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2016高考数学总复习课时作业堂堂清函数2-10


高三总复习

数学 (大纲版)

第十节

函数的应用

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考 纲 要 求

1.掌握函数的应用. 2.培养应用函数知识解决实际问题

的能力. 3.能够运用函数的性质、指数函数和对数函 数的性质解决某些简单的实际问题.

考 以生活中的实际问题为背景,以解答题的形 试 式对函数知识的综合运用以及建模能力进行 热 考查. 点

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1.常见的几种函数模型 (1)一次函数型 y=kx+b(k≠0) ; (2)反比例函数型 y=(x≠0,k≠0) ; (3)二次函数型 y=ax2+bx+c(a≠0) ; (4)指数函数型 y=N(1+p)x(增长率问题)(x>0); (5)分段函数型.

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2.解应用问题的一般程序是:

读题?建模?求解?反馈.
(1)读题:深刻理解题意,正确审题,弄清已知什么, 求取什么,需要什么.

(2)建模:通过设元,将实际问题转化为数学关系式
或建立数学模型. (3) 求解:通过数学运算将数学模型中的未知量求 出. (4)反馈:根据题意检验所求结果是否符合实际情况, 并正确作答.

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1 .如果在今后若干年内,我国国民经济生产总值都

保持年平均9%的增长率,要达到国民经济生产总值比 1995
年翻两番的年份大约是 (lg2 = 0.3010 , lg3 = 0.4771 , lg1.09 =0.0374) ( )

A.2015年
C.2010年

B.2011年
D.2008年

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解析:设经过 x 年比 1995 年翻两番, 2lg2 x ∴(1+9%) =4,∴x= ≈16 年,故选 B. lg1.09
答案:B

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2.某旅店有客床100张,各床每天收费10元时可全部 客满,若每床每天收费提高2元便减少10张客床租出,为少 投入,多获利,每床每天收费应提高 A.2元 C.6元 B.4元 D.8元 ( )

解析: 设每床每天提高 2x 元 (x∈N + ) ,则获利 y = (100

-10x)(10+2x)=-20x2+100x+1000.
当x=2或x=3时y最大,要少投入多获利2x=6. 答案:C

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3.11月份某商场有一种皮鞋新产品出售,11月1日此 种皮鞋出售了 10 双,以后每天递增 25 双,直到日销售量达 到最大后,每天递减 15 双,一月共售出 4335 双,则 11 月份 的日销售量最大值是 A.270双 C.310双 B.255双 D.285双 ( )

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解析:设 11 月 n 日销售量最大,则 1 日至 n 日共售出 1 皮鞋数量为 S1=n· 10+ n(n-1)×25, 2 11 月(n+1)日售出 10+(n-1)×25-15=25n-30(双), 余下(30-n)日共售出皮鞋数量为 1 S2=(25n-30)(30-n)- (30-n)(29-n)×15, 2 由 S1+S2=4335, 得 n2-61n+588=0, n1=12, n2=49(舍 去),∴最大销售量为:10+11×25=285.

答案:D

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4.某商人购货,进价已按原价a扣去25%.他希望对货 物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25% 的纯利,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额 y之间的函数关系是________.

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解析: 设新价为 b, 依题意, 有 b(1-20%)-a(1-25%) 5 =b(1-20%)· 25%.化简,得 b= a. 4 5 a 所以 y=b· 20%· x= a· 20%· x.即 y= x(x∈N*). 4 4 a 答案:y= x(x∈N*) 4

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5 .某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路, 该产品的广告效应是产品的销售额与广告费之间的差.如 果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据市场抽样调 查显示:每付出100元广告费,所得的销售额是1000元.问 该企业应该投入多少广告费,才能获得最大的广告效应? 是不是广告做得越多越好?

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解:设广告费为 x 元,广告效应为 y,销售额为 A 元,依 题意得,A=k x, ∵当 x=100 时,A=1000, ∴1000=k 100,解得 k=100,∴y=100 x-x(x>0). 令 x=t(t>0),则 y=-t2+100t=-(t-50)2+2500, ∴当 t=50,即 x=2500 时,y 取最大值. ∴企业投放 2500 元广告费,才能获得最大的广告效应, 但并非广告做得越多越好.

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[ 例 1]

某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一

个销售时,每天可卖出100个,现在他采用提高售价,减少 进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨1元, 销售量就减少 10 个,问他将售价每个定为多少元时,才能 使每天所赚的利润最大?并求出最大值.

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[分析] (1)利润=销售总额-进货总额. (2)基本关系,若设每个提价x元(x≥0),利润为y元,应 先弄清以下基本量: 日销量=(100-10x)个; 销售总额=(10+x)(100-10x)元; 进货总额=8(100-10x)元.

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[解]

设每个提价 x 元 (x≥0) ,利润为 y 元,每天销售总

额为(10+x)(100-10x)元, 进货总额为8(100-10x)元,显然100-10x>0,x<10. y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x) =(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x<10). 当x=4时,y取得最大值,此时销售单价应为14元,最

大利润为360元.

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[拓展提升 ]

(1)对于应用问题,首先要认真分析题意,

寻找已知量与未知量之间的内在联系,其次将这些内在联 系与数学知识联想,通过联想、转化、抽象,建立数学模 型,最后通过解答数学问题得出答案. (2)对于二次函数型中的最值问题多采用配方的方法来 解决.

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某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为
3000 元时,可全部租出,每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150元,未租出的每辆每月需要维护费50元. (1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收 益最大?最大月收益为多少元?

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解:(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车 3600-3000 辆数为 =12(辆). 50 所以这时租出 88 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公司的月收益为 x-3000 x-3000 f(x)=(100- )(x-150)- ×50, 50 50 x2 ∴f(x)=- +162x-21000 50 1 =- (x-4050)2+307050. 50

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∴当x=4050时,f(x)最大,最大值为307050.即当每辆 车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大 月收益为307050元.

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[例2]

电信局为了配合客户不同需要,设有A、B两种

方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关
系如图1所示(MN∥CD). (1)若通话时间为 250 分钟,按方案A、B各付话费多少 元? (2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元? (3)通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠?

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图1

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[解] 由图知 M(225,38),C(500,68),N(500,148). ∵MN∥CD, 148-38 ∴kMN=kCD= =0.4. 500-225 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系式 ? ?38,0≤x≤225, 分别为 fA(x)、fB(x),则 fA(x)=? ? ?0.4x-52,x>225,
? ?68,0≤x≤500, fB(x)=? ? ?0.4x-132,x>500.

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(1) 通话时间为 250 分钟时,方案 A 、 B 的话费分别为 0.4×250-52=48(元),68元. (2) 由直线 CD 的斜率的实际意义知方案 B 从 500 分钟以 后每分钟收费0.4元. (3)由图知:当0≤x≤225时,fA(x)<fB(x); 当x>500时,fA(x)>fB(x);

当225≤x≤500时,fA(x)>fB(x),
即0.4x-52>68,∴x>300, 则300<x≤500时,fA(x)>fB(x),

故当x∈(300,+∞)时,方案B较方案A优惠.

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某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单

价定为 60 元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量
超过100个时,每多订购一个,则订购的全部零件的出厂单 价都降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰 降为51元?

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(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元, 写出函数P=f(x)的表达式. (3) 当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润 是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出 一个零件的利润=实际出厂单价-成本)

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解: (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时, 一次 60-51 订购量为 x0 个,则 x0=100+ =550.因此,当一次订购 0.02 量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元. (2)当 0<x≤100 时,P=60; x 当 100<x≤550 时,P=60-0.02(x-100)=62- ; 50 当 x>550 时,P=51.所以 P=f(x) ? (0<x≤100) ?60 ? x =?62- (100<x≤550) 50 ? ? ?51 (x>550)

(x∈N).

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(3)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利 润为 L 元. 则 L=(P-40)x ? (0<x≤100) ?20x ? x2 =?22x- (100<x≤550) ,(x∈N). 50 ? ? ?11x (x>550) 当 x=500 时,L=6000;当 x=1000 时,L=11000. 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得 的利润是 6000 元;如果订购 1000 个,利润是 11000 元.

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[ 例3]

某电器公司生产 A 种型号的家庭电脑, 2003 年

平均每台电脑生产成本为5000元,并以纯利润20%标定出厂

价.2004年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份
制,从而使生产成本逐年降低.预计2007年将平均每台A种 型号的家庭电脑尽管出厂价仅是2003年出厂价的80%,但却

实现了纯利润50%的高效益.
(1)求2007年每台电脑的生产成本;

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(2)以 2003 年生产成本为基数,求 2003 年至 2007 年生产 成本平均每年降低的百分数(精确到 0.01,以下数据可供参考: 5≈2.236, 6≈2.449).

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[分析] (1)出厂价=成本+利润; (2)利润=成本×利润率.因为2003~2007年四年间成 本平均每年降低的百分数相等,因此可把 2007 年每台的生 产成本用这个百分数表示,而这个量应与第 (1)问中求得的 2007年每台电脑的生产成本相等,据此列出方程求解.

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[解]

(1) 一方面可以根据 2003 年的出厂价求得 2007 年

的出厂价;另一方面根据题意可把 2007 年的出厂价用 2007 年的生产成本表示,列出方程求解. 设 2007 年每台电脑的生产成本为 x 元,依题意,得 x(1 +50%)=5000×(1+20%)×80%, 解得x=3200(元).

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(2)设 2003 年至 2007 年间生产成本平均每年降低的百分 数为 y,则依题意,得 5000(1-y)4=3200. 2 5 2 5 解得 y1=1- ,y2=1+ (舍去). 5 5 2 5 y=1- ≈0.106≈0.11=11%. 5 所以 2007 年每台电脑的生产成本为 3200 元,2003 年 至 2007 年生产成本平均每年降低 11%.

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[ 拓展提升 ]

在实际问题中,常常遇到有关增长率和

平均增长率的问题,如果原来产值的基数为N,平均增长率 为p,则对于时间x的产值或总产量y,可以用公式y=N(1+ p)x表示. 变式探究 (1)一种产品的年产量原来是a件,在今后m 年内,计划使年产量平均每年比上一年增加 p%,写出年产

量随经过年数变化的函数关系式.
(2)一种产品的成本原来是a元,在今后m年内,计划使 成本平均每年比上一年降低 p%,写出成本随经过年数变化

的函数关系式.

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解:(1)设年产量经过x年增加到y件,则 y=a(1+p%)x(x∈N*且x≤m). (2)设成本经过x年降低到y元,则 y=a(1-p%)x(x∈N*且x≤m).

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[例4]

某个体经营户把开始六个月试销售的A、B两种

商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:

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投资A种 商品金额 (万元) 获纯利润 (万元) 投资B种 商品金额 (万元) 获纯利润 (万元)

1

2

3

4

5

6

0.65 1.39 1.85

2 1.84 1.40

1

2

3

4

5

6

0.25 0.49 0.76

1 1.26 1.51

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(1)试分别写出能够描述前六个月A、B两种商品所获纯 利润关于月投资金额的函数关系的解析式; (2)若该经营户准备下月投入12万元经营这两种产品, 但不知投入A、B两种商品各多少才最合算.请帮助制定一 个能获取最大利润的资金投入方案,并求出按此方案下月 能获得的纯利润(结果保留两位有效数字).

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[解]

(1) 以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在直

角坐标系中画出散点图:

图2

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据此,可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间 的对应关系. y=-a(x-4)2+2(a>0)① y=bx② 把x=1,y=0.65代入①式,得 0.65=-a(1-4)2+2,解得a=0.15.

故前六个月所获纯利润关于月投资 A 商品的金额的函
数关系式可近似地用y=-0.15(x-4)2+2表示,再把x=4, y=1代入②式,得b= 0.25,故前六个月所获利润关于月投

资B种商品的金额的函数关系可近似地用y=0.25x表示.

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(2)设下月投资 A 种商品 x 万元,则投资 B 种商品为(12-x) 万元,可获纯利润 y=-0.15(x-4)2+2+0.25(12-x) =-0.15x2+0.95x+2.6. 0.95 当 x=- ≈3.2 时 2×(-0.15) 4×(-0.15)×2.6-0.952 ymax= ≈4.1. 4×(-0.15) 故下月分别投资 A、B 两种商品 3.2 万元和 8.8 万元,可获 最大纯利润 4.1 万元.

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某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、

1.2万件,1.3万件.为了估测以后每个月的产量,以这三个
月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量 y与 月份数x的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 y=abx +c(其中a、b、c为常数),已知4月份该产品的产量为1.37万 件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理 由.

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解:(1)设二次函数 y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0), ?f(1)=p+q+r=1 ?p=-0.05 ? ? 则?f(2)=4p+2q+r=1.2 ??q=0.35 ?f(3)=9p+3q+r=1.3 ?r=0.7 ? ? ∴y1=f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7. f(4)=-0.05×16+0.35×4+0.7=1.3. .

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(2)设函数 y2=g(x)=abx+c, ?ab+c=1 ?a=-0.8 ? 2 ? 则?ab +c=1.2 ??b=0.5 . ?ab3+c=1.3 ?c=1.4 ? ? ∴y2=-0.8×0.5x+1.4. g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35. 经比较可知,用 y=-0.8×0.5x+1.4 作为模拟函数较 好.

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1.分析和解答函数应用问题的思想过程 利用函数模型解决的实际问题称为函数的应用问 题.分析和解答函数应用问题的思想过程为:

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2.解答函数应用题的基本步骤 解答函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建 模、解模、还原评价. (1)审题 审题是解题的基础.它包括阅读理解、翻译、挖掘 等.通过阅读,真正理解用普通文字语言表述的实际问题

的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型,
有些问题中采用即时定义解释某些概念或术语,要仔细阅 读,准确把握,还要注意挖掘一些隐含条件.

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(2)建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符 号,将题目中的非数学语言统统转化为数学语言,然后根 据题意,列出数量关系 ——建立函数模型.将实际问题转化 成纯数学问题,但要注意函数的定义域应符合实际问题的 要求.

(3)解模
运用函数的有关性质进行推理、运算,使问题得到 解决.

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(4)还原评价 应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学学科, 又要符合实际背景.因此,对于解出的结果要代入原问题 中进行检验、评判,最后得出结论.

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