (3)计算时应注意利用组合数的性质 Cm = C 简化运算. n n

3 3 3 (1)计算:C3 + C + C +?+ C 4 5 6 2012的值为(

)

A.C4 2 013 C.C4 2 013-1

B.C5 2 013 D.C5 2 013-1

4 5 6 (2)计算:C3 + C + C + C 7 7 8 9=________.

3 3 3 【解析】 (1)C3 + C + C + ? + C 4 5 6 2 012 3 3 3 4 =C4 + C + C + ? + C - C 4 4 5 2 012 4 3 3 =C4 5+C5+?+C2 012-1=? 3 4 =C4 + C - 1 = C 2 012 2 012 2 013-1. 4 5 6 (2)C3 + C + C + C 7 7 8 9= 5 6 5 6 6 4 C4 8+C8+C9=C9+C9=C10=C10=210.

【答案】 (1)C (2)210

含组合数的方程或不等式
-7 2 (1)解方程 3Cx = 5A - x 3 x-4;

6 (2)解不等式 C4 n>Cn.

【思路探究】 利用组合数或排列数公式将方程或不等 式化为一般的方程或不等式求解.

【自主解答】 (1)由排列数和组合数公式,原方程可化 为 ?x-3?! ?x-4?! 3· =5· , ?x-7?!4! ?x-6?! 3?x-3? 5 则 = ,即为(x-3)(x-6)=40. 4! x-6 ∴x2-9x-22=0, 解之可得 x=11 或 x=-2. 经检验知 x=11 是原方程的根, x=-2 是原方程的增根. ∴方程的根为 x=11.

6 (2)由 C4 n>Cn得

n! n! ? ? > 4 ! ? n - 4 ? ! 6!?n-6?! ? ?n≥6 ?
? ?-1<n<10, ?? ? ?n≥6.

2 ? ?n -9n-10<0, ?? ? ?n≥6

又 n∈N*,

∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.

1.解答(1)易忽略根的检验而产生增根的错误,(2)易忽 略 n∈N*而导致错误. 2.与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、
m 组合数公式,以及组合数的性质,求解时,要注意由 Cn 中的

m∈N*,n∈N*,且 n≥m 确定 m、n 的范围,因此求解后要 验证所得结果是否适合题意.

-3 3 3 (1)解关于 x 的方程:xCx x +Ax =4Cx+1;

5 (2)解不等式:C3 > C x x.

3 3 【解】 (1)原方程即 xC3 x +Ax =4Cx+1,

x· x?x-1??x-2? 亦即 +x(x-1)(x-2) 6 4?x+1?x?x-1? = . 6 整理得:x2=16,∴x=4(x=-4 舍去),经检验满足条 件.∴x=4.

x?x-1??x-2? x?x-1??x-2??x-3??x-4? (2)∵ > . 3×2×1 5×4×3×2×1 ∴x2-7x-8<0,∴-1<x<8.
? ?x≥3, 又∵? ? ?x≥5.

∴5≤x<8 且 x∈N*.

∴x=5,6,7.

忽略 Cm n 中 m、n 的范围 1 1 7 已知 m- m= ,求 m. C5 C6 10 Cm 7

【错解】

m!?5-m?! m!?6-m?! 由已知 - = 5! 6!

7?7-m?!m! , 即 60-10(6-m)=(7-m)(6-m), 即 m2-23m 10×7! +42=0.解得 m=21 或 m=2.

【错因分析】 这是一个含组合数符号关于 m 的方程. 错 解中,转化为 m 的一元二次方程后,忽略了 m 的取值范围, 导致出错.
m 【防范措施】 解这类题时,要将 Cn 中 m、n 的取值范

围与方程的解综合考虑,可以先解方程,后验根.

m!?5-m?! m!?6-m?! 【正解】 因为 - = 5! 6! 7?7-m?!m! ,即 m2-23m+42=0. 10×7! 解得 m=21 或 m=2, 经检验 m=21 不符合题意应舍去. 所以 m=2.

1.对组合的三点认识 (1)组合的特点: 组合要求 n 个元素是不同的, 被取出的 m 个元素自然也是不同的,即“从 n 个 不同的元素中取出 m 个元素”. (2)组合的特性是:元素的无序性,即取出的 m 个元素不讲究顺序, 亦即元素没有位置的要求. (3)相同的组合:根据组合的定义,只要两个 组合中的元素完全相同,不管顺序如何,也是相 同的组合.

2.组合数公式的两种形式的适用范围 形式 主要适用范围 乘积式 含具体数字的组合数的求值 阶乘式 含字母的组合数的有关变形及证明 m m-1 要注意性质 Cm = C + C 的顺用、逆用、 + n 1 n n 变形用.顺用是将一个组合数拆成两个;逆用则
-1 m m 是“合二为一”; 变形式 Cm = C - C + n n 1 n 的使用,

为某些项相互抵消提供了方便,在解题中要注意 灵活运用.

1.给出下列问题: ①从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加两个乡 镇的社会调查,有多少种不同的选法? ②有 4 张电影票,要在 7 人中确定 4 人去观看,有多少 种不同的选法? ③某人射击 8 枪,击中 4 枪,且命中的 4 枪均为 2 枪连 中,则不同的结果有多少种? 其中组合问题的个数是( A.0 B.1 ) C.2 D.3

【解析】 ①须考虑 2 人顺序是排列②③与顺序无关, 故选 C
【答案】 C

x-5 2.满足方程 Cx2-x16=C5 16 的 x 值为(

)

A.1,3,5,-7 C.1,3,5

B.1,3 D.3,5

【解析】 依题意,有 x2-x=5x-5 或 x2-x+5x-5= 16.解得 x=1 或 x=5;x=-7 或 x=3,经检验知,只有 x=1 或 x=3 符合题意.

【答案】 B

3.从 3,5,7,11 这四个数中任取两个相乘,可以得到不相 等的积的个数为________.
【解析】 从四个数中任取两个数的取法为 C2 4=6.

【答案】 6

-n 3n 4.计算:C38 + C 3n 21+n.

?19 ? 2 ≤n≤38, ? ?0≤38-n≤3n, 【解】 ∵? 即? ? ?0≤3n≤21+n, ?0≤n≤21. 2 ? 19 21 ∴ ≤n≤ . 2 2 ∵n∈N*,∴n=10.
-n 3n 28 30 2 1 ∴C38 + C = C + C = C + C 3n 21+n 30 31 30 31=466.

课后知能检测(四)

点击图标进入…

判断下列各事件是排列问题,还是组合问题,并求出相 应的排列数或组合数. (1)10 个人相互各写一封信,共写了多少封信? (2)10 个人规定相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次 比赛需要进行多少场次?

(4)10 支球队以单循环进行比赛,这次比赛冠、亚军获得 者有多少种可能? (5)从 10 个人里选 3 个代表去开会,有多少种选法? (6)从 10 个人里选 3 个不同学科的课代表,有多少种选 法?
【思路探究】 根据排列和组合的概念进行判断.

【自主解答】 (1)是排列问题,因为发信人与收信人是 有顺序区别的,排列数为 A2 10=90 种. (2)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与 甲通了一次电话,没有顺序的区别.组合数为 C2 10=45 种. (3)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑 谁先谁后,没有顺序的区别,组合数为 C2 10=45 种. (4)是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得 亚军、乙队得冠军是不一样的,是有顺序区别的,排列数为 A2 10=90 种.

(5)是组合问题,因为三个代表之间没有顺序的区别,组 合数为 C3 10=120 种. (6)是排列问题,因为三个人中,担任哪一科的课代表是 有顺序区别的,排列数为 A3 10=720 种.

判断下列问题是组合问题还是排列问题. (1)设集合 A={a,b,c,d},则集合 A 的含有 3 个元素 的子集有多少个? (2)某铁路线上有 4 个车站,则这条铁路线上共需准备多 少种车票? (3)从 7 本不同的书中取出 5 本给某个同学? (4)3 人去干 5 种不同的工作,每人干一种,有多少种分 工方法?

【解】 (1)因为集合 A 的任一含 3 个元素的子集与元素 顺序无关,故它是组合问题. (2)因为一种火车票与起点、终点顺序有关.如:甲→乙 和乙→甲的车票不同,故它是排列问题. (3)从 7 本不同的书中,取出 5 本给某个同学,在每种取 法中取出的 5 本并不考虑书的顺序,故它是组合问题. (4)因为一种分工方法就是从 5 种不同的工作中,每次取 出 3 种,按一定顺序分给 3 人去干,故它是排列问题.


高中数学必修2-3第一章1.2 1.2.2第1课时组合与组合数公式

高中数学必修2-3第一章1.2 1.2.2第1课时组合与组合数公式_数学_高中教育_教育专区。1.2.2 组合第 1 课时 组合与组合数公式 1.问题导航 (1)组合的概念...

高中数学必修2-3第一章1.2 1.2.2第2课时组合的综合应用

高中数学必修2-3第一章1.2 1.2.2第2课时组合的综合应用_数学_高中教育_...计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列或组合数. 4.(1)某外商计划在四...

高中数学必修2-3第一章1.2 1.2.1第1课时排列与排列数公式

高中数学必修2-3第一章1.2 1.2.1第1课时排列与排列数公式_数学_高中教育_教育专区。1.2 排列与组合 1.2.1 排列第 1 课时 排列与排列数公式 1.问题...

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习:1.2.2 第2课时 组合2]

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习:1.2.2 第2课时 组合2]选修2-3 第一章 1.2 1.2.2 第 2 课时 一、选择题 1.(2013· ...

【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修二)第1章 1.1.2 课时作业

【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修)第1章 1.1.2 课时作业_数学_高中...该组合体中的球和半球只有个公共点 2.右图所示的几何体是由哪个平面图形...

【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修二)第1章 1.2.1-1.2.2 课时作业

【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修二)第1章 1.2.1-1.2.2 课时作业§ 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间...

第1章 第2节(Ⅱ)

第2节目标导航 孟德尔的豌豆杂交实验()(Ⅱ) 1.结合教材图解,简述对自由组合现象解释的验证过程,并说出自由组合定律 的内容。2.分析教材“思考与讨论”,说出...

第2章第1节(2014年)减数分裂和受精作用(第1课时)导学案

第2章第1节减数分裂和受... 21下载券 (第1课时)2.1减数分裂与... ...数 ___, A 与 C、 D 或者 B 与 C、 染色体的交叉互换: 四分体 (同源...

第2章 第1节 第1课时

第2章 第1第1课时_高一理化生_理化生_高中教育_教育专区。高中生物必修二第二章第一第2章 第1第 1 课时 1.为了观察减数分裂各时期的特点,实验材料...

14.3.2公式法第一课时 | 完全平方公式第二课时 | 14.3.2公式法第二课时 | 14.3.2公式法第2课时 | 公式法第一课时 | 完全平方公式第一课时 | 排列组合公式 | 组合数公式 |