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1[1].4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义、1.4.2单位圆与周期性


1.单位圆的定义 单位长 为半 在直角坐标系中,以原点 _____为圆心,以______ 径的圆,称为单位圆. 2.一般地,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任 意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半 轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的 正弦函数 记作v=sin α;点P 纵坐标v叫作角α的________, 余弦函数 记作________ u=cos α

. 的横坐标u叫作角α的________, 通常,我们用x表示自变量,即x表示角的大小,用y表 示函数值,这样我们就定义了任意角三角函数y= sin x和y=cos x.它们的定义域为全体实 [-1,1] 数,值域为______.

3.正、余弦函数的周期性 sin α k∈Z; sin(α+k·2π)=______, cos α k∈Z. cos(α+k·2π)=______, 由此我们可以得到如下结论: 同一三角函数的值 相等. 终边相同的角的_________________

4.周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义对于函数f(x),如果存在非零 ____实数T,任取 f(x+T) =f(x),那么函数f(x) 定义域内的任意一个x值,都有_______ 周期 就称为周期函数,T称为这个函数的______. (2)最小正周期;2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小 的一个,称为最小正周期.

任意角的正弦、余弦函数 已知角 α 的终边在射线 y=2x(x>0)上,求 角 α 的正弦、余弦和正切值.
[解题过程] 设 α 的终边与单位圆的交点为 P(x,y),则 y=2x(x>0). 又因为 x2+y2=1,
? ?x= 5 ? 5 所以? 2 5 ? y= ? 5 ?

,

2 5 于是 sin α=y= 5,cos α=x= , 5 5 y tan α= =2. x

[小结] 解已知角α的终边在直线上的问题时,先利 用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、 余弦函数的定义求出相应三角函数值.

1.已知角 α 是第三象限的角,其终 5 边与单位圆相交于点 M(- ,n),求 n 的值及 sin 13 α 的值.

解析: 由于 α 是第三象限的角,故点 M 在第三 象限,∴n<0. ? ? 5 12 ? ?2 2 由?-13? +n =1,得 n=± . 13 ? ? 12 12 ∵n<0,∴n=- .从而 sin α=- . 13 13

判定三角函数值的符号 判断下列各式的符号: (1)α 是第二象限角,sin α· cos α; (2)sin 3· cos 4.

[解题过程] (1)∵α 是第二象限角, ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α· cos α<0. π 3π (2)∵ <3<π,π<4< ,∴sin 3>0,cos 4<0. 2 2 ∴sin 3· cos 4<0.

[小结] 准确确定三角函数值中角所在象限是基础, 准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问 题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正 切、四余弦”来记忆.

2.若sin α·cos α<0,则α在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限

解析: ∵sin α·cos α<0,∴sin α与cos α异号,所以α在第二 、四象限. 答案: D

函数的周期性 以下几个命题中,正确的有( ) ①存在函数 f(x)定义域中的某个自变量 x0,使 f(x0+T)=f(x0),则 f(x)为周期函数;②存在实数 T,使得对 f(x)定义域内的任意一个 x,都满足 f(x +T)=f(x),则 f(x)为周期函数;③周期函数的周 期是唯一的. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

[解题过程] ①由周期函数的定义可知f(x+T)=f(x)对定 义域内的任意一个x都成立,且T≠0,故不正确; ②由周期函数的定义可知T≠0,故不正确; ③若T为周期,则f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x), 故2T也是周期,不正确. 答案: A

[小结] 求解或证明一个函数是否为周期函数或周 期的大小常用的方法有: (1)定义法:即对定义域内的任意一个x值,是否存在 非零常数T,使f(x+T)=f(x)成立.若成立,则是周期函 数,且T是它的一个周期. (2)图象法:先作出函数图象,再观察图象的周期性, 从而得出周期.

3.已知f(x+3)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出 它的一个周期.

解析: ∵f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)是周期函数,且6是它的一个周期.

课堂总结(略)


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