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江苏省如皋中学2015届高三上学期12月阶段练习数学(理)试题 Word版含答案


江苏省如皋中学 2014-2015 学年度第一学期阶段练习 高三数学 时间:120 分钟
置上 . .. 1.已知集合 A={1,2},B={-1,0,1},则 A∪B= ▲ .

总分 160 分

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ......

>2.如果复数

2 ? bi (b ? R ) 的实部与虚部互为相反数,则 b = 3?i



.

3.已知直线 x ? ay ? 2a ? 2 与 ax ? y ? a ? 1 平行,则实数 a 的值为





4.函数 y ? x ? 2sin x 在(0,2 ? )内的单调增区间为





4 3 5.已知正三棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 ,则它的体积为 3





6.圆心在抛物线 x ? 2 y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ .
2

7.已知一个等比数列前三项的积为 3,最后三项的积为 9,且所有项的积为 243,则该数列的 项数为 ▲ .

8. 设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 , 点 P 是双曲线上一点, 且 PF 1 ? 4 PF2 , a2 b2
▲ .

则此双曲线离心率的取值范围是

9.已知 p:1< 2 <8;q:不等式 x ? m x ? 4 ? 0 恒成立,若
x

2

p 是 q 的必要条件,求实

数 m 的取值范围 ▲

.

10.已知偶函数 f ( x) 满足: f ( x) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? sin x ,其图象与直 线y? 于

??? ? ? ???? ? 1 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P 1, P 2, P 3, P 4 , ??? ,则 PP 1 3 ?P 2P 4 等 2




→ 1 → → 11. △ABC 中, AB 边上的中线 CD 等于 2, 动点 P 满足 AP = t· AB +(1-t)· AC(0≤t≤1) , 2 → → → 则( PA + PB )· PC 的取值范围为 ▲ .

12. 从直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上一点 P 向圆 C:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 引切线 PA、 PB,A、B 为切点,则四边形 PACB 的周长最小值为 ▲ .

13.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) ,若函数 f ( x) 在区间[-1,0]上是单调 减函数,则 a ? b 的最小值为
2 2





14 . 已 知 实 数 x , y 满 足 : x3 ? 2 xy ?1 ? 0 (?1 ? x ? 2, x ? 0) , 这 个 方 程 确 定 的 函 数 为

y ? f ( x) ,若函数 z ? 3x ? 2 f ( x) ? k 有且只有一个零点,则实数 k 的取值范围是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. → → 15.已知△ABC 的面积为 S,且AB·AC=S. (1) 求 tan2A 的值; π → → (2) 若 B= ,|CB-CA|=3,求△ABC 的面积 S. 4 16.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 AB ? AC ? 2 AA 1 , ?BAA 1 ? ?CAA 1 ? 60 , 点 D , E 分别为 AB , A1C 的中点.求证: (1) DE ∥平面 BB1C1C ; (2) BB1 ⊥平面 A1 BC .
?

17.如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD.在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照 射角∠PAQ 始终为 45°(其中点 P,Q 分别在边 BC,CD 上),设∠PAB=θ ,tanθ =t. (1) 用 t 表示出 PQ 的长度,并探求△CPQ 的周长是否为定值; (2) 问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至少为多少(平方百米)?

18.已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2,0)到右焦点的距离与它到右准 1 3 线的距离之比为 .不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 O 于 P、Q 两点. 2 2 (1) 求椭圆的标准方程; (2) 证明 P、Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3) 过点 A、P、Q 的动圆记为圆 C,动圆 C 过不同于 A 的定点,请求出该定点坐标.

19.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? a 2 ? 1, bn ? nSn ? (n ? 2)an ,数列 ?bn ? 是公 差为 d 的等差数列,n∈N . (1) 求 d 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 请判断 (a1 ? a2 ? an ) ? ( S1 ? S 2 ? S n )和
*

2 2 n?1 的大小关系,并证明你的结论. (n ? 1)(n ? 2)

20.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ?

1 2 x ? bx ( b 为常数). 2

(1) 函数 f ( x) 的图象在点(1, f (1) )处的切线与函数 g ( x) 的图象相切,求实数 b 的值; (2) 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 h( x) 在定义域上存在单调减区间,求实数 b 的取值 范围; (3) 若 b ? 1 ,对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数 x1 , x 2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 b 的取值范围.

附加题(时间 30 分钟,总分 40 分)
1.设 TA 是逆时针旋转

? 的旋转变换,TB 是以直线 l : y ? x 为轴的反射变换,求先进行 TA 变 6

换,后进行 TB 变换的复合变换矩阵.

2.在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P ,圆心为直线 ? sin( ( 2, )

?

?
3

4

?? ) ?

3 与极轴的交点,求 2



C 的极坐标方程.

3.一个袋中装有大小和质地都相同的 10 个球,其中黑球 4 个,白球 5 个,红球 1 个. (1) 从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的概率分布和数学期望 E(X); (2) 每次从袋中随机地摸出一球,记下颜色后放回.求 3 次摸球后,摸到黑球的次数大于 摸到白球的次数的概率.

4.已知定点 F (0, ) 和直线 l : y ? ? 的轨迹记为曲线 E . (1)求曲线 E 的标准方程;

1 8

1 ,过定点 F 与直线 l 相切的动圆的圆心为点 C .动点 C 8

(2)点 P 是曲线 E 上的一个动点, 曲线 E 在点 P 处的切线为 l1 ,过点 P 且与直线 l1 垂直的 直线 l 2 与曲线 E 的另一个交点为 Q ,求线段 PQ 的取值范围.

高三阶段考试(数学试题)一卷
1. {-1,0,1,2}; 2. 1; 3. 1; 4. ( ,

? 5?
3 3

);

5.

1 2 2 3 2 ; 6. (x±1) +(y- ) =1 3 2 12. 4 2+2

7. 10;

8. ?1 ,? ;

? 5? ? 3?

9. m≤4;

10. 4;

11. [-2,0];

9 13. ; 5

14. ? —

? ?

15 ? , ? ?? 4 ?

15. 解:(1) 设△ABC 的角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c. 1 1 → → ∵ AB·AC=S,∴ bccosA= bcsinA,∴ cosA= sinA,∴ tanA=2. 2 2 2tanA 4 ∴ tan2A= =- .(5 分) 2 3 1-tan A → → → (2) |CB-CA|=3,即|AB|=c=3, 2 5 5 ∴ sinA= ,cosA= .(9 分) 5 5 2 5 2 5 2 3 10 ∴ sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= · + · = .(11 分) 5 2 5 2 10 c b c 1 1 2 5 由正弦定理知: = ? b= ·sinB= 5,S= bcsinA= 5×3× =3.(14 分) sinC sinB sinC 2 2 5 16. 证明:(1) 取 AC 中点 M,连 DM,EM, ∵D 为 AB 的中点,∴ DM∥BC,∵ DM?平面 BB1C1C,BC?平面 BB1C1C, ∴ DM∥平面 BB1C1C. 同理可证 EM∥平面 BB1C1C.又 DM∩EM=M,∴ 平面 DEM∥平面 BB1C1C. ∵ DE?平面 DEM,∴ DE∥平面 BB1C1C.(7 分) (2) 在△AA1B 中,因为 AB=2AA1,∠BAA1=60° , 设 AA1=1,则 AB=2,由余弦定理得 A1B= 3. 2 2 故 AA2 所以 BB1 ⊥A1B (10 分) 1+A1B =AB ,∴ AA1⊥A1B, 同理可得 BB1⊥A1C. 又 A1B∩A1C=A1,∴BB1⊥平面 A1BC. (14 分) 17. 解:(1) BP=t,CP=1-t,0≤t≤1. 1-t 1-t 2t ∠DAQ=45° -θ,DQ=tan(45° -θ)= ,CQ=1- = .(3 分) 1+t 1+t 1+t ∴ PQ= CP2+CQ2= 2t 1+t2 ?1-t?2+?1+t?2= ? ? 1+t .(6 分)
2 2t 1+t + =1-t+1+t=2.(9 分) 1+t 1+t

π ∵ tanA=2,0<A< ,(7 分) 2

∴ l=CP+CQ+PQ=1-t+

1 1 2t 1 1 (2) S=S 正方形 ABCD-S△ABP-S△ADQ=1- (1-t)- = (1+t)+ -1(12 分) 2 21+t 2 1+t ∵ 1+t>0,∴ S≥2 1 1 ?1+t? -1= 2-1.当 t= 2-1 时取等号. 2 1+t

探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至少为( 2-1)平方百米.(14 分) x2 y2 3 18. (1) 解:设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0).由题意得 a=2,e= .(2 分) a b 2

x2 ∴ c= 3,b=1,(2 分)∴ 椭圆的标准方程为 +y2=1.(4 分) 4 (2) 证明:设点 P(x1,y1),Q(x2,y2), 1 将 y= x+m 带入椭圆,化简得 x2+2mx+2(m2-1)=0,① 2 ∴ x1+x2=-2m,x1x2=2(m2-1),(6 分) 2 2 ∴ x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2=4,∴ P、Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.(7 分) D E? (3) 解:解法 1:设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为? ?- 2 ,- 2 ?PQ 中 m? 3 点 M? ?-m, 2 ?,PQ 的垂直平分线的方程为 y=-2x-2m,(8 分) D E? 3 E 3 圆心? ?- 2 ,- 2?满足 y=-2x-2m,所以- 2 =D-2m,②(9 分) 圆过定点(2,0),所以 4+2D+F=0,③(10 分)
2 2 ? ?x1+y1+Dx1+Ey1+F=0, 圆过 P(x1,y1),Q(x2,y2),则? 两式相加得 2 ?x2 2+y2+Dx2+Ey2+F=0, ?

2 2 2 x2 1+x2+y1+y2+Dx1+Dx2+Ey1+Ey2+2F=0, x2 x2 1? 2? 2 2 ? ? 1 - 1 - x1+x2+? 4 ?+? 4 ?+D(x1+x2)+E(y1+y2)+2F=0,(11 分) ∵ y1+y2=m,∴ 5-2mD+mE+2F=0. ④(12 分) 1 ∵ 动直线 y= x+m 与椭圆 C 交于 P、Q(均不与 A 点重合),∴ m≠-1. 2

3(m-1) 3 3 3 5 由②③④解得 D= ,E= m+ ,F=- m- ,(13 分) 4 2 2 2 2 3(m-1) 3 3? 3 5 x+? ?2m+2?y-2m-2=0, 4 3 3 5 3 3 3 x2+y2- x+ y- ?+m? x+ y- ?=0,(14 分) 整理得? 4 2 2 ? ? ? 4 2 2? 3 3 5 x2+y2- x+ y- =0, ? 4 2 2 ?x=0, ? ?x=2, ∴ (15 分)解得? 或? (舍)∴ 圆过定点(0,1).(16 分) 3 3 3 y = 1 y = 0. ? ? ? ? x+ y- =0, 4 2 2 1 解法 2:设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将 y= x+m 代入的圆的方程: 2 E 5 2 ? 2 x +?m+D+ 2 ? ?x+m +mE+F=0. ⑤(8 分) 4 代入圆的方程为 x2+y2+

? ? ?

2(m2-1) 1 2m 方程①与方程⑤为同解方程. = = ,(11 分) 5 E m2+mE+F m+D+ 4 2 圆过定点(2,0),∴ 4+2D+F=0.(12 分) 1 ∵ 动直线 y= x+m 与椭圆 C 交于 P、Q(均不与 A 点重合),∴ m≠-1. 2 3(m-1) 3 3 3 5 解得 D= ,E= m+ ,F=- m- .(13 分) 4 2 2 2 2 (以下相同) 19. (1) 解:∵ a1=a2=1,∴ b1=S1+3a1=4,b2=2S2+4a2=8,∴ d=b2-b1=4.(3 分) (2) 解:∵ 数列{bn}是等差数列,∴ bn=4n,∴ nSn+(n+2)an=4n, 即 Sn+ n+2 a =4. n n ① n+1 当 n≥2 时,Sn-1+ a - =4. ② n-1 n 1

①-②, 得(Sn-Sn-1)+

n+2 n+1 n+2 n+1 an 1 n a- a =0.∴ an+ a= a , 即 = · .(7 分) n n n-1 n-1 n n n-1 n-1 an-1 2 n-1

a2 1 2 a3 1 3 an 1 n an 1 n 则 = · , = · ,…, = · . 将各式相乘得 = n-1· n.∵ a1=1,∴ an= n-1.(9 分) a1 2 1 a2 2 2 2 a an-1 n-1 2 1 2 (3)判断:小于.(10 分) n+2 a =4,an>0,Sn>0,∴ n n n+2 Sn· a≤ n n Sn+ n+2 a n n =2. 2

证明:∵ Sn+

1×2 n 则 0<anSn≤4· .(13 分)∴ (a1a2…an)· (S1S2…Sn)≤4n· . ③(15 分) n+2 ?n+1??n+2? n+2 ∵ n=1 时,Sn≠ a , ∴ ③式等号不成立. n n 则(a1a2…an)· (S1S2…Sn)< 22n 1 .(16 分) ?n+1??n+2?


1 20. (1) 因为 f(x)=lnx,所以 f′(x)= ,因此 f′(1)=1, x 所以函数 f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 y=x-1,(2 分) y=x-1, ? ? 由? 1 2 得 x2-2(b+1)x+2=0.由 Δ=4(b+1)2-8=0,得 b=-1± 2.(4 分) ?y=2x -bx, ? 1 (2) 因为 h(x)=f(x)+g(x)=lnx+ x2-bx(x>0), 2 x2-bx+1 1 所以 h′(x)= +x-b= ,由题意知 h′(x)<0 在(0,+∞)上有解, x x 因为 x>0,设 u(x)=x2-bx+1,因为 u(0)=1>0, b ? ?2>0, 则只要? 解得 b>2, ??-b?2-4>0, ? 所以 b 的取值范围是(2,+∞).(8 分) (3) 不妨设 x1>x2,因为函数 f(x)=lnx 在区间[1,2]上是增函数,所以 f(x1)>f(x2),函数 g(x)图 象的对称轴为 x=b,且 b>1. (ⅰ) 当 b≥2 时,函数 g(x)在区间[1,2]上是减函数,所以 g(x1)<g(x2), 所以|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等价于 f(x1)-f(x2)>g(x2)-g(x1), 即 f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2), 1 等价于 h(x)=f(x)+g(x)=lnx+ x2-bx 在区间[1,2]上是增函数, 2 1 等价于 h′(x)= +x-b≥0 在区间[1,2]上恒成立, x 1 等价于 b≤x+ 在区间[1,2]上恒成立,所以 b≤2. 又 b≥2,所以 b=2;(10 分) x (ⅱ) 当 1<b<2 时,函数 g(x)在区间[1,b]上是减函数,在[b,2]上为增函数. ① 当 1≤x2<x1≤b 时,|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等价于 f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2),

1 等价于 h(x)=f(x)+g(x)=lnx+ x2-bx 在区间[1,b]上是增函数, 2 1 等价于 h′(x)= +x-b≥0 在区间[1,b]上恒成立, x 1 等价于 b≤x+ 在区间[1,b]上恒成立,所以 b≤2.又 1<b<2,所以 1<b<2;(12 分) x ② 当 b≤x2<x1≤2 时, |f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|等价于 f(x1)-g(x1)>f(x2)-g(x2), 1 等价于 H(x)=f(x)-g(x)=lnx- x2+bx 在区间[b,2]上是增函数, 2 1 等价于 H′(x)= -x+b≥0 在区间[b,2]上恒成立, x 1 3 等价于 b≥x- 在区间[b,2]上恒成立,所以 b≥ . x 2 3 故 ≤b<2.(14 分) 2

③ 当 1≤x2<b<x1≤2 时, 由 g(x)图象的对称性可知,只要|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g(x2)|对于①②同时成立,那么对于 ③,则存在 t1∈[1,b], 使|f(x1)-f(x2)|>|f(t1)-f(x2)|>|g(t1)-g(x2)|=|g(x1)-g(x2)|恒成立; 或存在 t2∈[b,2], 使|f(x1)-f(x2)|>|f(x1)-f(t2)|>|g(x1)-g(t2)|=|g(x1)-g(x2)|恒成立. 3 因此, ≤b<2. 2 3 综上,b 的取值范围是 ≤b≤2.(16 分) 2

附加题(时间 30 分钟,总分 40 分)
? ? 1.解: TA 对应的变换矩阵为: A ? ? ? ? ? 3 2 1 2 1? ? ? 2? , 3? ? 2 ?
…………………3 分

?0 1 ? TB 对应的变换矩阵为: B ? ? ?, ?1 0 ?

………………………6 分

先进行 TA 变换,后进行 TB 变换的复合变换矩阵是:

? ? M ? BA ? ? ? ? ?

1 2 3 2

3? ? 2 ? . 1? ? ? 2?

……………………………10 分

2.解:因为圆心为直线 ? sin(

3 与极轴的交点, 3 2 所以令 ? ? 0 ,得 ? ? 1 ,即圆心是 (1, 0) , ………………………………2 分 ?? ) ?
又圆 C 经过点 P ,所以圆的半径 r ? 2 ? 1 ? 2 2 cos ( 2, )

?

? 1 ,……7 分 4 从而圆过原点,所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos? .…………………10 分

?

?

4

3. 解:(1) 随机变量 X 的取值为 0,1,2,3,分布列是 X 0 1 2 P 1 12 5 12 5 12

3 1 12 ---------(3 分)

1 5 5 1 3 X 的数学期望 E(X)= ×0+ ×1+ ×2+ ×3= .(5 分) 12 12 12 12 2 (2) 记 3 次摸球中,摸到黑球次数大于摸到白球次数为事件 A,
3 2 1 4 ?2 1 ? 1 ?2 91 3? 4 ? 2?? 4 ? 5 1? 4 ? ? ? 则 P(A)=C3 + C · + · + C · 3 10 ?10? ?? ? 10 ?10? 10? 3?10? ?10? =250.

91 所以 3 次摸球后,摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率为 .(10 分) 250
2 4.解:(1)由抛物线定义知曲线 E 的标准方程: x ?

1 y 2 1 4a

-------------4 分

(2)设 P(a,2a ) , a ? R , y ? 4 x ,所以 PQ 的斜率为 ?
2
/

直线 l 2 : y ? a ? ?

1 ( x ? a ) 与 y ? 2x 2 联立得: 8ax2 ? x ? 4a 2 ? a ? 0 4a

由两根之和得: xQ ? ?

8a 2 ? 1 8a 2 ? 1 2 ) ,所以 y Q ? 2( 8a 8a ---------------------6 分

PQ ? (?

8a 2 ? 1 8a 2 ? 1 2 ? a) 2 ? (2( ) ? 2a) 2 8a 8a

(16a 2 ? 1) 16a 2 ? 1 = 2 2 ? 16a



t ? 16a 2 ? 1 ? 1
,

PQ ?


1 t3 2 t 2 ?1

t3 t 2 (t 2 ? 3) / f (t ) ? 2 f (t ) ? 2 ?0 t ? 3 t ?1 , (t ? 1) 2 令 得
PQ ?
列表判断知:

3 3 4

-----------------------------10


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