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专题三 三角函数、三角恒等变换与解三角形-数学(理科)


专题三

三角函数、三角恒等变换 与解三角形
三角函数的图像与性质 三角恒等变换域解三角形

第7讲 第8讲

核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第7讲 三角函数的图像与 性质

第7讲
核 心 知

识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 —— 1.[2011· 新课标全国卷改编] 已 知 角 θ 的

——主干知识 ——
? 三角函数 的定义 关键词:始边、终 边、单位圆、三角 函数的定义,如①.

在直线 y = 2x 上,则 tan θ = ________.
[答案] 2
[解析] 根据三角函数定义可得.

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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——
2. [2012· 辽宁卷改编] 若 sin α - cos α = 2 , α∈(0 , π ) , 则 tan α ②= ________.

——主干知识 ——
? 同角三角 函数关系 关键词:平方 关系、商数关系, 如②.

[答案] -1
[解析] 已知式两端平方可得 1- 3π sin 2α=2, 即 sin 2α=-1, 所以 α= 4 , 所以 tan α=-1.或者把已知与 sin2α+ cos2α=1 联立求出 sin α,cos α的值, 再根据商数关系得之.

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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 —— 3 . [2012· 天津卷改编 ] 将函数 f(x) = sin ω x(ω>0) 的 图 像 向 右 ③π 平移 个单位长度,所得图像经 4 ?3π ? ? ? 过点 ? ,则 ω 的最小值是 , 0 ? ? 4 ? ________.
[答案] 2

——主干知识 ——
? 图像平移 变换 关键词: 平移、 左加右减、只变换 x,如③.

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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质
π [解析] 函数 f(x)的图像向右平移 4

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——
? 图像平移 变换 关键词: 平移、 x,如③.

π 个单位长度得到函数 g(x)=f(x- )= 4

π ωπ 左加右减、只变换 sinω(x- 4 )=sin(ωx- 4 )的图像, 3π 因为此时函数图像过点( 4 ,0) ,所以 3π π 3π π sin ω( 4 - 4 )=0,即 ω( 4 - 4 ) = 2 =kπ(k∈Z),所以 ω=2k(k∈Z), 又 ω>0,所以 ω 的最小值为 2.
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ωπ

第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

4. [2012· 新课标全国卷改编] 已知 ? 函数图像 π 5π 关键词:相邻 ω>0,0<φ<π ,直线 x= 4 和 x= 4 是 函数 f(x)=sin(ωx+φ)的图像的两条相 对称轴、周期、最 ④ 邻的 对称轴 ,则 φ=________. 值,如④. π [答案] 4 π 5π π [解析 ] 由题设知 = 4 - 4 ,∴ω= ω

π π π 1,∴ +φ=kπ+ (k∈Z),∴φ=kπ+ 4 2 4 π (k∈Z).∵0<φ<π,∴φ= . 4

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三角函数的图像与性质

—— 体验高考 —— 5 . [2012· 新课标全国卷改编 ] 已 ? π? ? 知 ω>0 , 函 数 f(x) = sin ?ω x+ ? 在 ? 4? ? ?π ? ⑤ ? ? 上 单调 递减,则 ω 的取值范 , π ?2 ? ? ? 围是________.
[答案]
?1 5? ? , ? ?2 4?

——主干知识 ——
? 单调性 关键词: 单调、 取值范围,如⑤.

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三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——
π [解析] 由题意,ω(π- 2 )≤π?ω π π π π ≤2, (ωx+ )∈[ ω+ ,πω+ ]? 4 2 4 4

——主干知识 ——
? 单调性 关键词: 单调、 取值范围,如⑤.

π 3π π π π [2kπ+ 2 ,2kπ+ 2 ]得 2 ω+ 4 ≥2kπ+ 2 , π 3π 1 π ω + 4 ≤ 2k π+ 2 ? ω ≥ 4k + 2 , ω≤2k 5 1 5 + .又因为 0<ω≤2,所以 ≤ω≤ . 4 2 4

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三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——
6.[2013· 山东卷改编] 将函数 y= sin(2x+φ)(0<φ<π )的图像沿 x 轴向左 π 平移 8 个单位长度后,得到一个

——主干知识 ——
? 奇偶性 关键词:图像 平移、偶函数、奇

偶函数⑥ 的图像,φ=________. 函数,如⑥. π [答案] 4 [解析] 把函数 y=sin(2x+φ)(0<φ<π)
π 的图像向左平移 8 个单位得到的图像的解 π 析式是 y=sin2x+ 4 +φ(0<φ<π),该函数 是偶函数的充要条件是 π π + φ = k π+ , 4 2

π k∈Z, 即 φ=kπ+ 4 , k∈Z.又因为 0<φ<π, 所以 φ= π . 4

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第7讲
核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——
[解析] 把函数 y=sin(2x+φ)(0<φ< π π)的图像向左平移 8 个单位得到的图像 π 的解析式是 y=sin2x+ +φ(0<φ<π), 4 π 该函数是偶函数的充要条件是 4 +φ= π π kπ+ 2 ,k∈Z,即 φ=kπ+ 4 ,k∈Z.又 π 因为 0<φ<π,所以 φ= 4 .

——主干知识 ——
? 奇偶性 关键词:图像 平移、偶函数、奇 函数,如⑥.

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核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——
7 . [2013· 江苏卷] 函数 y= ? π? ⑦ ? 3sin ?2x+ ? 的 最小正周期 为 ? 4 ? ? ________.
[答案] π

——主干知识 ——
? 周期性 关键词: 周期函数、 周期、 最小正周期, 如⑦.

[解析] T=



ω

=π.

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核 心 知 识 聚 焦

三角函数的图像与性质

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

8.[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 设当 ? 最值 x=θ 时, 函数 f(x)=sin x-2cos x 取得 关键词:最大 ⑧ 最大值 ,则 cos θ =________. 值、最小值,如⑧. 2 5 [答案] - 5 1 [解析] f(x)=sin x-2cos x= 5 sin x 5 2 1 2 - cos x,令 cos α= ,sin α= ,则 5 5 5
π f(x)= 5sin(x-α), 当 θ-α=2kπ+ 2 , 即θ π =2kπ+ +α(k∈Z)时 f(x)取得最大值,此 2 时 cos θ=-sin α=- 2 5 5 .
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三角函数的图像与性质

—— 基础知识必备 ——

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

? 考向一 高考中三角函数常见的基本问题 考向:三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、 特殊角的三角函数值等. 例 1 (1)[2013· 四 川 卷 ] 设 sin 2 α = - sin α , ?π ? ? α∈? ,π ? ?,则 tan 2α 的值是________. 2 ? ? (2)已知 A(xA,yA)是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任意一 点,将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 30°到 OB,交单位圆于 点 B(xB,yB),则 xA-yB 的最大值为( ) 3 1 A. 2 B. C.1 D. 2 2

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第7讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1) 3

(2)C

[解析] (1)方法一:由 sin 2α=-sin α,得 2sin αcos α
命 题 考 向 探 究

=-sin α,又

? ? ?π α∈? ,π? ?,故 ?2 ?

1 sin α≠0,于是 cos α=- , 2

2tan α 3 进而 sin α= 2 , 于是 tan α=- 3, ∴tan 2α= = 2 1-tan α 2×(- 3) 1-3 1 = 3 . 方 法 二 : 同 上 得 cos α = - 2 , 又 2π 4π α= ,∴tan 2α=tan = 3. 3 3
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? ? ?π α∈? ,π? ?,可得 ?2 ?

第7讲

三角函数的图像与性质
(2)设 x 轴正方向逆时针到射线 OA 的角为α,根据三角

命 题 考 向 探 究

函数定义 xA=cos α,yB=sin(α+30°),所以 xA-yB=cos α 3 1 -sin(α+30°)=- 2 sin α+2cos α=sin(α+150°), 故其最大 值为 1.

小结:三角函数的定义是求三角函数值的基础,同角 三角函数间的关系、诱导公式以及三角函数式的化简在运 算中起着重要的作用,解题时要注意依据已知条件正确地 选择公式,并注意应用公式所具备的条件.

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第7讲

三角函数的图像与性质
变式题
? π ? 2 ? 已知 sin α =-3, 且 α∈?- ,0? 则 tan α ?, 2 ? ?

等于(

) 5 5 5 D. 2 B. 2 5

2 A.-
命 题 考 向 探 究

5 5 C.- 2

[答案] A
? ? 2 5 ? π ? [解析] 由 sin α=-3,且 α∈?- ,0?得 cos α= 3 , ? 2 ?

所以 tan α=

sin α

cos α

=-

2 5

5

.

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

? 考向二 三角函数的图像 考向:根据三角函数的图像求函数的解析式,根据函 数的解析式确定函数图像,利用三角函数图像解决问题 等.

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三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

(1)[2013·四 川 卷 ] 函 数 f(x) = 2sin(ωx + ? π π? ? φ)?ω>0,- <φ < ? ?的部分图像如图 3-7-1 所示,则 ω, 2 2 ? ? φ 的值分别是( ) π π A.2,- B.2,- 3 6 π π C.4,- 6 D.4, 3 例 2

图 3-7-1

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第7讲

三角函数的图像与性质

(2)函数 y=sin(π x+φ)(φ>0)的部分图像如图 3-7-2 所 示,设 P 是图像的最高点,A,B 是图像与 x 轴的交点,记 ∠APB=θ,则 sin 2θ 的值是( )

命 题 考 向 探 究

16 A. 65

63 B. 65

图 3-7-2 16 C.- 63

16 D.- 65

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三角函数的图像与性质

[答案] (1)A

(2)A

命 题 考 向 探 究

3T 5π π 3π [解析] (1)由图知 = + = ,故周期 T=π,于 4 12 3 4 是 ω= 2 ,所以 f(x)=2sin(2x+ φ).再由
? ? 5 π ? f? ? ? = 2 ,得 ? 12 ?

? ? 5π π π 5 π ? ? sin? +φ?=1,于是 6 +φ=2kπ+ 2 (k∈Z),因为- 2 < ? 6 ?

π π φ< 2 ,取 k=0,得 φ=- 3 .

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第7讲

三角函数的图像与性质

(2)函数的周期为 2,可得|AB|=2,|AP|=

1 1+4=

命 题 考 向 探 究

5 9 13 2 ,|BP|= 1+4= 2 ,根据余弦定理可得 cos θ= 5 13 4+ 4 -4 1 8 = ,所以 sin θ= ,所以 sin 2θ= 5 13 65 65 2× 2 × 2 1 8 16 2sin θcos θ=2× × = .(或者先计算 tan θ, 再 65 65 65 根据 sin 2θ= 2tan θ
2

1+tan θ

求解)

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

方法指导 14.根据三角函数图像求解析式的方程组方法 根据三角函数解析式画三角函数图像的基本方法是 “五 点法”,根据三角函数图像求解函数解析式其实就是 “五点 法”的逆用, 如例 2 中的(1)可看作是函数 y=2sin x, x∈[-π, π]经过变换得出函数 y=2sin(ωx+φ)在一个周期内的图像, 其 π 中点- ,0 可看作“五点法”作图时(-π,0)变换得出的, 3 5π π 点 ,2 可看作是“五点法”作图时点 ,2 得出的,故可得 12 2 ? ?ω-π+φ=-π, 3 ? 方程组? 解这个方程组即得 ω,φ 的值. π ? 5π ω· +φ= 2 , ? ? 12

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第7讲

三角函数的图像与性质

小结:根据三角函数的图像求函数的解析式,主要
命 题 考 向 探 究

考虑两点:①根据函数图像得出函数的最小正周期,求 出ω的值,②根据函数图像上特殊点的坐标,得出三角 函数的方程求出φ值.

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三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

? 考向三 三角函数的性质 考向:三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值. 例 3 (1)[2013· 湖北卷] 将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的 图像向左平移 m(m>0)个单位长度后, 所得到的图像关于 y 轴对 称,则 m 的最小值是( ) π π π 5π A.12 B. 6 C. 3 D. 6 (2)若函数 f(x)=sin ω x+ 3cos ω x(x∈R,ω>0)满足 f(α) π =-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为 2 ,则函数 f(x)的单调增 递区间为____________________.

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第7讲

三角函数的图像与性质
? ? 5 π π ? (2)? ?2kπ- ?(k∈Z) , 2 k π+ 6 6? ?

[答案] (1)B

[解析] (1)结合选项,将函数 y= 3cos x+sin x=
命 题 考 向 探 究
? π π? ? ? 2sin ?x+ ? 的图像向左平移 个单位长度后得到 6 3? ? ? ? π ? 2sin? ?x+ ?=2cos 2? ?

y=

x 的图像,它的图像关于 y 轴对称,选

B.

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第7讲

三角函数的图像与性质

π (2)f(x)=sin ωx+ 3cos ωx=2sinωx+ 3 .因为 f(α)= π T π -2,f(β)=0,且|α-β|min= 2 ,所以4 = 2 ,得 T=2π(T 为
命 题 考 向 探 究

2π π 函数 f(x)的最小正周期), 故 ω= T =1.所以 f(x)=2sinx+ . 3 π π π 5π 令 2kπ- 2 ≤x+ 3 ≤2kπ+ 2 (k∈Z),解得 2kπ- 6 ≤x≤ π 5π 2kπ+ (k∈Z).所以函数 f(x)的单调递增区间为[2kπ- , 6 6 π 2kπ+ 6 ](k∈Z).
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第7讲

三角函数的图像与性质

小结:三角函数的性质主要是单调性、奇偶性、周 期性和最值,三角函数的性质和图像是密不可分的,在
命 题 考 向 探 究

研究三角函数的性质时要注意从图像的特征得出性质, 同时注意根据三角函数的性质推断函数图像的特征.

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

变式题 (1)函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期 为( ) 3π A. B.2π 2 π C.π D. 2 ? ?π π? 2π ? ? ? ? ? (2) 函数 y = sin(ωx + φ) ?ω >0且|φ|< ? 在区间 ? , 2? 3 ? ? ?6 ? 上单调递减,且函数值从 1 减小到-1,那么此函数图像与 y 轴交点的纵坐标为( ) 1 2 A. B. 2 2 6+ 2 3 C. D. 2 4
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第7讲

三角函数的图像与性质

[答案] (1)B

(2)A

π [解析] (1)f(x)=(1+ 3tan x)cos x=cos x+ 3sin x=2sinx+ ,其 6

命 题 考 向 探 究

最小正周期为 2π. π 2π (2)因为函数的最大值为 1,最小值为-1,且在区间[ 6 , 3 ]上单 2π π π 调递减,又函数值从 1 减小到-1,可知 3 - 6 = 2 为半周期,则周期 2π 2π π T=π,ω= T = =2,故函数 y=sin(2x+φ).又由函数过( 6 ,1)点, π π π 1 代入可得 φ= ,因此 y=sin2x+ .令 x=0,可得 y= .故选 A. 6 6 2
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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

? 考向四 三角函数的性质与图像的综合应用 考向: 以解答题的形式考查三角函数图像与性质的综合 问题.

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

例 4 函数 f(x)=6cos 2 + 3sin ω x-3(ω>0)在一个 周期内的图像如图 3-7-3 所示,A 为图像的最高点,B, C 为图像与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调递增区间和对称中心.



x

图 3-7-3
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第7讲

三角函数的图像与性质

解:(1)f(x)=6cos 2 + 3sin ωx-3=3cos ωx+ 3sin ωx
2

ωx

命 题 考 向 探 究

=2

π 3sinωx+ 3 .(3 分) 又△ABC 为正三角形,且高为 2 3,则 BC=4, 2π π 所以函数 f(x)的最小正周期为 8,即 =8,ω= 4 , ω 所以函数 f(x)=2 π π 3sin( 4 x+ 3 ).(6 分)

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第7讲

三角函数的图像与性质

命 题 考 向 探 究

π π π π (2)由 2kπ- 2 ≤ 4 x+ 3 ≤2kπ+ 2 ,k∈Z,(8 分) 10 2 解得 8k- ≤x≤8k+ ,k∈Z. 3 3 10 2 所以 f(x)的单调递增区间为[8k- 3 , 8k+3], k∈Z.(10 分) π π 4 由 4 x+ 3 =kπ,k∈Z,得 x=4k-3,k∈Z, 4 所以函数 f(x)的对称中心为(4k- ,0),k∈Z.(12 分) 3

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第7讲

三角函数的图像与性质

【答题步骤】 第一步:把函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式. 第二步:根据已知函数的性质确定 ω 的值,得出函数 f(x)的解析式.
命 题 考 向 探 究

第三步:根据正弦函数的性质得出函数 f(x)的单调递 增区间和对称中心坐标.
小结:三角函数的综合应用常表现为依据解析式的结 构特点化简为 y=Asin(ωx+φ)后, 研究该函数的周期、单调 区间及最值.也可结合实际问题建立函数模型 y=Asin(ωx +φ)+k,依据实际问题确定定义域,再进行解决,并说明 实际意义.
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第7讲

三角函数的图像与性质

—— 推理论证能力——
[三角函数图像变换中的推理论证] 1.在解答数学试题中起主要作用的数学能力是逻辑推 理能力、空间想象能力和运算求解能力,运算求解实际是 简单的逻辑推理,逻辑推理能力在数学解题中占有重要地 位.高考从不同的侧面考查逻辑推理能力. 2.三角函数从解析式看是数的内容,但画出其图像后 又是形的内容,三角函数的解析式和图像从数与形两个方 面刻画了同一种变化规律.在三角函数问题中有时要通过

命 题 立 意 追 溯

平移、伸缩变换由一个函数图像得到另一个函数图像,图 像变换的同时函数的解析式也随之变化.在三角函数的图 像与解析式的变化中,从一个方面得到另一个方面不单纯 是运算,逻辑推理也占有重要成分.
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第7讲

三角函数的图像与性质

示例 [2013· 新课标全国卷 Ⅱ] 函数 y = cos(2x + π φ)(-π ≤φ <π )的图像向右平移 个单位长度后, 与函 2 ? π? ? 数 y=sin?2x+ ? ?的图像重合,则φ =________. 3 ? ?
5π [答案] 6

命 题 立 意 追 溯

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第7讲

三角函数的图像与性质

π [解析] 由已知, y=cos(2x+φ)的图像向右平移 个单位 2 长度后得到函数 y=cos(2x-π+φ)=-cos(2x+φ)的图像. ? ?π 5π π? π? ? ? ? ? y=sin?2x+ ?=-cos? +2x+ ?=-cos2x+ .上 6 3 2 3 ? ? ? ? 5π 述两个函数图像重合,比较得 φ= 6 .
命 题 立 意 追 溯
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第7讲

三角函数的图像与性质

小结:本题中给出的两个函数名称不同,在变换后要 把它们化为名称相同的函数再进行比较得出结论,这正是 逻辑推理能力在解题中的具体体现.

命 题 立 意 追 溯
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第7讲

三角函数的图像与性质
? π ? y=3cos?2x- 4 ? ? ? 可以将函 ?的图像, ?

跟踪练 要得到函数 数 y=3sin 2x 的图像(

命 题 立 意 追 溯

) π A.沿 x 轴向左平移 8 个单位长度 π B.沿 x 轴向右平移 8 个单位长度 π C.沿 x 轴向左平移 4 个单位长度 π D.沿 x 轴向右平移 个单位长度 4

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第7讲

三角函数的图像与性质

[答案]

A

π π π π [解析] y=3cos2x- 4 =3sin 2 +2x- 4 =3sin2x+ 4
命 题 立 意 追 溯

π =3sin 2x+ ,故选 A. 8

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第7讲

三角函数的图像与性质

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 考查正余弦的齐次式,例 2 考查由 三角函数图像求解析式,例 3 考查三角函数与平面向量 的综合、差角余弦公式的证明.三个例题可在相关考向 中使用.
cos 2α 1 例 1 若 tan( π - α) =- ,则 的值为 3 sin 2α +cos2α ) 8 8 A.3 B.5 8 8 C.-7 D.15

(

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第7讲

三角函数的图像与性质

[ 解析 ] D cos2α-sin2α

cos 2α 1 根据已知得 tan α = , = 3 sin 2α+cos2α
2

. 2sin αcos α+cos α 方法一:将上式分子分母同时除以 cos2α,则原式= 1 2 1-tan α 1-9 8 =2 =15. 2tan α+1 +1 3 1 方法二:变换 tan α=3为 cos α=3sin α,代入上式, 8 则原式= =15. 2 2 6sin α+9sin α 9sin2α-sin2α

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第7讲

三角函数的图像与性质

π 例 2 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|< ,x∈R 的部分图 2 像如图 3-7-4 所示,则( ) ?π ?π π? π? ? ? ? A.f(x)=-4sin? x+ ? B.f(x)=4sin? x- ? 4? 4? ?8 ?8 ? ?π ?π π? π? ? ? ? C.f(x)=-4sin? x- ? D.f(x)=4sin? x+ ? 4? 4? ?8 ?8 ?

图 3-7-4
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第7讲

三角函数的图像与性质

[解析] A

通过观察图像可知函数图像过(-2,0)和(2,-4)

2π π 两个定点,周期 T=2×8=16,ω= T = . 8 π 由(-2,0)可知 ×(-2)+φ=kπ,k∈Z, 8 π π 又∵|φ|< ,∴φ= ;由(2,-4)可知 A=-4, 2 4 从而
? ? π π ? f(x)=-4sin? ? x+ ?,故选 4? ?8

A.

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第7讲

三角函数的图像与性质

例 3 如图 3-7-5 所示,在平面直角坐标系 xOy 内作 单位圆 O,以 Ox 轴为始边作任意角 α,β,它们的终边与单 位圆 O 的交点分别为 A,B. → ·OB →; (1)设 α=105°,β=75°,求OA (2)试证明差角的余弦公式:cos(α-β)=cos α cos β + sin α sin β .

图 3-7-5
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第7讲

三角函数的图像与性质

→ ,OB → 的夹角为 30°, 解:(1)方法一:由已知,得OA → |=|OB → |=1, |OA → ·OB → =|OA → ||OB → |cos 30°= 3. ∴OA 2 方法二:由三角函数的定义,得 点 A(cos 105°,sin 105°),B(cos 75°,sin 75°), → · OB → = cos 105 ° cos 75 ° + sin 105 ° sin 75 ° = ∴ OA cos(105°-75°)= 3 2.

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第7讲

三角函数的图像与性质

→ ,OB → 的夹角为 θ, (2)设OA → |=|OB → |=1,∴OA → ·OB → =|OA → ||OB → |cos θ=cos θ, ∵|OA 另一方面,由三角函数的定义,得 A(cos α,sin α),B(cos β, sin β), → ·OB → =cos αcos β+sin αsin β, ∴OA 故 cos θ=cos αcos β+sin αsin β, 由于 α-β=2kπ±θ,k∈Z,∴cos(α-β)=cos θ, ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.

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第8讲 三角恒等变换与 解三角形

第8讲
核 心 知 识 聚 焦

三角恒等变换与解三角形

—— 体验高考 ——
1 . [2010· 福 建 卷 改 编 ] = ________.
1 [答案] 2

——主干知识 ——
? 和差的正 (余)弦公式 关键词:和角、差 角、正弦公式、余 弦公式,如①.

[解析] 原式=sin(43°-13°)= 1 sin 30°= . 2

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第8讲
核 心 知 识 聚 焦

三角恒等变换与解三角形

—— 体验高考 ——
2.[2012· 陕西卷改编] 设向量 a=(1, cos θ )与 b=(-1, 2cos θ ) 垂直,则 cos 2θ ② =________.
[答案] 0

——主干知识 ——
? 二倍角的 正(余)弦 关键词:二倍角的 正弦公式、余弦公 式,如②.

[解析] 由 a⊥b?a·b=0?-1+2cos2θ =0,故 cos 2θ=2cos2θ-1=0.

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第8讲
核 心 知 识 聚 焦

三角恒等变换与解三角形

—— 体验高考 ——
3.[2012· 重庆卷改编] 设 tan α , tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两个根, 则 tan(α+β)③= ________.
[答案] -3

——主干知识 ——
? 和差的正 切公式 关键词:和角、差 角、正切公式,如 ③.

[解析] 由题意得, tan α+tan β =3,tan αtan β=2?tan(α+β)= = =-3. 1-tan αtan β 1-2
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tan α+tan β

3

第8讲

三角恒等变换与解三角形

核 —— 体验高考 —— 心 sin α +cos α 知 4.[2012· 江西卷改编] 若 识 sin α -cos α 聚 1 ④ = ,则 tan 2 α = ________. 焦 2

——主干知识 ——
? 二倍 角的正切公式 关键词:二倍 角、 正切公式, 如 ④.

3 [答案] 4

[解析] 分子分母同时除以 cos α可得 tan α=-3,带入所求式可得结果.

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核 心 知 识 聚 焦

三角恒等变换与解三角形

—— 体验高考 ——
5.[2012· 天津卷改编] 在△ABC 中,内 角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c ,C=2B,则 cos C=________.


——主干知识 ——
? 正弦 (余弦)定理 关键词:三角 形、 正弦定理, 如 ⑤.

7 [答案] 25

[解析] ∵8b=5c,由正弦定理得 8sin B =5sin C,又∵C=2B,∴8sin B=5sin 2B, ∴8sin B=10 sin Bcos B, 易知 sin B≠0, ∴cos B 4 7 2 =5,cos C=cos 2B=2cos B-1=25.

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第 8讲

三角恒等变换与解三角形

—— 基础知识必备 ——

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第8讲

三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

? 考向一 高考中三角恒等变换的常见问题 考向:利用三角恒等变换公式(同角三角函数关系、诱导 公式、两角和差公式、倍角公式等)求解三角函数值,对三角 函数式进行恒等变换等. 例 1 (1)[2013· 重庆卷] 4cos 50°-tan 40°=( ) 2+ 3 A. 2 B. C. 3 D.2 2-1 2 10 (2)[2013· 浙江卷] 已知 α∈R,sin α +2cos α = ,则 2 tan 2α =( ) 4 3 3 4 A. B. C.- D.- 3 4 4 3

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三角恒等变换与解三角形

[答案] (1)C (2)C
[解析] (1)原式=4sin 40°-
命 题 考 向 探 究

sin 40° cos 40°

= = = =

4sin 40°cos 40°-sin 40° cos 40° cos 40°

2sin 80°-sin 40° = cos 40°

2cos (40°-30°)-sin 40° 2(cos 40°cos 30°+sin 40°sin 30°)-sin 40° cos 40° 3cos 40° cos 40° = 3,故选 C.
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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

10 (2)由(sin α+2cos α)2=( 2 )2,得 sin2α+4sin αcos α+ 10 5 5 2 2 4cos α = 4 = 2 , 4sin α cos α + 1 + 3cos α = 2 , 2sin 2 α + 1 + 3 × 1+cos 2α 5 3cos 2α = ,故 2sin 2α=- ,所以 tan 2 2 2 C. 3 2α=- ,选择 4

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三角恒等变换与解三角形

方法指导 题的处理策略

15.含有 asin α+bcos α=c 的三角函数问

命 题 考 向 探 究

(1)使用辅助角公式化为 a2+b2sin(α+φ)=c 的形式, a b 其中 cos φ= ,sin φ= ; 2 2 2 2 a +b a +b (2)两端平方后使用降幂公式、二倍角的正弦公式把其 化为关于 2α 的关系式; (3)与 sin2α+cos2α=1 联立,求出 sin α,cos α.
小结:三角函数求值的关键是通过恒等变换公式,把已知 转化为求解目标.注意恒等式 (sin α± cos α)2 = 1± sin 2 α的应 用.
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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

? 考向二 正(余)弦定理在解三角形中的应用 考向:根据正弦定理、余弦定理解三角形. 例 2 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC 的内 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2 A+cos 2A=0, a=7,c=6,则 b=( ) A.10 B.9 C.8 D.5 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的对边长分别为 a, b,c,sin A,sin B,sin C 成等比数列,且 c=2a,则 cos B 的值为( ) 1 3 2 2 A.4 B.4 C. 4 D. 3

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三角恒等变换与解三角形

[答案] (1)D

(2)B

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)由 23cos 2A+cos 2A=0,得 25cos 2A=1.因 1 为△ABC 为锐角三角形,所以 cos A=5.在△ABC 中,根据 1 12 2 2 余弦定理,得 49=b +36-12b×5,即 b - 5 b-13=0, 13 解得 b=5 或- 5 (舍去). (2)根据正弦定理和 sin A,sin B,sin C 成等比数列可
2 2 2 a + c - b 得 b2=ac=2a2, 即 b= 2a.根据余弦定理 cos B= 2ac

a2+4a2-2a2 3 = = . 4a2 4
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第8讲

三角恒等变换与解三角形

小结:应用正(余)弦定理解三角形的关键是根据已知条件
命 题 考 向 探 究

和定理得出求解目标需要的方程,通过解方程得出求解目标.

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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

变式题 已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 + a,b,c,且 2(a2 b2-c2)=3ab.若 c=2,则△ABC 面积的 最大值为________.

[答案]

7

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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

3 3 [解析] ∵a2+b2-c2= ab,且 c=2,∴a2+b2-4= ab, 2 2 3 2 2 又∵a +b ≥2ab,∴2ab≥2ab-4,∴ab≤8. 3 ∵cos C= , 4 32 7 2 ∴sin C= 1-cos C= 1- = , 4 4 1 ∴S△ABC=2absin C≤ 7, 当且仅当 a=b=2 2时, △ABC 面积最大, 最大值为 7.

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三角恒等变换与解三角形

? 考向三 正(余)弦定理的实际问题 考向:正弦定理、余弦定理在解决测量问题、平面图 形计算问题中的应用.
命 题 考 向 探 究

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三角恒等变换与解三角形

例3 如图,我海监船在D岛海域例行维权巡航,某时刻 航行至A处,此时测得其东北方向与它相距16 n mile的B处有 一外国船只,且D岛位于海监船正东14 2 n mile处.
命 题 考 向 探 究

图3-8-1 (1)求此时该外国船只与D岛的距离; (2)观测中发现,此外国船只正以每小时4 n mile的速度沿 正南方向航行.为了将该船拦截在离D岛12 n mile处,不让其 进入D岛12 n mile内的海域,试确定海监船的航向,并求其速 度的最小值. (参考数据:sin 36°52′≈0.6,sin 53°08′≈0.8)

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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

解:(1)依题意,在△ABD中∠DAB=45°,由余弦定理: DB2=AD2+AB2-2DA· AB· cos∠DAB 2 =(14 2)2+162-2· 14 2·16· 2 =200. 即此时该外国船只与D岛距离为10 2 n mile.

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三角恒等变换与解三角形
(2)在△ABD中作BC⊥DA于点C. 在Rt△BCD中,BC=BDsin∠BDA=10 DC=BDcos∠BDA=10 3 2·5=6 2, 4 2· =8 5 2,

命 题 考 向 探 究

DC=AD-AC=14 2-8 2=6 2. 以D为圆心,12为半径作圆交BC于E,联结AE,DE, 在Rt△CED中,∴CE=6 2, ∴EB=BC-CE=2 2, 3 CE 故在Rt△AEC中, EA=10 2 ,sin∠EAC= AE = 5 , ∴∠EAC≈36°52′. 2 BE 2 2 又该外国船只到达点E的时间t= 4 = 4 = 2 小时. AE 10 2 则我海监船速度v≥ t = =20海里/小时. 2 2 ∴我海监船要以北偏东90°-36°52′=53°08′,速度的最 小值为每小时20海里.
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三角恒等变换与解三角形

? 考向四 三角函数与解三角形的综合 考向:三角函数与解三角形的综合、在三角形中进行三角 恒等变换、在三角形中研究三角函数的性质等.

命 题 考 向 探 究

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三角恒等变换与解三角形

命 题 考 向 探 究

x x x 例 4 已知向量 m= 3sin4, 1, n=cos4, cos 24.记 f(x)=m· n. 2π 3 (1)若 f(α)=2,求 cos( 3 -α)的值; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 1+ 3 (2a-c)cos B=bcos C,若 f(A)= 2 ,试判断△ABC 的形状.

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三角恒等变换与解三角形
? ? 3 x 1 x 1 x x ? x π? 1 2x 解:f(x)= 3sin cos +cos = sin + cos + =sin? + ?+ . 4 4 4 2 2 2 2 2 ?2 6 ? 2 ? ? 3 ?α π? 1 3 (1)由已知 f(α)= 得 sin? + ?+ = , 2 ?2 6 ? 2 2

命 题 考 向 探 究

2π 2π 2π 2π 于是 α=4kπ+ ,k∈Z,∴cos -α=cos -4kπ- =1. 3 3 3 3 (2)根据正弦定理得, (2a-c)cos B=bcos C?(2sin A-sin C)cos B=sin B·cos C? π 1 2sin Acos B=sin(B+C)=sin A?cos B=2?B= 3 .
? ? 1+ 3 1+ 3 A π π 2π ?A π? 1 ∵f(A)= 2 ,∴sin? + ?+2= 2 ? 2 + 6 = 3 或 3 ? ?2 6 ?

π 2π π A= 3 或π,而 0<A< 3 ,∴A= 3 ,因此△ABC 为等边三角形.
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第8讲

三角恒等变换与解三角形

小结:在含有三角形的边角混合的方程中,需要根据正弦定
命 题 考 向 探 究

理或者余弦定理把边角的混合关系式转化为单纯的角的三角函 数的关系式,或者单纯的边的关系式.根据边角方程的特点确定 使用正弦定理还是余弦定理, 是把边化为角的三角函数还是把角 的三角函数化为边的关系式.

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三角恒等变换与解三角形

—— 运算求解能力——
[方程思想在解三角形问题中的应用] 1.方程思想的核心是把求解的量归入到一个方程 (或者几 个方程组成的方程组)中,通过求方程(组)的解出求解的量,方 程思想运用的是否熟练、是否合理、是否灵活,是运算求解能 力强弱的重要体现之一.高考通过不同的试题,从多个方位考
命 题 立 意 追 溯

查方程思想的应用,解三角形就是其中一个重要的命题点.

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三角恒等变换与解三角形

—— 运算求解能力——
2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方 程,在这些方程中已知其中的部分元素可以求解另外一些元素, 这是方程思想在解三角形中应用的根据.在利用方程思想解三 角形时要注意根据已知和求解目标选用合适的公式.
命 题 立 意 追 溯
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三角恒等变换与解三角形

示例 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 cos A+cos 2A=0. (1)求角 A 的大小; ? π? ? (2)若 a=3,b=2,求 sin?B+ ? 的值. 4? ? ?

命 题 立 意 追 溯
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三角恒等变换与解三角形

解:(1)由 cos A+cos 2A=0 得 2cos2A+cos A-1=0, 1 解得 cos A=-1 或 cos A=2. π 因为 A 是三角形的内角,0<A<π ,所以 A= . 3 3 2 3 a b (2)由正弦定理sin A=sin B得 = ,解得 sin B= 3 . π sin B sin 3
命 题 立 意 追 溯

π 6 因为 b<a,所以 0<B<A< 3 ,所以 cos B= 3 , π π π 6+2 所以 sinB+ =sin Bcos +cos Bsin = 4 4 4 6

3

.

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第8讲

三角恒等变换与解三角形

小结: 本题先根据角的三角函数的方程求出三角形的一个 内角, 再根据正弦定理求出三角形一个内角的正弦值, 得出了 求解目标需要的量,充分体现了方程思想在解决问题中的应 用.
命 题 立 意 追 溯
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三角恒等变换与解三角形

跟踪练 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 1 B 2 若函数 f(x)=x +mx-4为偶函数,且 f(cos 2 )=0. (1)求角 B 的大小; 15 3 7 3 (2)若△ABC 的面积为 4 ,其外接圆半径为 3 ,求 △ABC 的周长.

命 题 立 意 追 溯
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三角恒等变换与解三角形

1 解:(1)∵f(x)=m2+mx- 是偶函数, 4 1 2 1 2 ∴f(x)=f(-x),即 x +mx-4=x -mx-4,∴m=0, 1+cos B 1 1 B 2B 又 fcos 2 =0,∴cos 2 =4,即 =4, 2
命 题 立 意 追 溯

2π 1 ∴cos B=-2.又 B∈(0,π),∴B= 3 .

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三角恒等变换与解三角形

(2)∵△ABC 的外接圆半径为 3 , 14 3 b b ∴根据正弦定理 =2R 得, = ,∴b=7. sin B 3 2π sin 3 1 15 3 又 S△ABC=2acsin B= 4 ,∴ac=15. 在△ABC 中,根据余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B,
命 题 立 意 追 溯

7

3

2π 即 a +c -30cos 3 =49,a2+c2=34,
2 2

∴(a+c)2=a2+c2+2ac=64,∴a+c=8, ∴△ABC 的周长等于 15.
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三角恒等变换与解三角形

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 为三角恒等变换、解三角形、平面 向量的综合题,例 2 为解三角形的实际应用题,两例题可 以在相关考向中使用.

例 1 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,已知向量 m=(cos A,cos B),n=(2c+b,a),且 m⊥n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=4,求△ABC 面积的最大值.

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三角恒等变换与解三角形

解:(1)∵m⊥n,∴m· n=(cos A,cos B)· (2c+b,a)= (2c+b)cos A+acos B=0. 由正弦定理可得(2sin C+sin B)cos A+sin Acos B=0, 即 2sin Ccos A+(sin Bcos A+sin Acos B)=0, 整理可得 sin C+2sin Ccos A=0. 2π 1 ∵0<C<π,∴sin C>0,∴cos A=- ,∴A= . 2 3 (2)由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A,即 16=b2+c2 16 +bc≥3bc(当且仅当 b=c 时取等号),故 bc≤ . 3 1 3 4 3 故△ABC 的面积为 S=2bcsin A= 4 bc≤ 3 , 当且仅当 4 3 4 3 b=c= 3 时,△ABC 的面积取得最大值 3 . 返回目录

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三角恒等变换与解三角形

例 2 某城市有一块不规则的绿地如图 3-8-2 所示, 城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志, 小 李、小王设计的底座形状分别为△ ABC 、△ABD ,经测量 AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑 其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低,请说明理 由.

图 3-8-2、
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三角恒等变换与解三角形

解:(1)在△ABC 中,由余弦定理得 AB2 = AC2 + BC2 - 2AC· BCcos C = 162 + 102 - 2×16×10cos C.① 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 得 AB2 = AD2 + BD2 - 2AD· BDcos D = 142 + 142 - 2×142cos C.② 由 ①② 得 142 + 142 - 2×142cos C = 162 + 102 - 1 2×16×10cos C,整理可得 cos C=2. 又∠C 为三角形的内角,所以∠C=60°. 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A,B 两点的距离为 14.
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三角恒等变换与解三角形

(2)小李的设计符合要求. 1 理由如下:S△ABD=2AD·BDsin D, 1 S△ABC=2AC·BCsin C, 因为 AD· BD>AC· BC,所以 S△ABD>S△ABC. 由已知建造费用与用地面积成正比, 故选择△ABC 建造环境标志费用较低. 即小李的设计符合要求.

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