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李炜 一元二次不等式及其解法课件 优质课


§3.3 一元二次不等式 及其解法

考察:对一次函数y=2x-7,当x为何值时,y=0; 当x为何值时,y<0;当x为何值时,y>0? 当x=3.5时,y=0, 即 2x-7=0;

y

当x<3.5时,y<0,
即 2x-7<0; O 3.5 x

当x>3.5时,y>0,
即 2x-7>0

一元二次不等式的定义:
只含有一个未知数,并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.

一元二次不等式的一般形式:

ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? (a ? 0) 0
2 2

互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的解集
(1)一元二次方程 x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根 二次方程有两个实数根:
y

x1 ? 1, x2 ? 6
0 1
o o

6

x

y

(2)当x取
y>0 y>0 0 1
o o o o

x=1 或 6

时,y=0?

x 6 y<0

当x取 x<1 或 x>6 时,y>0? 当x取 1 < x <6 时,y<0?

(3)由图象得: 不等式x2 ﹛x|x<1或x>6﹜ -x-6>0 的解集为 。 。

不等式x2 -x-6<0 的解集为 ﹛x| 1 <x <6﹜

大于0取两边,小于0取中间.

复习:函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c △>0 y
y>0

△=0
y
y>0

△<0
y
y>0

的图象

x1 O

x2 x
y<0

(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根

O x1

x

O 没有实根

x

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 x1=x2= ? b 2a

ax2+bx+c>0 (y>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (y<0)的解集 {x|x1< x <x2 }

b {x|x≠ ? } 2a

R Φ

Φ

典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 .
2

解: ? ? 0 , ? 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

1. 的解是 x1 ? x2 ? 2 ?原不等式的解集是 x x ? 1 . 2

?

?

思考
①对于一元二次不等式

ax ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或 2 ax ? bx ? c ? 0, (a ? 0)
2

当二次项系数 a ? 0 时如何求解?

3.解不等式 -x2-x+20<0
解:不等式化为x2+x-20>0 方程x2+x-20=0的解是X1=-5,X2=4, y 所以原不等式的解集是 (-∞,-5)∪(4, +∞).

-5

o

4 x

典例剖析 规范步骤
例2 解不等式 ? 3x ? 6 x ? 2 .
2

解:整理,得 3x ? 6 x ? 2 ? 0 . ? ? ? 36 ? 4 ? 3 ? 2 ? 12 ? 0 ,
2

方程 3x ? 6 x ? 2 ? 0 的解是 3 3 x1 ? 1 ? ,x 2 ? 1 ? 3 ?原不等式的解集是3 ? 3 ? x ? 1? 3 ? . ? x 1? 3 ? 3 ? ?
2

典例剖析 规范步骤
例4 解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0
2

? ? ? 0 ,方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 无实数解,
2

?不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是? .
2

?原不等式的解集是? .

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集与 ②不等式

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集有差 不等式 异吗?

2.解不等式 3x2-7x+2≤0

1 两个不等的实根x1= , 3
所以不等式的解集是 [

解:方程3x2-7x+2=0有 x2=2.

1 ,2 ] 3

小结:解一元二次不等式的步骤:
① 将二次不等式化成一般形式:ax2+bx+c>0 (最好化为a>0的形式) ② 求△若△>0或△=0则要求出方程 ax2+bx+c=0 的根; ③ 画出y=ax2+bx+c的图象(草图)

④ 根据图象结合不等号的方向(注意有无等号) 写出不等式的解集.

记忆口诀: 大于0两边跑,小于0取中间找.

类型一: 解不含参数的一元二次不等式
求f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 3 ? log 3 (3 ? 2 x ? x 2 )的定义域 例2:

解:

要使f (x)有意义,则

这句话不可少
log a x , x ? 0
a, a ? 0

?2 x 2 ? x ? 3 ? 0 ? 3 ? 2x ? x2 ? 0 ? 2 ?2 x ? x ? 3 ? 0 即? 2 ?x ? 2x ? 3 ? 0

二次项系数化为正
3 ? ?x ? 1或x ? 解得? 2 ? -1 ? x ? 3 ?

?( x ? 1)( 2 x ? 3) ? 0 ?? ? ( x ? 3)( x ? 1) ? 0

?1 ? x ? 3,?定义域:,3) [1

课堂练习

解关于x的不等式 log 2 ( x ? 2 x) ? 3
2

log 2 ( x ? 2 x) ? log 2 8
2

0 ? x ? 2x ? 8
2

x ? 2x ? 0
2

x ? 2x ? 8
2

练习提高
1、f ( x) ? log 2 (3x ? 2 x ? 2);
2

2、f ( x) ? 3、f ( x) ? 2

1 1 ? 2 x ? 3x
1? x 2 2 2

? lg(16 x ? 8 x ? 1);
2

? 2 x ? 5 x ? 3.

例3:解不等式:x

类型二: 解含参数的一元二次不等式 2

? (m ? 1) x ? m ? 0
1

解:

? x ? (m ? 1) x ? m ? 0
2

m

-1 (分类讨论) ( )当 - m ? 1即m ? -1时,(*)式变为(x -1 ? 0 1 ) 注意:判 ? 解集为:R 断对应方 (2)当 - m ? 1即m ? ?1时, 解得:x ? ? m或x ? 1 程的两根 ? 解集为: | x ? ? m或x ? 1} {x 1与-m的 (3)当 - m ? 1即m ? ?1时, 解得:x ? 1或x ? -m 大小
2

? ( x ? m)( x ? 1) ? 0

(*) 1

? 解集为: | x ? 1或x ? ? m} {x

巩固提高
解下列不等式:

( )x ? ax ? 12 a ? 0; ( a ? R ) 1
2 2

(2)x (a ? a )x ? a ? 0( a ? R ) 2 2 3

例3.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为
2

1 1 {x | ? ? x ? }, 求 2 3

a, b.

1 1 解:由题意可得, ? , 是方程 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 2 3
的两个根,且a<0.

1 1 b ? ? ?? 2 3 a 1 1 2 ? ? ? 2 3 a

解得:

a ? ?12, b ? ?2.

练习、已知关于x的不等式ax ? bx ? c ? 0
2

1 的解集是{x︱x<-2或x> ? } 2

求 ax

2

? bx ? c ? 0 的解集。

例4.不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0
2

对一切 x ? R 恒成立,则a的取值范围。

课后思考
解不等式:

ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0
2

作业:完成学案21

小结
1.一元二次不等式的定义与一般形式. 2.一元二次不等式的解法及其步骤.


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