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高中数学


1.1.2 集合间的基本关系
学习目标 了解子集、 真子集、 空集的概念, 掌握用 Venn 图表示集合的方法,通过子集理解两集合相 等的意义. 自学导引 1.一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中 任意一个 元素都是集合 B 中的元素, 我们 就说这两个集合有包含关系, 称集合 A 为集 合 B 的子集,记作 A?B (或 B?A ),读作 “ A含于B ”(

或“ B包含A ”).

2.如果集合 A 是集合 B 的子集(A?B),且
集合B是集合A的子集(B?A) ,此时,集合 A 与

集合 B 中的元素是一样的,因此集合 A 与集 合 B 相等,记作 A=B . 3.如果集合 A?B,但存在元素 x∈B,且 x?A, 我们称集合 A 是集合 B 的 真子集 ,记作
A? B

(或 B ? A ).

4.不含任何元素的集合叫做 空集 ,记作 ? . 5. 空集 是任何集合的子集,空集 是任何非空集 合的真子集.

对点讲练
知识点一 写出给定集合的子集

例 1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其 中哪些是它的真子集; (2)填写下表,并回答问题. 原集合 ? {a} { a,b} { a,b,c} 子集 子集的个数

(2) 子集的 原集合 子集 个数 1 ? ? { a} 2 ?,{ a} 4 { a,b} ?,{ a},{b},{a,b} ?,{ a},{b},{c}, { a,b },{ a, c},{b,c} 8 { a,b,c} { a,b,c } 这样,含 n 个元素的集合{ a1 ,a2,?,an}的所 有子集的个数是 2n,真子集的个数是 2n-1, 非空真子集的个数是 2n-2.

规律方法

(1)分类讨论是写出所有子集的有效

方法, 一般按集合中元素个数的多少来划分, 遵 循由少到多的原则,做到不重不漏. (2)集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集,有(2n- 1)个真子集,(2n-1)个非空子集,(2n-2)个非空 真子集.
变 式 迁 移 1 已 知 集 合 M 满 足 {1,2} ? M ? {1,2,3,4,5},写出集合 M. 解 由已知条件知所求 M 为:{1,2},{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,4,5}.

知识点二 集合基本关系的应用 例 2 (1)已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m -1<x<m+1},且 B?A.求实数 m 的取值范 围;(2)本例(1)中,若将“B?A”改为“A? B”,其他条件不变,则实数 m 的取值范围 是什么?
解 (1)∵B?A, ①当 B=?时, m+1≤2m-1, ?-3≤2m-1 ? ②当 B≠?时,有?m+1≤4 ?2m-1<m+1 ? 解得 m≥2. ,

解得-1≤m<2, 综上得 m≥-1. (2)显然 A≠?,又 A?B,∴B≠?, 如图所示,

?2 m ? 1 ? m ? 1 ∴ ? ,解得 m∈?. ? 2 m ? 1 ? ?3 ?m ? 1 ? 4 ?

规律方法

(1)分析集合关系时,首先要分析

简化每个集合. (2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各 个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验 证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表 示,不含“=”用空心点表示. (3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱” ,尤其 是集合中含有字母参数时,初学者会想当然认为非 空集合而丢解,因此分类讨论思想是必须的.

变式迁移 2 已知 A={x|x2-5x+6=0},B={x|mx =1},若 B? A,求实数 m 所构成的集合 M.



由 x2-5x+6=0 得 x=2 或 x=3. ∴A={2,3} 由 B? A 知 B=?或 B={2}或 B={3} 若 B=?,则 m=0; 1 若 B={2},则 m=2; 1 若 B={3},则 m=3. ? 1 1? ∴M=?0,2,3?. ? ?

知识点三 集合相等关系的应用 例 3 已知集合 A={2,x,y},B={2x , 2,y2} 且 A=B,求 x,y 的值.
解 方法一 ∵A=B

∴集合 A 与集合 B 中的元素相同 2 ? ? ?x=2x ?x=y ? ∴? , 2 或 ? ? ?y=y ?y=2x

1 ? ? ? ?x=4 ?x=0 ?x=0 解得 x,y 的值为? 或? 或? ? ? ?y=0 ?y=1 ?y=1 2 ? 验证得,当 x=0,y=0 时, A={2,0,0}这与集合元素的互异性相矛 盾,舍去. 1 ? x=4, ? ? x = 0 , ? ∴x,y 的取值为? 或? ? ?y=1, ?y=1. 2 ?

课堂小结 1.元素、集合间的关系用符号“∈”或“?” 表示,集合、集合间的关系用“?” 、 “=” 或“? ”等表示. 2.当 A?B 时,A=B 或 A ? B.

课时作业
1.已知集合 A={x| a -1≤x≤a+2},B={x|3<x<5}, 则能使 A?B 成立的实数 a 的取值范围是 ( B ) A.{ a |3< a≤4} B.{ a|3≤a ≤4} C.{ a|3< a <4} D.?

解析

a ?1 ? 3 ∵A?B,∴ ? ?

?a ? 2 ? 5

∴3≤a≤4.

2.设 B={1,2},A={x|x?B},则 A 与 B 的关 系是 ( D) A.A?B B.B?A C.A∈B D.B∈A
解析 ∵B的子集为{1},{2},{1,2},?,

∴A={x|x?B}={{1},{2},{1,2},?},

∴B∈A.

二、填空题 3 . 设 x , y∈R , A = {(x , y)|y = x} , B =
? y ? ?(x,y)| =1? x ? ?

, 则 A 、 B 的 关 系 为

B? A ____________ . 解析

A、B都为点集,点(0,0)∈A,但点 (0,0) ?B.

4. 设 M={x|x2-1=0}, N={x| ax-1=0}, 若 N?M,

±1或0 则 a 的值为________.

5.已知集合 A={x|-2k+3<x<k-2},B={x| -k<x<k}, 若 A ? B, 求实数 k 的取值范围.



∵A ? B,①若 A=?,且 B≠?, 5 则 k>0,且-2k+3≥k-2?0<k≤3; k>0 ? ? ?-2k+3<k-2 ②若 A≠?,且 B≠?,则? ?-k≤-2k+3 ? ?k≥k-2 且-k=-2k+3 与 k=k-2 不同时成立, 5 解得3<k≤3. 由①②可得实数 k 的取值范围为{k|0<k≤3}.

1 n 6. 已知集合 M={x|x=m+6, m∈Z}, N={x|x=2- 1 p 1 , n ∈ Z } , P = { x | x = 3 2+6,p∈Z},请探求集合 M、N、P 之间的关系.

1 解 M={x|x=m+6,m∈Z} 6m+1 ={x|x= 6 ,m∈Z}. n 1 N={x|x=2-3,n∈N} 3n-2 ={x|x= 6 ,n∈Z}. p 1 P={x|x=2+6,p∈Z} 3p+1 ={x|x= 6 ,p∈Z}.

∵3n-2=3(n-1)+1,n∈Z, ∴3n-2,3p+1 都是 3 的整数倍加 1,从而 N=P. 而 6m+1=3×2m+1 是 3 的偶数倍加 1, ∴M ?N=P.


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