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1985年全国统一高考数学试卷(文科)


1985 年全国统一高考数学试卷(文科) 一、选择题(共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 1. (3 分)如果正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 a,那么四面体 A′﹣ABD 的体积是( A. B. C. D.



2. (3 分)

的(



A. 必

要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要的条件 3. (3 分)设集合 X={0,1,2,4,5,7},Y={1,3,6,8,9},Z={3,7,8},那么集合(X∩Y) ∪ Z 是( ) A. {0,1,2,6, B. {3,7,8} C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7, 8} 8} 4. (3 分)在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 数?( ) 2 A. y=x (x∈R) B. y=|sinx| (x∈R) C. y=cos2x (x∈R) 上的增函数又是以 π 为周期的偶函

D. y=esin2x(x∈R)

5. (3 分)用 1,2,3,4,5 这五个数字,可以组成比 20000 大,并且百位数不是数字 3 的没有重复 数字的五位数,共有( ) A. 96 个 B. 78 个 C. 72 个 D. 64 个 二、解答题(共 11 小题,满分 90 分) 6. (4 分)求函数 .

7. (4 分)求圆锥曲线 3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0 的离心率. 8. (4 分)求函数 y=﹣x2+4x﹣2 在区间[0,3]上的最大值和最小值. 9. (4 分)设(3x﹣1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0 的值. 10. (4 分)设 i 是虚数单位,求(1+i)6 的值. 11. (14 分)设 S1=12,S2=12+22+12,S3=12+22+32+22+12,…, Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,… 用数学归纳法证明:公式 对所有的正整数 n 都成立.

12. (13 分)证明三角恒等式



13. (16 分) (1)解方程 lg(3﹣x)﹣lg(3+x)=lg(1﹣x)﹣lg(2x+1) ; (2)解不等式 14. (15 分)设三棱锥 V﹣ABC 的三个侧面与底面所成的二面角都是 β,它的高是 h,求这个所棱锥 底面的内切圆半径.

15. (15 分)已知一个圆 C:x2+y2+4x﹣12y+39=0 和一条直线 L:3x﹣4y+5=0,求圆 C 关于直线 L 的对称的圆的方程.

16. (12 分) 设首项为 1, 公比为 q (q>0) 的等比数列的前 n 项之和为 Sn, 又设 Tn= .

, n=1, 2, …. 求

1985 年全国统一高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) 1. (3 分)如果正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 a,那么四面体 A′﹣ABD 的体积是( A. B. C. D.



考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的体积. 计算题. 画出图形,直接求解即可. 解:如图四面体 A′﹣ABD 的体积是 V=

故选 D. 点评: 2. (3 分) 本题考查棱锥的体积,是基础题. 的( )

A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分又不 必要的条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 计算题. 先解出 tanx=1 的解,再判断两命题的关系. 解: 由 tanx=1 得 , ,

当 k=1 时,x=

固由前者可以推出后者, 所以 tanx=1 是 点评: 的必要条件.

故选 A. 此题要注意必要条件,充分条件的判断,掌握正切函数的基本性质,比较简单.

3. (3 分)设集合 X={0,1,2,4,5,7},Y={1,3,6,8,9},Z={3,7,8},那么集合(X∩Y) ∪ Z 是( ) A. {0,1,2,6, B. {3,7,8} C. {1,3,7,8} D. {1,3,6,7,

8} 考点: 分析: 解答: 点评:

8} 交、并、补集的混合运算. 根据交集的含义取 X、Y 的公共元素写出 X∩Y,再根据并集的含义求(X∩Y)∪ Z. 解:X∩Y={1}, (X∩Y)∪ Z={1,3,7,8}, 故选 C 本题考查集合的基本运算,较简单. 上的增函数又是以 π 为周期的偶函

4. (3 分)在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 数?( ) A. y=x2(x∈R) B. y=|sinx| (x∈R) C. y=cos2x (x∈R) 考点: 专题: 分析: 解答:

D. y=esin2x (x∈R)

三角函数的周期性及其求法. 压轴题. 根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可. 解:y=x2(x∈R)不是周期函数,故排除 A. ∵ y=|sinx|(x∈R)周期为 π,且根据正弦图象知在区间 上是增函数.

故选 B. 点评: 本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象.

5. (3 分)用 1,2,3,4,5 这五个数字,可以组成比 20000 大,并且百位数不是数字 3 的没有重复 数字的五位数,共有( ) A. 96 个 B. 78 个 C. 72 个 D. 64 个 考点: 专题: 分析:

解答:

点评:

排列、组合的实际应用. 计算题;压轴题;分类讨论. 根据题意,分析首位数字,要求这个五位数比 20000 大,则首位必须是 2,3,4,5 这 4 个数 字,由于百位数不是数字 3,分 2 种情况讨论,① 百位是 3,② 百位是 2,4,5,分别求得其情 况数目,由乘法原理,计算可得答案. 解:根据题意,要求这个五位数比 20000 大,则首位必须是 2,3,4,5 这 4 个数字, 分 2 种情况讨论, 当首位是 3 时,百位数不是数字 3,有 A44=24 种情况, 当首位是 2,4,5 时,由于百位数不能是数字 3,有 3(A44﹣A33)=54 种情况, 综合可得,共有 54+24=78 个数字符合要求, 故选 B. 本题考查排列、组合的应用,注意结合题意,进行分类讨论,特别是“百位数不是数字 3”的要 求.

二、解答题(共 11 小题,满分 90 分)

6. (4 分)求函数



考点: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法. 只需使得解析式有意义,分母不为 0,且被开方数大于等于 0 即可. 解: 解得:{x|﹣2≤x<1}∪ {x|1<x≤2}.

点评:

本题考查具体函数的定义域,属基本题.

7. (4 分)求圆锥曲线 3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0 的离心率. 考点: 专题: 分析: 解答: 圆锥曲线的共同特征. 计算题. 先把方程整理成标准方程,进而可知 a 和 b,求得 c,则离心率可得. 解:方程整理成标准方程得(x+1)2﹣ 即 a=1,b= ∴ c= =2 ∴ e= =2 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质.属基础题. =1,

8. (4 分)求函数 y=﹣x2+4x﹣2 在区间[0,3]上的最大值和最小值. 考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

利用导数求闭区间上函数的最值. 计算题. 先配方, 确定对称轴和开口, 再结合着图象, 找出最高点和最低点, 即相应的最大值和最小值. 2 解:y=﹣(x﹣2) +2,则开口向下,对称轴方程是 x=2 结合函数的图象可得,当 x=2 时,ymax=2; 当 x=0 时,ymin=﹣2 故最大值是 2,最小值是﹣2. 二次函数仍是高中阶段研究的重点,对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁,在解决此类问 题时往往要根据开口和对称轴,结合着图象,作出解答.

9. (4 分)设(3x﹣1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0 的值. 考点: 专题: 分析: 解答: 点评: 二项式系数的性质. 计算题. 对等式中的 x 赋值 1 求出各项系数和. 解:令 x=1 得 26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0 故 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26 本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法.

10. (4 分)设 i 是虚数单位,求(1+i)6 的值. 考点: 复数代数形式的乘除运算.

专题: 分析: 解答: 点评:

常规题型. 利用(1+i)2=2i 及 i 的各次方的值求解即可. 解:因为(1+i)2=2i,故(1+i)6=(2i)3=8i3=﹣8i 本题考查复数的简单运算,在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用,如(1+i)2=2i, (1﹣i)2=﹣2i 等.

11. (14 分)设 S1=12,S2=12+22+12,S3=12+22+32+22+12,…, Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,… 用数学归纳法证明:公式 对所有的正整数 n 都成立.

考点: 专题: 分析:

数学归纳法. 证明题. 本题考查的知识点是数学归纳法, 由数学归纳法的步骤, 我们先判断 n=1 时



是否成立,然后假设当 n=k 时,公式

成立,只要能证明出当 n=k+1 时,公式

成立即可得到公式 解答:

对所有的正整数 n 都成立.

证明:因为 Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,即要证明 12+22+32+…+n2+…+32+22+12= (Ⅰ )当 n=1,左边=1,右= , (A) ,故(A)式成立

(Ⅱ )假设当 n=k 时, (A)式成立,即 12+22+32+…+k2+…+32+22+12= 现设 n=k+1,在上式两边都加上(k+1)2+k2,得 12+22+32+…+k2+(k+1)2+k2+…+32+22+12= +(k+1)2+k2,

=

=

=

=



即证得当 n=k+1 时(A)式也成立根据(Ⅰ )和(Ⅱ ) , (A)式对所有的正整数 n 都成立,即证得 点评:

数学归纳法的步骤: ① 证明 n=1 时 A 式成立② 然后假设当 n=k 时, A 式成立③ 证明当 n=k+1 时, A 式也成立④ 下绪论:A 式对所有的正整数 n 都成立. .

12. (13 分)证明三角恒等式 考点: 专题: 分析: 解答:

三角函数恒等式的证明. 证明题. 证明的思路是化简左边式子,方法是利用 2 倍角公式和同角三角函数的基本关系,得到式子与 右边相等即可. 证明:左边=2sin4x+ (2sinxcosx)2+5cos4x﹣cos(2x+x)cosx

点评:

=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣(cos2xcosx﹣sin2xsinx)cosx =2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[(2cos2x﹣1)cosx﹣2sin2xcosx]cosx =2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2(1﹣cos2x)cosx]cosx =2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣(4cos3x﹣3cosx)cosx =2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x =(2sin2x+cos2x) (sin2x+cos2x)+3cos2x =2sin2x+cos2x+3cos2x =2+2cos2x=2(1+cos2x)=右边 考查学生理解三角函数恒等式的证明思路, 运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关 系的能力.

13. (16 分) (1)解方程 lg(3﹣x)﹣lg(3+x)=lg(1﹣x)﹣lg(2x+1) ; (2)解不等式 考点: 专题: 分析: 对数函数图象与性质的综合应用;其他不等式的解法. 计算题. (1) 、根据对数的运算法则可知,由 lg(3﹣x)﹣lg(3+x)=lg(1﹣x)﹣lg(2x+1)得 ,于是 根,去除增根. (2) 、由不等式 考虑,避免丢解. 解答: (1)解:由原对数方程得 于是 解这个方程,得 x1=0,x2=7. , 可知解:

解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验

.解无理不等式时要全面

检验:x=7 是增根,因此,原方程的根是 x=0.

(2)解:

解得 点评: 解对数方程要注意不要产生增根;解无理不等式时要注意不要丢解.

14. (15 分)设三棱锥 V﹣ABC 的三个侧面与底面所成的二面角都是 β,它的高是 h,求这个所棱锥 底面的内切圆半径.

考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

棱锥的结构特征. 常规题型;计算题. 先作辅助线,三棱锥的高,斜高,以及斜高在底面上的射影,从而作出侧面与底面所成角的平 面角, 然后, 由余弦函数求得斜高在底面的射影, 即底面三角形的内切圆的半径. 要注意论证. 解:自三棱锥的顶点 V 向底面作垂线,垂足为 O, 再过 O 分别作 AB,BC,CA 的垂线, 垂足分别是 E,F,G 连接 VE,VF,VG 根据三垂线定理知:VE⊥ AB,VF⊥ BC,VG⊥ AC 因此∠ VEO,∠ VFO,∠ VGO 分别为侧面与底面所成二面角的平面角, 由已知条件得 ∠ VEO=∠ VFO=∠ VGO=β, 在△ VOE 和△ VOF 中,由于 VO⊥ 平面 ABC, 所以 VO⊥ OE,VO⊥ OF 又因 VO=VO, ∠ VEO=∠ VFO,于是△ VEO≌ △ VFO 由此得到 OE=OF 同理可证 OE=OG,因此 OE=OF=OG 又因 OE⊥ AB,OF⊥ BC,OG⊥ AC, 所以点 O 是△ ABC 的内切圆的圆心 在直角三角形 VEO 中,VO=h,∠ VEO=β, 因此 OE=hcotβ.即这个三棱锥底面的内切圆半径为 hcotβ. 本题主要考查三棱锥的结构特征,主要涉及了几何体的高,斜高及在底面上的射影,侧面与底 面所成角等问题,考查全面,属中档题.

15. (15 分)已知一个圆 C:x2+y2+4x﹣12y+39=0 和一条直线 L:3x﹣4y+5=0,求圆 C 关于直线 L 的对称的圆的方程. 考点: 专题: 分析: 解答:

关于点、直线对称的圆的方程. 计算题;压轴题. 求出已知圆的圆心,设出对称圆的圆心利用中点在直线上,弦所在直线与圆心连线垂直,得到 两个方程,求出圆心坐标,然后求出方程. 解:已知圆方程可化成(x+2)2+(y﹣6)2=1,它的圆心为 P(﹣2,6) ,

半径为 1 设所求的圆的圆心为 P'(a,b) , 则 PP'的中点 故有 又 PP'⊥ L,故有 应在直线 L 上, ,即 3a﹣4b﹣20=0(1) ,即 4a+3b﹣10=0(2)

点评:

解(1) , (2)所组成的方程,得 a=4,b=﹣2 由此,所求圆的方程为(x﹣4)2+(y+2)2=1,即: x2+y2﹣8x+4y+19=0. 本题是基础题,考查圆关于直线对称的圆的方程,本题的关键是垂直、平分关系的应用,这是 解决这一类问题的常用方法,需要牢记.

16. (12 分) 设首项为 1, 公比为 q (q>0) 的等比数列的前 n 项之和为 Sn, 又设 Tn= .

, n=1, 2, …. 求

考点: 专题: 分析:

极限及其运算;等比数列的前 n 项和. 计算题;压轴题. 当公比 q 满足 0<q<1 时, .当公比 q=1 时,Sn=n,

. 上讨论,可以求得 解答:

.当公比 q>1 时, 的值.



.综合以

解:当公比 q 满足 0<q<1 时, ,于是 = = .

当公比 q=1 时,Sn=1+1+…+1=n,于是 因此

=



当公比 q>1 时,

于是



因此



综合以上讨论得到 点评: 本题考查等比数列的极限,解题时要分情况进行讨论,考虑问题要全面,避免丢解.


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