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四川省成都经开区实验高级中学2015-2016学年高一上学期期末适应性考试数学试题


成都经开区实验高级中学高 2015 级高一上期末适应性考试

数学试题
命题:钟九龙 审题:范忠九

考生注意:所有题目的答案均答在答题卷上,答在其他位置一律不给分。 一、选择题(共 60 分,每小题 5 分) 1. 设全集 U ? {0,1,2,3} , 集合 M ? {0,1,2} ,N ? {0,2,3} , 则 M ? (CU N ) 等于 ( A. {2,3} B. {1} C. {0,1,2} ) C.第三象限角 )
2? 3 D 4? 3



D. ?

2.若 sin ? ? 0 ,且 tan ? ? 0 ,则 ? 是( A.第一象限角 B.第二象限角

D.第四象限角

3.扇形的中心角为 120? ,半径为 2 ,则它的面积是(

A.

240

B.

120

C.

4.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,??) 上单调递增的函数是( A. y ? ln



1 x

B. y ? sin 2 x

C. y ? cos x

D. y ? 2 x

3? ? 3 5.已知 sin( ? ? ) ? ,则 sin( ? ? ) 的值为( 4 4 2
A.



1 2

B. —

1 2

C.

3 2

D. —

3 2

6.函数 f ( x) ? e x ? 4x ? 3 的零点所在的大致区间是(
A. (﹣ ,0) B. (0, ) C. ( , ) D. ( , )

)

7.函数 f ( x) ? log2 (1 ? x) 的图象为(
y y


y y

O A.

1

x

?1 O B.

x

O C.

1

x

?1 O D.

x

? 8.对于函数 y ? sin(2 x ? ) ,以下四个结论中错误的是 4 A.最小正周期为 ? ;
? 个单位长度而得到; 8





B.图像可由 y ? sin x 先把图像上各点的横坐标变为原来的

1 倍(纵坐标不变) , 2

再把所得图像向左平移
C.图像关于直线 x ?

0) 对称。 D.图像关于点 ( ,

?

5? 对称 ; 8

8 cos x 1 sin x ? 1 ? ,则 ? ( 9.若 1 ? sin x 2 cos x

) C.
1 2

A. 2 10.设 a

B. ? 2

D. ? )
D. b

1 2

? log2 2.1 , b ? 2 2.1 , c ? 2.12 ,则(
B. a ? b ? c C. c ? a ? b

A. c ? b ? a

?a?c

2015x ?5? 11. 设 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数 (如 ?2? ? 2, ? ? ? 1) , 对于函数 f ( x) ? , 1 ? 2015x ?4?

1? ? 1? ? 函数 g ( x) ? ? f ( x) ? ? ? ? f (? x) ? ? 的值域是( 2? ? 2? ?

) D. ?? 1,0,1?

A.

?? 1,0?

B.

?? 1,1?

C.

?0,1?

? x ? 1, x ? 0 12.已知 f ( x) ? ? ,若函数 y ? f [ f ( x)] ? m 存在三个零点,则实数 m 的 ?log 2 x, x ? 0
取值范围是( )

A.

?0,1?

B.

?0,1?

C.

?? ?,0?

D. ?? ?,0?

二、填空题(共 16 分,每小题 4 分)
4? 7? ? tan =________________________ 3 4 14.函数 y ? a x?1 ? 1(a ? 0且a ? 1 恒过定点_______________________ )

13.计算: sin(?? ) ? cos

1 15. 已知 sin x ? cos x ? (0 ? x ? ? ) ,则 sin x ? cos x ? ______________ 5

16.以下说法正确的有___________________ ①若 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), x ? R ,则函数 y ? f ( x) 是周期函数; ②若 f ( x ? 2) ? ? f ( x), x ? R ,则函数 y ? f ( x) 不一定是周期函数; ③若 f ( x ? 2) ? ? f ( x), x ? R ,且 f ( x) 是奇函数,则直线 x ? 5 是函数 y ? f ( x) 的一 条对称轴;
? 1 ], f (x ) ④ 若 f ( x ? 2) ? 2 f ( x), x ? R , 且 x ?[? 1 , 时

?x c o s, 函 数 2

?e x , x ? 0 ,则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?3,3] 上有 4 个零点。 g ( x) ? ? ?ln x, x ? 0 ,
三.解答题(6 个小题,共 74 分)
17. (12 分)已知角 ? 的终边经过点 P ? m, 2m?? m ? 0? . (1)求 tan ? 的值; (2)求

sin(? ? ? ) ? cos(?? )

cos( ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 1 (3)求 的值。 2 sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ?
. 18. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? (1) f ( x) 是奇函数; (2) f ( x) 在 (??, 0) 上是增函数.

?

的值;

1 ,求证: x

6] 上的最大值 M 与最小值 m 的差等于1 . 19. (12 分)设 a ? 1 ,函数 y ? log a x 在区间 [3,
(1)求 a 的值; (2)比较 3 与 6 的大小.
M
m

? 20. (12 分)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 ?1? C ,空气的温度是 ? 0 C,

t 分钟后物体的温度 ? ? C 可由公式 ? ? ? 0 ? (?1 ? ? 0 )e ?kt( k 为常数,e 为自然对数的底数)
求得。现有 62 C 的物体,放在 15 C 的空气中冷却, 1 分钟后物体的温度是 52 C 。 (1)求 k 的值(精确到 0.01 ) ; (2)该物体冷却多少分钟后温度变成 32 C ? (参考数据 ln
? ? ? ?

37 ? ?0.24, 47

ln

27 ? ?0.55, 47

ln

17 ? ?1.02; ) 47

21. (12 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) ( A ? 0,? ? 0 , | ? |?

?
2

, x ? R )的部分图像

0) ,与 y 轴的交点坐标 如下, M 是图像的一个最低点,图像与 x 轴的一个交点坐标为 ( , 2
为 (0, ? 2) . (1)求 A,?,? 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (3)关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在 ?0,2? ? 上有解,求 m 的取值范围。

?

22. (14 分)已知函数 f (? ) ? ? sin

2

? ? 4 cos? ? 4 , g (? ) ? m ? cos? .

(1)对于任意的 ? ? ?0, ? ,若 f (? ) ? g (? ) 恒成立,求 m 的取值范围; ? 2? (2)当 ? ? ?? ? , ? ? ,关于 ? 的方程 f (? ) ? g (? ) 有两个不等实根,求 m 的取值范围;

? ??

参考答案
一、选择题:BCDDC CADDB AB 二、填空题: 13、 ? 15、

3 2

14、 (1,2) 16、①③

7 5

三、解答题 17.解:⑴ tan ? ? 2 ……………………4 分 ……………………8 分

⑵原式= sin ? ? cos ? ? tan ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 3

sin ? ? cos ? tan ? ? 1 2 ? 1 sin 2 ? ? cos 2 ? ⑶原式= sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan 2 ? ? 1 ? 22 ? 1 ? 5 2 tan ? ? tan ? ? 2 2 ? 2 ? 2 4

……………………12 分

18.证明: (1) f ( x ) 的定义域为 (??, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 0) ? (0, ? ?) ,关于原点对称. ·

1 1 1 1 f ( x )? x ? ,f ? (x ? ) ?( x ?) ? ? x ? ? ? x ?( ,· ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 x (? x) x x
∴ f (? x) ? ? f ( x) , f ( x ) 是奇函数. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2)设任意的 x1,x2 ? (??, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 0) ,且 x1 ? x2 ,则 ·

1 f( x x) ? (1x? 1 )? f ( 2 x1 ? ( x1 ? x2 ) ?

1 ) ? ( x? 2 x2

1 1 ) ? 1x ( ? 2 x ) ? ( ? x2 x1

)

x1 ? x2 x x ?1 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? ( x1 ? x2 )(1 ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

∵ x1 ? 0,x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0,x1x2 ? 0 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∴ f ( x ) 在 (??, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 0) 上是增函数.·

19.解: (1)∵ a ? 1 , y ? log a x 在 (0, ? ?) 上是增函数,

∴ y ? log a x 在闭区间 [3, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 6] 上是增函数.· ∴ M ? ymax ? loga 6,m ? ymin ? loga 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 由 M ? m ? 1 可知, loga 6 ? log a 3 ? 1, ∴ log a

6 ? log a 2 ? 1 ? a ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3

(2)由 a ? 2 可知, y ? log 2 x , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ∴ M ? log2 6 ? 1 ? log2 3,m ? log2 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ∴ 3M ? 3
log2 6

? 31?log2 3 ? 3 ? 3log2 3 ,
12 分

6m ? 6log2 3 ? (2 ? 3)log2 3 ? 2log2 3 ? 3log2 3 ? 3? 3log2 3 ,∴ 3M ? 6m .

20.解: (1)由题意知 ?1 ? 62,? 0 ? 15,当 t ? 1 时, ? ? 52 , 代入公式得: 52 ? 15 ? (62 ? 15)e ? k

37 47 37 ? k ? ? ln ? 0.24 47
可得 e
?k

?

6分
?0.24 t

(2)由(1)知 ? ? 15 ? 47e



? 当 ? ? 32 时, e ?0.24 t ?
? ?0.24t ? ln ?t ?

17 47

17 ? ?1.02 47
11 分
?

102 ? 4.25 24

答:该物体开始冷却 4.25 分钟后温度是 32 C

12 分

21.解: (1)由图可知,函数的周期 T ? 4 ? [

?

? (? )] ? 4? , 2 2

?

1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? 2 ? 1 ? 0) ,得 A sin( ? ? ? ) ? 0 , 由图像与 x 轴的一个交点坐标为 ( , 2 2 2


2?

? 4? ,得 ? ?

∴ sin(

?

4

??) ? 0 ? 2
得, ?

?

由 | ? |?

?

?

4

? ? ? k? ? ? ? k ? ?

?

∴ y ? A sin( x ?

1 2

?
4

2

?? ? ).

?
2

,∴ ? ? ?

?
4

4

( k ? Z ).

.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

当 x ? 0 时, y ? A sin(?

)?? 2 ? A?2.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4 1 ? 综上可知, A ? 2,? ? ,? ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 4 1 ? 1 ? ? 3? 2k? ? ] ( k ? Z ) (2)由 y ? 2 sin( x ? ) ,令 x ? ? [2k? ? , ,6 分 2 4 2 4 2 2 3? 7? , 4 k? ? ],· 解得 x ? [4k? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 2 2 3? 7? , 4 k? ? ] ( k ? Z ). · ∴函数的单调递减区间是 [4k? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 2
(3)当 x ? ?0,2? ? 时,

?

? 1 ? 2 ? 1 ? ? ? 3? ? ,1? x ? ? ?? , ? , sin( x ? ) ? ?? 2 4 2 4 ? 4 4? ? 2 ?

1 ? 2 sin( x ? ) ? ? 2 ,2 ,即函数 f ( x) 在 x ? ?0,2? ? 的值域为 ? 2 ,2 2 4
要使关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在 ?0,2? ? 上有解,则 m ? ? 2 ,2 22.解: (1)由题意知, f (? ) ? ?(1 ? cos
2

?

?

?

?
12 分

?

?

2

? ) ? 4cos? ? 4 ? cos2 ? ? 4cos? ? 3 ……1 分

即 cos ? ? 4cos ? ? 3 ? m cos ? 恒成立。

? ?? ?? ? ?0, ? ,? 0 ? cos ? ? 1 ? 2?

①当 cos ? ? 0 时,对任意 m 恒成立; ②当 0 ? cos ? ? 1 时, m ? cos ? ?
令 cos ? ? t , h(t ) ? t ?

……3 分

3 ? 4, cos ?

3 ? 4, t ? ? 0,1? 单调递减, t

当 t ? 1 时, h(t )min ? h(1) ? 0

? m ? h(t )min ? h(1) ? 0 ,? m 的取值范围是 ? ??,0?

6分

(2)由题意知 cos2 ? ? 4cos? ? 3 ? m cos?
令 cos ? ? t , t ? ? ?1,1?

则问题转化为: t 2 ? (4 ? m)t ? 3 ? 0 在 t ???1,1? 上有唯一实根 ① 由 ? ? 0 得 m ? ?4 ? 2 3

……8 分

检验:当 m ? ?4 ? 2 3 时, t ? 3 ;当 m ? ?4 ? 2 3 时, t ? ? 3 。 均不合题意,舍去。 ②由 f (?1)?f (1) ? 0 ,解得 m ? 0或m ? ?8; ③ f (?1) ? 0 解得 m ? ?8 。 此时有 t 2 ? 4t ? 3 ? (t ? 1)(t ? 3) ? 0 ,符合题意
综上所述, m 的取值范围是 ? ??, ?8? ? ? 0, ???

14 分


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