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高三数学总复习:运用均值不等式的八类拼凑方法


高三数学总复习:运用均值不等式的八类拼凑方法
利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。 在运用均值不等式解题时, 我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式, 或者不便于利用题设条件, 此时需要对题中 的式子适当进行拼凑变形。 均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。 以均值不等式的 取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值

不等式的 拼凑方法概括为八类。 一、拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段,变为“积”的形式,然后以均值不等式的取等条 件为出发点,均分系数,拼凑定和,求积的最大值。 例 1:已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ? ? x3 ? x2 ? x ? 1 的最大值。 解: y ? ? x
2

? x ? 1? ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? ?1 ? x 2 ? ? ? x ? 1? ?1 ? x ?
2

? x ?1 x ?1 ? ? 2 ? 2 ? ?1 ? x ? ? 32 x ?1 x ?1 ? 4? ? ? ?1 ? x ? ? 4 ? ? ? 2 2 3 ? ? 27 ? ?
3



当且仅当

1 x ?1 32 ? 1 ? x ,即 x ? 时,上式取“=” 。故 ymax ? 。 3 2 27

评注:通过因式分解,将函数解析式由“和”的形式,变为“积”的形式,然后利用隐含的 “定和”关系,求“积”的最大值。 例 2:求函数 y ? x 解: y ?
2

1 ? x 2 ? 0 ? x ? 1? 的最大值。

x 4 ?1 ? x 2 ? ? 4 ?

x2 x2 ? ? ?1 ? x 2 ? 。 2 2
3

? x2 x2 2 ? 2 2 ? ? ? ?1 ? x ? ? x x 1 因 , ? ? ?1 ? x 2 ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 3 ? ? 27 ? ? ? ?
当且仅当

x2 6 2 3 ? ?1 ? x 2 ? ,即 x ? 时,上式取“=” 。故 ymax ? 。 2 3 9

评注: 将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元, “拼凑定和” 为 创造条件。
2 例 3:已知 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 6 x 4 ? x 的最大值。

?

?

解: y ? 36 x
2

2

?4 ? x ?

2 2

? 18 ? 2 x 2 ?4 ? x 2 ??4 ? x 2 ?
3

? 2 x 2 ? ? 4 ? x 2 ? ? ? 4 ? x 2 ? ? 18 ? 83 ? ? ? 18 ? 。 3 27 ? ? ? ?
1

2 2 当且仅当 2 x ? 4 ? x ,即 x ?

?

?

2 3 时,上式取“=” 。 3

故 y max ?
2

18 ? 83 32 3 ,又 y ? 0, ymax ? 。 27 3

二、拼凑定积 通过裂项、分子常数化、有理代换等手段,变为“和”的形式,然后以均值不等式的取等条 件为出发点,配项凑定积,创造运用均值不等式的条件 例 4:设 x ? ?1 ,求函数 y ?

? x ? 5?? x ? 2 ? 的最小值。
x ?1

解: y ?

?? x ? 1? ? 4? ?? x ? 1? ?1? ? ?? ? ? x ?1? 4 ? 5 ? 2 x ?1 x ?1

? x ? 1??

4 ?5 ? 9。 x ?1

当且仅当 x ? 1 时,上式取“=” 。故 ymin ? 9 。 评注: 有关分式的最值问题, 若分子的次数高于分母的次数, 则可考虑裂项, 变为和的形式, 然后“拼凑定积” ,往往是十分方便的。 例 5:已知 x ? ?1 ,求函数 y ?

24 ? x ? 1?

? x ? 3?

2

的最大值。

解:? x ? ?1,? x ? 1 ? 0 ,

?y ?

24 ? x ? 1?

? x ? 1?

2

? 4 ? x ? 1? ? 4

?

24

? x ? 1? ?

4 ?4 x ?1

?

24 ? 3。 2? 2 ? 4

当且仅当 x ? 1 时,上式取“=” 。故 ymax ? 3 。 评注:有关的最值问题,若分子的次数低于分母的次数,可考虑改变原式的结构,将分子化 为常数,再设法将分母“拼凑定积” 。 例 6:已知 0 ? x ? ? ,求函数 y ?

2 ? cos x 的最小值。 sin x x x ? 解:因为 0 ? x ? ? ,所以 0 ? ? ,令 tan ? t ,则 t ? 0 。 2 2 2
所以 y ?

1 1 ? cos x 1 ? t 2 1 3t 1 3t ? ? ?t ? ? ? 2 ? ? 3。 sin x sin x 2t 2t 2 2t 2
1 3t 3 ? ? ,即 t ? , x ? 时,上式取“=” 。故 ymin ? 3 。 2t 2 3 3

当且仅当

评注:通过有理代换,化无理为有理,化三角为代数,从而化繁为简,化难为易,创造出运 用均值不等式的环境。

2

三、拼凑常数降幂 例 7:若 a3 ? b3 ? 2, a, b ? R? ,求证: a ? b ? 2 。 分析:基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能,它能在“等”与“不等”的 互化中架设桥梁, 能为解题提供信息, 开辟捷径。 本题已知与要求证的条件是 a ? b ? 1 , 为解题提供了信息,发现应拼凑项,巧妙降次,迅速促成“等”与“不等”的辩证转 化。
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 证明:? a ? 1 ? 1 ? 3 a ? ? ? 3a, b ? 1 ? 1 ? 3 b ? ? ? 3b 。

, ?a3 ? b3 ? 4 ? 6 ? 3? a ? b? ,?a ? b ? 2. 当且仅当 a ? b ? 1 时,上述各式取“=” 故原不等式得证。 评注:本题借助取等号的条件,创造性地使用基本不等式,简洁明了。 例 8:若 x3 ? y3 ? 2, x, y ? R? ,求 x2 ? y 2 ? 5xy 的最大值。 解:?3?1? x ? x ? 1? x3 ? x3 ,3?1? y ? y ? 1? y 3 ? y 3,3?1? x? y ? 1? x 3 ? y 3,

? x ? y ? 5xy ?
2 2

1 ? x3 ? x3 ? 1 ? y3 ? y3 ? 5 ?1 ? x3 ? y3 ? 3

?

7 ? 7 ? x3 ? y 3 ? 3

? 7。

当且仅当 a ? b ? 1 时,上述各式取“=” ,故 x2 ? y 2 ? 5xy 的最大值为 7。 例 9:已知 a, b, c ? 0, abc ? 1,求证: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 。
3 3 3

证明:?1 ? a ? b ? 3?1? a ? b,1 ? b ? c ? 3?1? b ? c,1 ? c ? a ? 3?1? c ? a ,
3 3 3 3 3 3

? 3 ? 2 ? a 3 ? b3 ? c3 ? ? 3 ? ab ? bc ? ca ? ,又?ab ? bc ? ca ? 33 a2b2c2 ? 3 , ? 3 ? 2 ? a 3 ? b3 ? c3 ? ? 2 ? ab ? bc ? ca ? ? 3,? a 3 ? b3 ? c 3 ? ab ? bc ? ca 。
当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,上述各式取“=” ,故原不等式得证。 四、拼凑常数升幂 例 10.若 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,求证 a ? 5 ? b ? 5 ? c ? 5 ? 4 3 。 分析:已知与要求证的不等式都是关于 a, b, c 的轮换对称式,容易发现等号成立的条件是

1 16 a ? b ? c ? ,故应拼凑 ,巧妙升次,迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。 3 3
证明:

? 2?

16 16 16 16 16 16 ? a ? 5 ? ? ? a ? 5? , 2? ? b ? 5 ? ? ? b ? 5? , 2? ? c ? 5 ? ? ? c ? 5? 3 3 3 3 3 3

3

? 2?

16 3

?

a ? 5 ? b ? 5 ? c ? 5 ? 31 ? ? a ? b ? c ? ? 32.? a ? 5 ? b ? 5 ? c ? 5 ? 4 3
1 时,上述各式取“=” ,故原不等式得证。 3
3 3

?

当且仅当 a ? b ? c ?

例 11. 若 a ? b ? 2, a, b,? R? ,求证: a ? b ? 2 。 证明:?3?1?1? ? 13 ? 13 ? a3 ,3?1?1? ? 13 ? 13 ? b3 , ?3? a ? b ? ? 4 ? a3 ? b3 。 a b 又? a ? b ? 2,? a3 ? b3 ? 2 。当且仅当 a ? b ? 1 时,上述各式取“=” ,故原不等式得 证。 六、约分配凑 通过“1”变换或添项进行拼凑,使分母能约去或分子能降次。 例 12.已知 x, y, ? 0,

2 8 ? ? 1,求 xy 的最小值。 x y
2 2

?2 8? 4 y 64 x 4 y 64 x 1 ? ? 32 ? 2 ? ? 32 ? 64 。 解: xy ? xy ? ? xy ? ? ? ? ? x y x y ?x y?
当且仅当

2 8 1 ? ? 时,即 x ? 4. y ? 16 ,上式取“=” ? xy ?min ? 64 。 ,故 x y 2

例 13.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ?

4 1 ? 的最小值。 x 1? x 解:因为 0 ? x ? 1 ,所以 1 ? x ? 0 。
所以 y ?

4 ?1 ? x ? 4 1 1 ? x ?4 ? ? ? x ? ?1 ? x ?? ? ? ? ? 9。 ? ? x 1? x ? ? 5 ? x 1? x x 1? x ? ?
4 ?1 ? x ? 2 x ? 时,即 x ? ,上式取“=” ,故 ymin ? 9 。 3 x 1? x a2 b2 c2 1 ? ? ? ?a ? b ? c? 。 b?c c?a a?b 2

当且仅当

例 14. 若 a, b, c ? R ? ,求证

分析:注意结构特征:要求证的不等式是关于 a, b, c 的轮换对称式,当 a ? b ? c 时,等式成 立。

a2 a ? , 此时 b?c 2
设 m ?b ? c ? ?

a 1 b?c a2 ,解得 m ? ,所以 应拼凑辅助式 为拼凑的需要而添,经 2 4 4 b?c

4

此一添,解题可见眉目。 证明:

?

a2 b ? c a2 b ? c b2 c ? a b2 c ? a c2 a ? b c2 a ? b ? ?2 ? ? a, ? ?2 ? ? b, ? ?2 ? ?c b?c 4 b?c 4 c?a 4 c?a 4 a ?b 4 a ?b 4
a2 b2 c2 1 ? ? ? ? a ? b ? c ? 。当且仅当 a ? b ? c 时,上述各式取“=” ,故原不 b?c c?a a?b 2

?

等式得证。 七、引入参数拼凑 某些复杂的问题难以观察出匹配的系数,但利用“等”与“定”的条件,建立方程组, 解地待定系数,可开辟解题捷径。 例 15.已知 x, y, z ? R ? ,且 x ? y ? z ? 1 ,求

1 4 9 ? ? 的最小值。 x y z

解:设 ? ? 0 ,故有 ? ? x ? y ? z ?1? ? 0 。

? ?9 1 4 9 1 4 9 ?1 ? ?4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? y ? z ? 1? ? ? ? ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? x y z x y z ?x ? ?y ? ? ?z
当且仅当 ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? ? ? 12 ? ? ? 。 上述不等式取“=” , 即x?

1 4 9 ? ? x, ? ? y, ? ? z 同时成立时 x y z

1

?

,y?

2

?

,z ?

3

?

, 代入 x ? y ? z ? 1 , 解得 ? ? 36 , 此时 12

? ? ? ? 36 ,



1 4 9 ? ? 的最小值为 36。 x y z

八、引入对偶式拼凑 根据已知不等式的结构,给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子,然后一起参与运 算,创造运用均值不等式的条件。 例 16.设 a1 , a2 , ???, an 为互不相等的正整数, 求证

a 1 1 1 a1 a2 a3 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? n ? ? ? ? ??? ? 。 2 2 1 2 3 n 1 2 3 n
a a1 a2 a3 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? n ,构造对偶式 d n ? ? ? ? ??? ? , 2 2 1 2 3 n a1 a2 a3 an

证明:记 bn ?

则 b ? d ? ? a1 ? 1 ? ? ? a2 ? 1 ? ? ? a3 ? 1 ? ? ??? ? ? an ? 1 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 ? , ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? n n ? ? a2 ? ? 32 a3 ? an ? n? ?1 2 3 ? 1 a1 ? ? 2 ?n
? 当且仅当 ai ? i i ? N , i ? n 时, 等号成立。 又因为 a1 , a2 , ???, an 为互不相等的正整数,

?

?

5

所以 d n ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ,因此 bn ? ? ? ? ??? ? 。 1 2 3 n 1 2 3 n

评注:本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。 九、确立主元拼凑 在解答多元问题时,如果不分主次来研究,问题很难解决;如果根据具体条件和解题需 要,确立主元,减少变元个数,恰当拼凑,可创造性地使用均值不等式。 例 17.在 ?ABC 中,证明 cos A cos B cos C ?

1 。 8

分析:cos A cos B cos C 为轮换对称式,即 A, B, C 的地位相同,因此可选一个变元为主元, 将其它变元看作常量(固定) ,减少变元个数,化陌生为熟悉。 证明:当 cos A ? 0 时,原不等式显然成立。 当 cos A ? 0 时, cos A cos B cos C ?

1 cos A ?cos ? B ? C ? ? cos ? B ? C ? ? ? ? 2

?

1 cos A ?cos ? B ? C ? ? cos A? ? ? 2
2

1 1 ? cos A ? ?1 ? cos A ? ? 1 ? cos A ?1 ? cos A? ? ? ? ? 。 2 2? 2 8 ?
当且仅当 ?

?cos( B ? C ) ? 1 ,即 ?ABC 为正三角形时,原不等式等号成立。 ?cos A ? 1 ? cos A

综上所述,原不等式成立。 评注:变形后选择 A 为主元,先把 A 看作常量,B、C 看作变量,把 B、C 这两个变量集中到

cos( B ? C ) ,然后利用 cos( B ? C ) 的最大值为 1 将其整体消元,最后再回到 A 这个主元,
变中求定。 综上可见, 许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题, 运用均值不等式等号成立条 件, 恰当拼凑, 可创造性地使用均值不等式, 轻松获解。 这种运用等号成立条件的拼凑方法, 既开拓了学生的思路,又活跃了学生的思维,培养了学生的数学能力。

6


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