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2014版高中数学复习方略课时提升作业:4.2平面向量的坐标运算(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)


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课时提升作业(二十六)
一、选择题 1.(2013·宝鸡模拟)已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 ( (A)- a+ b (C)-

a- b (B) a- b (D)- a+ b )

2.(2013·蚌埠模拟)已知向量 a=(1-sinθ ,1),b=( ,1+sinθ ),若 a∥b,则锐角 θ 等于 ( (A)30° ) (B)45° (C)60° (D)75° =(-1,),

3.(2013·抚州模拟)原点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心, =(1,(A)(2,0) (C)(0,-2 ) ),则 等于( ) (B)(-2,0) (D)(0, )

4.若 α,β 是一组基底,向量 γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量 γ 在基底 α,β 下 的坐标,现已知向量 a 在基底 p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另一 组基底 m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 ( (A)(2,0) (C)(-2,0) 5.如图所示,已知 =2 , =a, (B)(0,-2) (D)(0,2) =b, =c,则下列等式中成立的是 ( ) )

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(A)c= b- a (B)c=2b-a (C)c=2a-b (D)c= a- b 6.(2013 · 西 安 模 拟 ) 已 知 向 量 =(1,-3), =(2,-1), ) (D)m≠-1 =(m+1,m-2), 若 点

A,B,C 能构成三角形,则实数 m 应满足的条件是( (A)m≠-2 (B)m≠ (C)m≠1

7.已知非零向量 e1,e2,a,b 满足 a=2e1-e2,b=ke1+e2.给出以下结论: ①若 e1 与 e2 不共线,a 与 b 共线,则 k=-2; ②若 e1 与 e2 不共线,a 与 b 共线,则 k=2; ③存在实数 k,使得 a 与 b 不共线,e1 与 e2 共线; ④不存在实数 k,使得 a 与 b 不共线,e1 与 e2 共线. 其中正确结论的个数是 ( (A)1 个 (C)3 个 ) (B)2 个 (D)4 个

8.(能力挑战题)平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若 点 C 满足 =α +β ,其中α ,β ∈R 且α +β =1,则点 C 的轨迹方程为 ( )

(A)(x-1)2+(y-2)2=5 (B)3x+2y-11=0 (C)2x-y=0
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(D)x+2y-5=0 9.(2013·黄石模拟)如图,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=CD=1,AB=3,动点 P 在 △BCD 内运动(含边界),设 =α +β ,则α +β 的最大值是 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

10.已知 a=(sinα -cosα ,2014),b=(sinα +cosα ,1),且 a∥b,则 tan2α 的值为( (A)-2014 二、填空题 11.已知向量 a=(-2,3),b∥a,向量 b 的起点为 A(1,2),终点 B 在坐标轴上,则点 B 的坐标为 . ) (B)(C)2014 (D)

12.如图,在□ABCD 中, =a, =b, =3 ,M 是 BC 的中点, 则 = (用 a,b 表示).

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a=(1,2),a- b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b) ∥c,则 x= .

14.(2013·合肥模拟)给出以下四个命题: ①四边形 ABCD 是菱形的充要条件是 = ,且| |=| |; ②点 G 是△ABC 的重心,则 + + =0; ③若 =3e1, =-5e1,且| |=| |,则四边形 ABCD 是等腰梯形;

④若| |=8,| |=5,则 3≤| |≤13. 其中所有正确命题的序号为 .
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三、解答题 15.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题: (1)求 3a+b-2c. (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n. (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k.

答案解析
1.【解析】选 B.设 c=λa+μb, ∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1), ∴ ∴c= a- b. 2.【解析】选 B.∵a∥b,∴(1-sinθ)(1+sinθ)-1〓 =0, ∴sinθ=〒 , 又θ为锐角,∴θ=45°. 3.【解析】选 A.∵在正六边形 ABCDEF 中,OABC 为平行四边形,∴ ∴ = =(2,0). = + , ∴

4.【解析】选 D.由已知 a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设 a=λm+μn=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ), 则由 解得
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∴a=0m+2n, ∴a 在基底 m,n 下的坐标为(0,2). 5.【解析】选 A.由 =2 得 + =2( + ),所以 2 =+3 ,即 c= b- a.

6.【思路点拨】运用反证法,从三点可以共线考虑,然后取所得范围的补集. 【解析】选 C.若点 A,B,C 不能构成三角形,则只能共线. ∵ = = =(2,-1)-(1,-3)=(1,2), =(m+1,m-2)-(1,-3)

=(m,m+1). 假设 A,B,C 三点共线, 则 1〓(m+1)-2m=0,即 m=1. ∴若 A,B,C 三点能构成三角形,则 m≠1. 7.【解析】选 B.(1)若 a 与 b 共线,即 a=λb,即 2e1-e2=λke1+λe2,而 e1 与 e2 不共 线, ∴ 解得 k=-2.故①正确,②不正确.
?a ? (2 ? ?)e1 , ?b ? (k ? ?)e1 ,

(2)若 e1 与 e2 共线,则 e2=λe1,有 ?

∵e1,e2,a,b 为非零向量,∴λ≠2 且λ≠-k, ∴ a= b,即 a= b,这时 a 与 b 共线,

∴不存在实数 k 满足题意.故③不正确,④正确. 综上,正确的结论为①④. 8.【思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐标 ,故设 C(x,y),根据向量的运算法则及向量相等的关系,列出关于α,β,x,y 的关系式, 消去α,β即可得解.
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【解析】选 D.设 C(x,y),则 =(x,y),

=(3,1),

=(-1,3).由 =α



,得

(x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β). 于是 由③得β=1-α代入①②,消去β得 再消去α得 x+2y=5, 即 x+2y-5=0. 【一题多解】由平面向量共线定理,得当 =α 共线. 因此,点 C 的轨迹为直线 AB, 由两点式求直线方程得 即 x+2y-5=0. 9.【思路点拨】建立平面直角坐标系,设 P(x,y),求出α+β与 x,y 的关系,运用 线性规划求解. 【解析】选 B. 以 A 为原点 ,AB 所在直线为 x 轴 , 建立平面直角坐标系 , 则 D(0,1),B(3,0),C(1,1),设 P(x,y). ∴ =(x,y), =(0,1), =(3,0). ∵ =α +β , 即(x,y)=α(0,1)+β(3,0)=(3β,α), ∴ ∴ = , +β ,α+β=1 时,A,B,C 三点

∴α+β= +y. 由线性规划知识知在点 C(1,1)处 +y 取得最大值 .
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10.【思路点拨】根据向量的共线求出 tanα,再利用三角变换公式求值. 【解析】选 C.由 a∥b 得 tan2α将 tanα=tan2α= 代入上式得, =2014. = =2014,即 =2014,解得 tanα===. .

【方法技巧】解决向量与三角函数综合题的技巧方法 向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目 ,解答此类题目的关键 是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据 三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决. 11.【解析】由 b∥a,可设 b=λa=(-2λ,3λ). 设 B(x,y),则 由 =(x-1,y-2)=b. ?

又 B 点在坐标轴上,则 1-2λ=0 或 3λ+2=0, 所以 B(0, )或( ,0). 答案:(0, )或( ,0) 12.【解析】由题意知 = = = + = = +

-( + ) =+

=- a+ b. 答案:- a+ b 13. 【解析】 由 a=(1,2),a- b=(3,1)得 b=(-4,2),故 2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6).
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由(2a+b)∥c 得 6x=-6,解得 x=-1. 答案:-1 14.【解析】对于①,当 = 时,则四边形 ABCD 为平行四边形,又| |=| |,故该 平行四边形为菱形,反之,当四边形 ABCD 为菱形时,则 = ,且| |=| |,故① 正确;对于②,若 G 为△ABC 的重心,则 + + =0,故不正确;对于③,由条件知 =又| ,所以 |=| ∥ 且| |>| |, , 共线同向

|, 故四边形 ABCD 为等腰梯形 , 正确 ; 对于④ , 当

时,| |=3,当 , 共线反向时,| |=8+5=13,当 , 不共线时 3<| |<13,故正 确.综上正确命题为①③④. 答案:①③④ 15.【解析】(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(0,6). (2)∵a=mb+nc, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). ∴ 解得

(3)∵(a+kc)∥(2b-a), 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2). ∴2〓(3+4k)-(-5)〓(2+k)=0, ∴k=- . 【变式备选】已知四点 A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x). (1)求实数 x,使两向量 , (2)当两向量 与 共线.

共线时,A,B,C,D 四点是否在同一条直线上? =(4,x).
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【解析】(1) =(x,1),

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∵ ∥

,

∴x2-4=0,即 x=〒2. ∴当 x=〒2 时, ∥ .

(2)当 x=-2 时, =(6,-3), =(-2,1), ∴ ∥ .此时 A,B,C 三点共线, 从而,当 x=-2 时,A,B,C,D 四点在同一条直线上. 但 x=2 时,A,B,C,D 四点不共线.

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