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2011版高考数学-最新6年高考4年模拟-04第二章 第二节 基本初等函数I


第二节 第一部分

基本初等函数 I 六年高考荟萃

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 全国卷 2 理) (2).函数 y ? (A)

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 的反函数是 2

y ? e2 x ?1 ? 1( x ? 0)
2 x ?1

(B) y ? e2 x ?1 ? 1( x ? 0) (D) y ? e
2 x ?1

(C) y ? e 答案 D

? 1( x ? R)

? 1( x ? R)

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 ,即 ∴在反函数中 ,故选 D. ,又 ;

2.(2010 陕西文)7.下列四类函数中,个有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x +y)=f(x)f(y) ”的是 (A)幂函数 答案 C 【解析】本题考查幂的运算性质 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数

f ( x) f ( y ) ? a x a y ? a x ? y ? f ( x ? y )
3.(2010 辽宁文) (10)设 2 ? 5 ? m ,且
a b

1 1 ? ? 2 ,则 m ? a b
(D)100

(A) 10 答案 A 【解析】选 A.

(B)10

(C)20

1 1 ? ? log m 2 ? log m 5 ? log m 10 ? 2,? m2 ? 10, 又? m ? 0,? m ? 10. a b

4.(2010 全国卷 2 文) (4)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 (A)y= e (C)
x ?1

-1(x>0) -1(x ? R)

(B) y= e (D)y= e

x ?1

+1(x>0) +1 (x ? R)

y= e

x ?1

x ?1

答案 D
1

【解析】D:本题考查了函数的反函数及指数对数的互化,∵函数 Y=1+LN(X-1)(X>1),∴

ln( x ? 1) ? y ? 1, x ? 1 ? e y ?1 , y ? e x ?1 ? 1

5 5.(2010 安徽文) (7)设 a ? ),b ? ( 5 ( ) c ? ) ,则 a,b,c 的大小关系是 , ( 5

3 5

2

2 5

3

2 5

2

(A)a>c>b 答案 A

(B)a>b>c

(C)c>a>b

(D)b>c>a

【解析】y ? x 5 在 x ? 0 时是增函数, 所以 a ? c ,y ? ( ) x 在 x ? 0 时是减函数, 所以 c ? b 。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.

2

2 5

6.(2010 安徽文) (6)设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像可能是
2

答案 D 【解析】当 a ? 0 时, b 、 c 同号, (C) (D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0, ? 符合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a ? 0 或 a ? 0 两种情况分类考虑.另外 还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 7.(2010 浙江文)2.已知函数 f ( x) ? log1 ( x ? 1), 若 f (? ) ? 1, (A)0 答案 B 【解析】 ? +1=2,故 ? =1,选 B,本题主要考察了对数函数概念及其运算性质,属容易题 (B)1 (C)2

b ? 0 ,选项(D) 2a

?=
(D)3

2

8.(2010 山东文)(3)函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为
x

?

?

A.

? 0, ?? ?

B.

? 0, ?? ? ?

C.

?1, ?? ?

D. ?1, ?? ? ?

答案 A 9.(2010 北京文)(6)给定函数① y ? x ,② y ? log 1( x ? ,③ y ?| x ?1| ,④ y ? 2 1)
2

1 2

x ?1



期中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是 (A)①② 答案 B (B)②③ (C)③④ (D)①④

10. 2010 北京文) ( ⑷若 a,b 是非零向量, a ? b ,a ? b , 且 则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ? ( xb ? a) 是 (A)一次函数且是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 答案 A 11.(2010 四川理) (3)2log510+log50.25= (A)0 (B)1 (C) 2 (D)4 (B)一次函数但不是奇函数 (D)二次函数但不是偶函数

解析:2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2 答案 C

( , 12.(2010 天津文)(6)设 a ? log5 4,b ? log5 3) c ? log 4 ,则
2 5

(A)a<c<b 答案 D

(B) )b<c<a

(C) )a<b<c

(D) )b<a<c

【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法,属于容易题。 因为 0 ? log5 4 ? 1, 所以b<a<c 【温馨提示】比较对数值的大小时,通常利用 0,1 进行,本题也可以利用对数函数的图像
3

进行比较。 13.(2010 全国卷 1 文)(7)已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的 取值范围是 (A) (1, ??) 答案 C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小 题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+b= a ? 题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? 又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f (a) ? a ? (B) [1, ??) (C) (2, ??) (D) [2, ??)

1 ? 2 ,从而错选 D,这也是命 a 1 1 ,所以 a+b= a ? a a

1 2 由“对勾”函数的性质知函数 f (a ) 在 a? (0,1) a

上为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞).

?0 ? a ? 1 ?0 ? x ? 1 ? ? 【解析 2】由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得: ?1 ? b ,利用线性规划得: ?1 ? y ,化为求 ? ab ? 1 ? xy ? 1 ? ?

z ? x ? y 的取值范围问题,z ? x ? y ? y ? ? x ? z ,y ?
时 z 最小为 2,∴(C) (2, ??) 14.(2010 四川文)(2)函数 y=log2x 的图象大致是

1 1 ? y? ? ? 2 ? ?1 ? 过点 ?1,1? x x

(A) 答案 C

( B)

(C)

(D)

解析:本题考查对数函数的图象和基本性质. 15.(2010 安徽理)6、设 abc ? 0 ,二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的图象可能是
2

4

答案 D 【解析】当 a ? 0 时, b 、 c 同号, (C) (D)两图中 c ? 0 ,故 b ? 0, ? 符合. 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下,分 a ? 0 或 a ? 0 两种情况分类考虑.另外 还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 二、填空题

b ? 0 ,选项(D) 2a

g ( 1. ( 2010 上 海 文 ) 9. 函 数 f ( x) ? l o 3 x?
是 答案 (0,?2) 解析:考查反函数相关概念、性质 。

3) 反 函 数 的 图 像 与 y 轴 的 交 点 坐 标 的

法一:函数 f ( x) ? log3 ( x ? 3) 的反函数为 y ? 3 ? 3 ,另 x=0,有 y=-2
x

法 二 : 函 数 f ( x) ? log3 ( x ? 3) 图 像 与 x 轴 交 点 为 ( -2,0 ) 利 用 对 称 性 可 知 , 函 数 ,

f ( x) ? log3 ( x ? 3) 的反函数的图像与 y 轴的交点为(0,-2)
三、解答题 1.(2010 四川理) (22) (本小题满分 14 分) 设 f(x)?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1 ) g(x)是 f(x)的反函数. , 1? ax t ? g( x ) 在区间[2,6]上有实数解,求 t 的取 ( x ? 1 )( 7 ? x )
2

(Ⅰ)设关于 x 的方程求 log a 值范围;

(Ⅱ)当 a=e(e 为自然对数的底数)时,证明:

? g( k ) ?
k ?2

n

2 ? n ? n2 ; 2n( n ? 1 )

5

n 1 (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较? f ( k ) ? n 与 4 的大小,并说明理由. ? 2 k ?1

?

本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识,考察化归、分类整合 等数学思想方法,以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解:(1)由题意,得 a =
x

y ?1 >0 y ?1

故 g(x)= log a 由 log a

x ?1 ,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) x ?1

t x ?1 得 ? log a ( x ? 1)(7 ? x) x ?1
2

t=(x-1)2(7-x),x∈[2,6]
则 t'=-3x +18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下:
2

x t' t

2

(2,5) +

5 0 极大值 32

(5,6) ↘

6

5 所以 t 最小值=5,t 最大值=32



25

所以 t 的取值范围为[5,32]????????????????????5 分 (2)

? g (k ) ? ln 3 ? ln 4 ? ln 5 ? ?? ? ln n ? 1
k ?2

n

1

2

3

n ?1

1 2 3 3 4 5 n(n ? 1) =-ln 2
2

=ln( ? ? ????

n ?1 ) n ?1

1? z2 1 令 u(z)=-lnz - =-2lnz+z- ,z>0 z z
则 u'(z)=-

2 1 1 ? 1 ? 2 =(1- )2≥0 z z z

所以 u(z)在(0,+∞)上是增函数 又因为

n(n ? 1) n(n ? 1) >1>0,所以 u( )>u(1)=0 2 2

6

即 ln

2 ? n(n ? 1)

1?

n(n ? 1) 2 >0 n(n ? 1) 2



? g (k ) ?
k ?2

n

2 ? n ? n2 ????????????????????????9 分 2n(n ? 1)

(3)设 a=

1 1? a 2 ,则 p≥1,1<f(1)= ? 1 ? ≤3 1? a p 1? p 2 ≤2<4 p

当 n=1 时,|f(1)-1|= 当 n≥2 时

(1 ? p) k ? 1 2 ? 1? 设 k≥2,k∈N 时,则 f(k)= k (1 ? p) ? 1 (1 ? p) k ? 1
*

=1+

2 C p ? C p ? ? ? Ckk p k
1 k 2 k 2

所以 1<f(k)≤1+

2 4 4 4 ? 1? ? 1? ? 2 C ? Ck k (k ? 1) k k ?1
1 k

从而 n-1<

? f (k ) ≤n-1+ 2 ? n ? 1 =n+1- n ? 1 <n+1
k ?2

n

4

4

4

所以 n<

? f (k ) <f(1)+n+1≤n+4
k ?1

n

综上所述,总有|

? f (k ) -n|<4
k ?1

n

2.(2010 四川文) (22) (本小题满分 14 分) 设 f(x)?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1 ) g(x)是 f(x)的反函数. , 1? ax

(Ⅰ)求 g ( x) ; (Ⅱ)当 x ? [2, 6] 时,恒有 g ( x) ? log a

t 成立,求 t 的取值范围; ( x ? 1)(7 ? x)
2

7

1 (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较 f(1)+f(2)+?+f(n)与 n ? 4 的大小,并说明理由. 2

3.(2010 湖北理)17. (本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢
8

建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年 的能源 消耗费 用 C(单位:万 元)与隔热层厚度 x( 单位: cm)满足关系: C(x ) =

k (0 ? x ? 10), 若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造 3x ? 5

费用与 20 年的能源消耗费用之和。 (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式。 (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值。

2009 年高考题
) 1.(2009 年 广 东 卷 文 ) 若 函 数 y ? f ( x) 是 函 数 y ? a(a ? 0,且a ? 1 的 反 函 数 , 且
x

f (2) ? 1,则 f ( x) ?
A. log 2 x 答案 A
x

(
x?2

)

B.

1 2x

C. log 1 x
2

D.2

) 解析 函数 y ? a(a ? 0,且a ? 1 的反函数是 f ( x) ? log a x ,又 f (2) ? 1 ,即 log a 2 ? 1 ,
所以, a ? 2 ,故 f ( x) ? log 2 x ,选 A.

9

2.(2009 北京文)为了得到函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有 10

.w

点 ( ) A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 答案 C 解析 本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.

3.(2009 天津卷文)设 a ? log 1 2, b ? log 1 3, c ? ( )
3 2

1 2

0.3

,则

(

)

A a<b<c B a<c<b 答案 B

C b<c<a

D b<a<c

解析 由已知结合对数函数图像和指数函数图像得到 a ? 0,0 ? c ? 1 ,而 b ? l g o

2

3 ? 1,

因此选 B。 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用,考查了基本的运算能 4.(2009 四川卷文)函数 y ? 2 A.
x ?1

( x ? R) 的反函数是
B. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? 1) D. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? ?1)

y ? 1 ? log 2 x( x ? 0)

C. y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0) 答案 解析 C 由y?2
x ?1

? x ? 1 ? log 2 y ? x ? ?1 ? log 2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0) 5.(2009 全国卷Ⅱ理)设 a ? log3 ? , b ? log 2 3, c ? log 3 A. a ? b ? c 答案 A 解析 ? l o g 3 B. a ? c ? b

2 ,则
D. b ? c ? a

C. b ? a ? c

2 ?

log ?2 2
3

log b?c ? 3 2 ? .? b c

log 2

3 ?

l o g ?2 2

l o ? 3 ? l oag ? ? g ? b a 3 2 的值为
C. ?

6.(2009 湖南卷文) log 2 A. ? 2 答案 D 解析 由 log 2

B. 2

1 2

D.

1 2

1 1 1 2 ? log 2 2 2 ? log 2 2 ? ,易知 D 正确. 2 2

10

7.(2009 湖南卷文)设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x ), f (x ) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .
取函数 f ( x) ? 2 A . (??,0) 答案 C 解析 函数 f ( x) ? 2
?x
?x

。当 K =

1 时,函数 f K ( x) 的单调递增区间为 2
C . (??, ?1)

(

)

B. (0, ??)

D . (1, ??)

1 x 1 ? ( ) ,作图易知 f ( x) ? K ? ? x ? (??, ?1] ? [1, ??) , 2 2

故在 (??, ?1) 上是单调递增的,选 C. 8.(2009 福建卷理)下列函数 f ( x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0, ?? ) ,当 x1 < x2 时, 都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是 A. f ( x) = C . f ( x) = e 答案 A 解析 依题意可得函数应在 x ? (0, ??) 上单调递减,故由选项可得 A 正确。 9. (2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) 满足:x≥4,则 f ( x) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x) =

1 x
x

B. f ( x) = ( x ? 1)

2

D. f ( x) ? ln( x ? 1)

1 2

x

f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log 2 3) =
A.

1 24

B.

1 12

C.

1 8

D.

3 8

答案 A 解析 ∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23)且 3+log23>4 ∴ f (2 ? log 2 3) =f(3+log23)

1 3? log2 3 1 1 log 2 3 1 1 log 1 3 1 1 1 ? ?( ) ? ?( ) 2 ? ? ? =( ) 2 8 2 8 2 8 3 24
10.(2009 四川卷文)函数 y ? 2 A. y ? 1 ? log 2 x( x ? 0)
x ?1

1

( x ? R) 的反函数是
B. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? 1)

11

C. y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0) 答案 解析 C 由y?2
x ?1

D. y ? log 2 ( x ? 1)( x ? ?1)

? x ? 1 ? log 2 y ? x ? ?1 ? log 2 y ,又因原函数的值域是 y ? 0 ,

∴其反函数是 y ? ?1 ? log 2 x( x ? 0) 11.(2009 陕西卷文)设曲线 y ? x 标为 xn ,则 x1 ? x2 ??? xn 的值为 A.
n ?1

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐

1 n
B

B.

1 n ?1

C.

n n ?1

D.1

答案

解析 对 y ? x

n ?1

(n ? N * )求导得y ' ? (n ? 1) x n ,令 x ? 1 得在点(1,1)处的切线的斜率

k ? n ? 1 ,在点
(1, 处的切线方程为 y ? 1 ? k ( xn ? 1) ? (n ? 1)( xn ? 1) ,不妨设 y ? 0 , 1) 则 x1 ? x2 ?? ? xn ?

xn ?

n n ?1

1 2 3 n ?1 n 1 , 故选 B. ? ? ? ...? ? ? 2 3 4 n n ?1 n ?1

1 12. (2009 全国卷Ⅰ文) 已知函数 f ( x) 的反函数为 g ( x)= +2lgx ? x>0 ? , f (1) ? g(1) ? 则
(A)0 答案 C 解析 由题令 1 ? 2 lg x ? 1 得 x ? 1 ,即 f (1) ? 1 ,又 g(1) ? 1 ,所以 f (1) ? g(1) ? 2 , 故选择 C。 13.(2009 湖南卷理)若 log 2 a<0, ( ) >1,则 A.a>1,b>0 答案 解析 D 由 log 2 a ? 0 得 0 ? a ?, 由 ( ) ? 1 得 b ? 0 ,所以选 D 项。
b

(B)1

(C)2

(D)4

1 2

b

( D. 0<a<1, b<0

)

B.a>1,b<0

C. 0<a<1, b>0

1 2

?a ? log 2 x(当x ? 2时) ? 在点x ? 2处 连续,则常数 a 14.(2009 四川卷理)已知函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 4 (当x ? 2时) ? ? x?2
的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 ( )

【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。
12

答案 B 解析 由题得 a ? log 2 ? 2 ? 2 ? a ? 3 ,故选择 B。
2

解 析 2 : 本 题 考 查 分 段 函 数 的 连 续 性 . 由 lim f ( x) ? lim
x ?2 x ?2

x2 ? 4 ? lim( x ? 2) ? 4 , x ? 2 x ?2

f (2) ? a ? log 2 2 ? a ? 1 ,由函数的连续性在一点处的连续性的定义知
f (2) ? lim f ( x) ? 4 ,可得 a ? 3 .故选 B.
x?2

15.(2009 福建卷文)若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超
x

过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4 x ? 1 C. f ? x ? ? e ? 1
x

B. f ? x ? ? ( x ? 1) D. f ? x ? ? In ? x ?

2

? ?

1? ? 2?

答案 A 解析 f ? x ? ? 4 x ? 1 的零点为 x= 为 x=0, f ? x ? ? In ? x ? 因 为 g(0)= -1,g(

1 2 x , f ? x ? ? ( x ? 1) 的零点为 x=1, f ? x ? ? e ? 1 的零点 4

? ?

1? 3 x ? 的零点为 x= .现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点, 2? 2

1 1 )=1, 所 以 g(x) 的 零 点 x ? (0, ), 又 函 数 f ? x ? 的 零 点 与 2 2

g ? x ? ? 4 x ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f ? x ? ? 4 x ? 1 的零点适合,
故选 A。 二、填空题 16.(2009 江苏卷)已知集合 A ? x log 2 x ? 2 , B ? (??, a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值范 围是 (c, ??) ,其中 c = 解析 由 log 2 .

?

?

考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。

x ? 2 得 0 ? x ? 4 , A ? (0,4] ;由 A ? B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4。
x

17.(2009 山东卷理)若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是 答案 解析 .

{a | a ? 1}
x 设函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)
x

13

有两个零点, 就是函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当
x

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x ( a ? 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的 取值范围是 a ? 1 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 18.(2009 重庆卷文)记 f ( x) ? log3 ( x ? 1) 的反函数为 y ? f
?1

( x) ,则方程 f ?1 ( x) ? 8 的解

x?
答案 2


y ?1
?1

解法 1 由 y ? f ( x) ? log3 ( x ? 1) ,得 x ? 3 解得 x ? 2

,即 f

(x) ?3x ? ,于是由 3x ?1 ? 8 , 1

解法 2 因为 f ? 1( x) ? 8 ,所以 x ? f (8) ? log3 (8 ? 1) ? 2

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 年山东文科卷)已知函数 f ( x) ? log a (2 ? b ? 1)(a ? 0,a ? 1) 的图象如图所示,
x

则 a,b 满足的关系是 A. 0 ? a C. 0 ? b
?1

( B. 0 ? b ? a D. 0 ? a
?1 ?1

) y x

? b ?1 ? a ? ?1

?1
O

?1

? b?1 ? 1

答案 A 解析 本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得 a ? 1, ? 0 ? a
?1

?1

? 1; 取特殊点 x ? 0 ? ?1 ? y ? log a b ? 0,

? ?1 ? log a

1 ? log a b ? log a 1 ? 0, ?0 ? a ?1 ? b ? 1 . a
? ? 1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值 2 ?
C.-1,3
x ?1

2. (07 山东)设 ? ? ?? 1,1, 为 A.1,3 答案 A

B.-1,1

( D.-1,1,3



3.(2006 年安徽卷)函数 y ? e A. y ? 1 ? ln x( x ? 0) C. y ? ?1 ? ln x( x ? 0) 答案 D

( x ? R) 的反函数是
B. y ? 1 ? ln x( x ? 0) D. y ? ?1 ? ln x( x ? 0)





14

解析 由 y ? e

x ?1

得: x+1=lny, x=-1+lny,所以 y ? ?1 ? ln x( x ? 0) 为所求, 即 故选 D。

4.(2006 年湖北卷)设 f ( x) ? lg A. (?4, 0) ? (0, 4) C. (?2, ?1) ? (1, 2) 答案 解析 B

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x
B. (?4, ?1) ? (1, 4) D. (?4, ?2) ? (2, 4)

(

)

f(x)的定义域是(-2,2) ,故应有-2?

x 2 ?2 且-2? ?2 解得-4?x?-1 或 2 x
b

1?x?4 故选 B。

?1? ?1? 5.(07 天津)设 a, b, c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log 2 c . ?2? ?2? 2 2
a

c

则 A. a ? b ? c 答案 A 二、填空题

( B. c ? b ? a C. c ? a ? b



D. b ? a ? c

() 6. (2008 年山东文科卷) 已知 f (3 ) ? 4 x log 2 3 ? 233 , f () ? f4 则 2
x

?)f ( 8

? ?)f ( ? 2

8

的值等于 答案 2008



解析 本小题主要考查对数函数问题。

? f (3x ) ? 4 x log 2 3 ? 233 ? 4 log 2 3x ? 233,

? f ( x) ? 4log 2 x ? 233, ? f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (28 ) ? 8 ? 233 ? 4(log 2 2 ? 2log 2 2 ? 3log 2 2 ? ? ? 8log 2 2) ? 1864 ? 144 ? 2008.
7.(07 山 东 ) 函 数 y ? lo ga ?x ? 3? ? 1(a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A, 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则
答案 8

1 2 ? 的最小值为 m n
1 2

.

8.(2006 年辽宁卷)设 g ( x ) ? ?

? e x , x ? 0. ?lnx, x ? 0.

则 g ( g ( )) ? __________

答案 解析

1 ln 1 1 1 g ( g ( )) ? g (ln ) ? e 2 ? . 2 2 2

本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.

15

9.(2006 年 重 庆 卷 ) 设 a ? 0, a ? 1 , 函 数 f ( x) ? a

l g x(2 ? x2 ?

3)

有最大值,则不等式

log a ? x 2 ? 5 x ? 7 ? ? 0 的解集为
解析 设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? a

.
lg( x 2 ? 2 x ? 3)

有最大值,∵ lg( x ? 2 x ? 3) ≥ lg 2 有最
2

? x2 ? 5x ? 7 ? 0 log a ? x 2 ? 5 x ? 7 ? ? 0 的解为 ? 2 小值, 0<a<1, 则不等式 ∴ , 解得 2<x<3, ? x ? 5x ? 7 ? 1
所以不等式的解集为 ? 2, 3 ? . 10.(2005 年上海 2)方程 4 ? 2 ? 2 ? 0 的解是__________.
x x

解析

4 x ? 2 x ? 2 ? 0 ? (2 x ? 1)( 2 x ? 2) ? 0 ? 2 x ? 1 ? x ? 0

三、解答题 11.(07 上海)已知函数 f ?x ? ? x ?
2

a ( x ? 0, a ? R) x

(1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性; (2)若 f ? x ? 在区间 ?2,??? 是增函数,求实数 a 的取值范围。 解析 (1)当 a ? 0 时, f ?x ? ? x 为偶函数;当 a ? 0 时, f ? x ? 既不是奇函数也不是
2

偶函数. (2) x2 ? x1 ? 2 , f ? x1 ? ? f ?x 2 ? ? x1 ? 设
2

x ? x2 a a 2 ?x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? a? , ? 1 ? x2 ? x1 x 2 x1 x2

由 x2 ? x1 ? 2 得 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? 16 , x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 要使 f ? x ? 在区间 ?2,??? 是增函数只需 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 , 即 x1 x2 ?x1 ? x2 ? ? a ? 0 恒成立,则 a ? 16 。 另解(导数法) f ' ?x ? ? 2 x ? :

a ,要使 f ? x ? 在区间 ?2,??? 是增函数,只需当 x ? 2 时, x2

f ' ?x ? ? 0 恒成立,即 2 x ?

a ? 0 ,则 a ? 2 x 3 ? ?16,?? ? 恒成立, 2 x

故当 a ? 16 时, f ? x ? 在区间 ?2,??? 是增函数。

第二部分

四年联考汇编

2010 年联考
16

题组二(5 月份更新)
一、填空题

y ? lg
1. (安徽两地三校国庆联考)为了得到函数 像上所有点 ( )

x?3 10 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 答案 C 2. (昆明一中四次月考理)下列四个函数① y ? x ? 1 ;② y ? sin 3x ;③ y ? x ?
3

2 ;④ x

y?

e x ? e? x 中,奇函数的个数是( 2
(B)2

) (C)3 (D)4

(A)1 答案:C

3.(昆明一中二次月考理)已知 ( )

,则“

”是 “

”的

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 答案:A

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

?a ? log 2 x(当x ? 2时) ? 在点x ? 2处 连续, 4. (玉溪一中期中理) 已知函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 4 则常数 a (当x ? 2时) ? ? x?2
的值是( A.2 答案:B 5. (玉溪一中期中理)函数 y ? log a ( x ? 3) ?1 ) B.3 C.4 D.5

(a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若
1 2 ? 的最小值为( m n D.16
)

点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 m,n 均大于 0,则

A.2

B.4
17

C.8

答案:C 6.(祥云一中月考理) 函数 f ( x) ? a ( A. ? 答案:B 7. (祥云一中三次月考理)函数 f ? x ? ? ? 范围是 A. ? 0, ? 2 )
x ?1

的反函数的图象经过点 (4,2) ,则 f

?1

(2) 的值是

1 2

B.

3 2

C.2

D.4

?2 x 2 ? 8ax ? 3?x ? 1? ?log a x? x ? 1?

在 x ? R 内单调递减,则 a 的

? ?

1? ?

B. [ ,1)

1 2

C. ? , ? 2 8

?1 5? ? ?

D. ? ,1?

?5 ? ?8 ?

答案:C

二、填空题 1. (安徽两地三校国庆联考)函数

y ? log a ?x ? 3? ? 1(a ? 0, a ? 1)

的图象恒过定点 A,若点

1 2 ? mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则 m n 的最小值为 A 在直线
答案 8

.

2. (肥城市第二次联考)某同学在借助计算器求“方程 lgx=2-x 的近似解(精确到 0.1) ” 时,设 f(x)=lgx+x-2,算得 f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了 4 个 x 的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是 x≈1.8.那么他再取的 x 的 4 个值分别依次是 .

答案 1.5,1.75,1.875,1.8125;

?1? 3. ( 祥 云 一 中 二 次 月 考 理 ) 函 数 y ? ? ? ?2? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. _ _ ___
答案: ?

x 2 ? 6 x ?17

在 x ? ?? 3,1? 上 的 值 域 为

? 1 1 ? , 12 ? 44 ?2 2 ?

18

4. ( 祥 云 一 中 二 次 月 考 理 ) 已 知 函 数 f ( x) ? log 8 x , 它 的 反 函 数 为 f

?1

( x) , 则

2 f ?1 ( ) ? __________ ______. 3
答案:4

三、解答题
1.(本小题满分 14 分) 已知 a?R,函数 f ? x ? ? ? x ? ax e (x ? R, e 为自然对数的底数).
2 x

?

?

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅲ)函数 f ? x ? 是否为 R 上的单调函数,若是,求出 a 的取值范围;若不是,请说明理由. 解: (Ⅰ) 当 a ? 2 时, f ? x ? ? ? x ? 2 x e ,
2 x

?

?

? f ?( x) ? ? ?2 x ? 2 ? e x ? ? ? x 2 ? 2 x ? e x ? ? ? x 2 ? 2 ? e x . …1 分
x 2 令 f ?( x) ? 0 ,即 ? x ? 2 e ? 0 , ? e ? 0,?? x ? 2 ? 0 . 解得 ? 2 ? x ?
2 x

?

?

2.

?函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? 2, 2 .

?

?

…… 4 分

(Ⅱ)? 函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调递增, ? f ?( x) ≥0 对 x ? ? ?1,1? 都成立,

? f ?( x) ? ? ?2 x ? a ? e x ? ? ? x 2 ? ax ? e x ? ? ? x 2 ? ? a ? 2 ? x ? a ? e x , ? ?

? ? ? x 2 ? ? a ? 2 ? x ? a ? e x ≥ 0 对 x ? ? ?1,1? 都成立. ? ?
? e x ? 0,?? x 2 ? ? a ? 2 ? x ? a ≥ 0 对 x ? ? ?1,1? 都成立,
2

…… 5 分 …… 6 分

x 2 ? 2 x ? x ? 1? ? 1 1 ? ? ? x ? 1? ? 即 a≥ 对 x ? ? ?1,1? 都成立. x ?1 x ?1 x ?1
令 y ? ? x ? 1? ? 增.

1 1 1 ? 0 . ? y ? ? x ? 1? ? ,则 y? ? 1 ? 在 ? ?1,1? 上单调递 2 x ?1 x ?1 ? x ? 1?

? y ? ?1 ? 1? ?

1 3 ? . 1?1 2

3 ?a≥ . 2

…… 9 分

(Ⅲ) 若函数 f ? x ? 在 R 上单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 对 x? R 都成立,

19

即 ? ? x ? ? a ? 2 ? x ? a ? e ≤ 0 对 x? R 都成立, ? ?
2 x

? e x ? 0,
2

? x 2 ? ? a ? 2 ? x ? a ≥ 0 对 x? R 都成立.

?? ? ? a ? 2 ? ? 4a ≤ 0 ,即 a2 ? 4 ≤0 ,这是不可能的.
故函数 f ? x ? 不可能在 R 上单调递减. 若函数 f ? x ? 在 R 上单调递增,则 f ?( x) ≥ 0 对 x? R 都成立, 即 ? ? x ? ? a ? 2 ? x ? a ? e ≥ 0 对 x? R 都成立, ? ?
2 x

…… 11 分

? e x ? 0,
2

? x 2 ? ? a ? 2 ? x ? a ≤ 0 对 x?R 都成立.
2

而 ? ? ? a ? 2 ? ? 4a ? a ? 4 ? 0 , 故函数 f ? x ? 不可能在 R 上单调递增. 综上可知函数 f ? x ? 不可能是 R 上的单调函数. …… 13 分 …… 14 分

题组一(1 月份更新)

一、选择题 1.(2009 玉溪市民族中学第四次月考)已知函数 f ( x) ? 2 ? log 0.5 x( x ? 1) ,则 f (x) 的反 函数是 A. f C. f 答案 A 2.(2009 聊城一模)已知函数 f ( x) ? 4 ? x , g ( x)是定义在(??,0) ? (0,??) 上的奇函数,
2 ?1

----------(

) B. f D. f
?1

( x) ? 2 2? x ( x ? 2) ( x) ? 2 x ?2 ( x ? 2)

( x) ? 2 2? x ( x ? 2) ( x) ? 2 x ?2 ( x ? 2)

?1

?1

当 x>0 时, g ( x) ? log 2 x, 则函数y ? f ( x) ? g ( x) 的大致图象为





20

答案 B 3.(2009 番禺一模)已知函数 f ( x) ? ? A. ?1 答案 C 4.(2009 临沂一模)已知函数 f(x)= ( ) ? log 3 x ,若 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,
x

?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0.

若 f (a) ?

1 ,则 a ? ( 2



B. 2

C. ?1 或 2

D.1 或 ? 2

1 5

则 f(x1)的值为 A.恒为正值 答案 A 5.(2009玉溪一中期末)若函数f(x)=x (x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是 A.单调递减的偶函数 C.单凋递增的偶函数 答案 B 6. 2009 临沂一模) f(x)是连续的偶函数, ( 设 且当 x >0 时是单调函数, 则满足 f(2x)=f( 的所有 x 之和为 A、 ? 答案 C 7.(2009 云南师大附中)若函数 y ? e2 x ? 2与函数y ? f ? x ?的图象关于直线y ? x对称,则f ? x ? ? B.单调递减的奇函数 D.单涮递增的奇函数
3

B.等于 0

C.恒为负值

D.不大于 0

x ?1 ) x?4

9 2

B、 ?

7 2

C、-8

D、8

A.

ln

?

x ?1

?

B.

ln x ? 1

C.

ln

?

x ?1

?

D.

ln x ? 1

答案 B 8. ( 2009 青 岛 一 模 ) 设奇 函 数 f ( x) 在 (0, ?) 上 为 增 函 数 , 且 f (1) ? 0, 则 不 等 式 ?

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集为 x
A. (?1 0) ? (1 ? ?) B. (??, 1) ? (0, C. (??, 1) ? (1 ? ?) , , ? 1) ? ,
21

D. (?1 0) ? (0, , 1)

答案 D 9.(2009 日照一模) (6)函数 f ( x) ? ln A. (1,2) 答案 A 10. 2009 日照一模) ( (函数 y ? f ( x) 的图象如右图所示, 则函数 y ? log 1 f ( x) 的
2

3? 2 ? 的零点一定位于区间 2 x
D. (4,5)

B. (2,3)

C. (3,4)

图象大致是

答案 C 11.(2009 泰安一模)已知函数 y=f(x)与 y ? e 互为反函数,函数 y=g(x)的图像与 y=f(x)图
x

像关于 x 轴对称,若 g(a)=1,则实数 a 值为 (A)-e 答案 C 12.(2009 江门一模)函数 y ? (B) ?

1 e

(C)

1 e

(D) e

1 3x ? 2

? lg(2 x ? 1) 的定义域是
?2 ? , ? ?? ?3 ?

A. ? , ? ? ? 答案 C

?2 ?3

? ?

B. ?

?1 ? , ? ?? ?2 ?

C. ?

D. ?

?1 2? , ? ?2 3?

13.(2009 枣庄一模)已知 f ( x) ? ? ( )

? x ? 1, x ? [?1,0) , 则关于右图中函数图象的表述正确的是 2 ? x ? 1, x ? [0,1]

A.是 f ( x ? 1) 的图象 B.是 f (? x) 的图象 C.是 f (| x |)或 | f ( x) | 的图象

22

D.以上说法都不对 答案 D

?? 2 x ? 1 ? 14.(2009 枣庄一模)设函数 f ( x) ? ?? 3 ?2 x ? 1 ?
( A.3 答案 C ) B.4 C.7

5 (?1 ? x ? 2), 则f ( f ( f ( ) ? 5)) ? 2 ( x ? 2)

( x ? 1)

D.9

y
15.(2009 深圳一模)若函数 f ( x) ? log a ( x ? b) 的图象如右图,其中 a, b 为 常数.则函数 g ( x) ? a ? b 的大致图象是
x

1
?1 o

y

y

1 ?1

x

y

y

1
?1 o

1 ?1

x

?1

1

o ?1

1
x

?1

1

o ?1

1
x

1
?1 ?1
D.

o

1

x

A. 答案 D

B.

C.

二、填空题
| x| 1.(2009 青岛一模)定义:区间 ? x1 , x2 ? ? x1 ? x2 ? 的长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ? 2 的定义

域为 ? a , b ? ,值域为 ?1, 2 ? ,则区间 ? a , b ? 的长度的最大值与最小值的差为_________. 答案 1 2.(2009 冠龙高级中学 3 月月考)已知函数 f ( x) ? x ? x ,若 f log3 ? m ? 1? ? f (2) ,
2

?

?

则实数 m 的取值范围是 答案 ( ? ,8)



8 9

3.(2009 闵行三中模拟)若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ ,3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? 值域是

1 2

1 的 f ( x)

23

答案 [2,

10 ] 3
?1

(a 4.(2009 上海普陀区)已知函数 f ( x) ? 1 ? log a x  ? 0且a ? 1) , f
数,若 y ? f 答案 2 5.(2009 上海十校联考)已知函数 f ? x ? ?
?1

( x) 是 f (x) 的反函

( x) 的图像过点 (3, 4) ,则 a ?

.

mx 2 ? ? m ? 3? x ? 1 的值域是 [0, ??) ,则实数

m 的取值范围是________________.
答案

?0,1? ? ?9, ?? ?
?1

6.(2009 上海卢湾区 4 月模考) (2009 上海卢湾区 4 月模考)设 f ( x ) 的反函数为 f 若函数 f ( x ) 的图像过点 (1, 2) ,且 f 答案
?1

( x) ,

( 2 x ? 1) ? 1 , 则 x ?



1 2
x

7.(2009 宣威六中第一次月考)已知函数 f ( x) ? e ? ln( x ? 1) ? 1( x ? 0) ,则函数 f(x)的最 小值是 答案 0 三、解答题 1、 (2009 聊城一模)已知函数 f ( x) ? x ?
3

3 2 ax ? b(a, b为实数, 且a ? 1) 在区间[-1,1] 2

上最大值为 1,最小值为-2。 (1)求 f (x) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 在区间[-2,2]上为减函数,求实数 m 的取值范围。 解: (1) f ' ( x) ? 3x ? 3ax,
2

24

令f ' ( x) ? 0, 得x1 ? 0, x 2 ? a, ? a ? 1, ? f ( x)在?? 1,0? 上为增函数, 在?0,1? 上为减函数. ? f (0) ? b ? 1, 3 3 ? f (?1) ? ? a, f (1) ? 2 ? a,? f (?1) ? f (1), 2 2 3 4 ? f ( ?1) ? ? a ? ?2, a ? . 2 3 3 ? 2 x 2 ? 1. ? f ( x) ? x
(2) g ( x) ? x ? 2 x ? mx ? 1,
3 2

g ' ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? m.
由 g ( x)在?? 2,2?上为减函数 , 知 g ' ( x) ? 0在x ? ?? 2,2?上恒成立.

? g ' ( ?2) ? 0 ?20 ? m ? 0 ?? , 即? ? g ' ( 2) ? 0 ?4 ? m ? 0

?m ? 20.

?实数m的取值范围是m ? 20.
2、 (2009 昆明市期末)已知函数 f ( x) ? e ? ln ( x ? m) ? 1 ,若 x=0,函数 f(x)取得极值
x

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)已知 0 ? b ? a, 证明: e 解: (Ⅰ) f ' ( x) ? e ?
x a ?b

? 1>ln

a ?1 . b ?1

1 , x?m 1 ? 0. 0?m

由 故 故 当 当

x=0 是极值点,故 f ' (0) ? 0 ,得 e 0 ? m=1.

f ( x) ? e x ? ln ( x ? 1) ? 1( x> ? 1)
-1<x<0 时, f ' ( x) ? e ?
x

1 <0, 函数在(-1,0)内是减函数; x ?1

x>0 时, f ' ( x) ? e x ?

1 >0, 函数 f(x)在(0,+∞)内是增函数。 x ?1
x

所以 x=0 时,f(0)=0,则函数 f(x)取得最小值为 0.·············6 分 ············ (Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)≥0,故 e -1≥ln(x+1)。

25

∵ a>b ? 0 ? a ? b> ? 1且a ? b ? 0故e 又

a ?b

·······8 ? 1>ln (a ? b ? 1) ①······· 分

(a ? b ? 1) ?

a ? 1 (a ? b ? 1)(b ? 1) ? (a ? 1) ? b ?1 b ?1
=

ab ? b 2 b(a ? b) ? ? 0, b ?1 b ?1

a ?1 ························10 分 . ························ b ?1 a ?1 故 ln(a ? b ? 1) ? ln ② . b ?1 a ?1 由①②得 ······················12 分 ····················· e a ?b ? 1>ln b ?1


(a ? b ? 1) ?

3、 (2009 临沂一模)设函数 f(x)=x -mlnx,h(x)=x -x+a. (I) (II) 当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; 当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围; (III) 是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性? 若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由。 解: (1)由 a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即 m ? 记? ?

2

2

x ln x

x ,则 f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 m ? ? ( x) min . ln x ln x ? 1 求得 ? '( x) ? ln 2 x
当 x ? (1, e) 时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值, 即 ? ( x)min ? ? (e) ? e ,故 m ? e . (2)函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3] 上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a,在[1,3] 上恰有两个相异实根。 令 g(x)=x-2lnx,则 g '( x) ? 1 ?

2 x

当 x ? [1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0 g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数。 故 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2ln 2 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3
26

∵g(1)>g(3),∴只需 g(2)<a≤g(3), 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) (3)存在 m=

1 ,使得函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性 2
m 2x2 ? m ,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) 。 ? x x

f '( x)min ? 2 x ?

若 m ? 0 ,则 f ( x) ' ? 0 ,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意; 若 m ? 0 ,由 f ( x) ' ? 0 可得 2x -m>0,解得 x>
2

m m 或 x<(舍去) 2 2

故 m ? 0 时,函数的单调递增区间为(

m ,+∞) 2

单调递减区间为(0,

m 1 )而 h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0, ),单调递增区间是 2 2

(

1 ,+∞) 2
m 1 1 1 = ,解之得 m= 即当 m= 时,函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义域上具有 2 2 2 2

故只需

相同的单调性。 4、 (2009 东莞一模)已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? a (a ? 2, x ? R ) , g ( x) ? e? x ,?( x) ? f ( x) ? g ( x) . (1)当 a ? 1 时,求 ?( x) 的单调区间; (2)求 g ( x) 在点 (0,1) 处的切线与直线 x ? 1 及曲线 g ( x) 所围成的封闭图形的面积; (3)是否存在实数 a ,使 ?( x) 的极大值为 3?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理 由. 解: (1)当 a ? 1时, ?( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e? x ,

? '( x) ? e? x (? x 2 ? x) .?(1 分)
??(3 分)

当? '( x) ? 0时,0 ? x ? 1; 当? '( x) ? 0时, x ? 1或x ? 0.

∴ ?( x) 的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为: (??,0) , (1, ??) . ??(4 分) (2)切线的斜率为 k ? g '(0) ? ?e? x |x ?0 ? ?1 , ∴ 切线方程为 y ? ? x ? 1 .??(6 分)

27

所求封闭图形面积为
1 1 1 1 1 S ? ? [e? x ? ( ? x ? 1)]dx ? ? (e? x ?x ? 1)dx ? (?e? x ? x 2 ? x) |1 ? ? . 0 0 0 2 2 e

??(8 分) (3) ? '( x) ? (2 x ? a)e? x ? e? x ( x 2 ? ax ? a) ? e? x [? x 2 ? (2 ? a) x] , 令 ? '( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 ? a . 列表如下: x (-∞,0) - ↘ 0 0 极小 (0, 2-a) + ↗ 2-a 0 极大 (2-a,+ ∞) - ↘ ??(12 分) ??(9 分) ??(10 分)

? '( x) ? ( x)

由表可知, ?( x)极大 ? ?(2 ? a) ? (4 ? a)ea ? 2 . 设 ? (a) ? (4 ? a)ea ?2 , ? '(a) ? (3 ? a)ea ?2 ? 0 , ∴ ? (a)在(??,2) 上是增函数,??(13 分) ∴ ? (a) ? ? (2) ? 2 ? 3 ,即 (4 ? a)ea ?2 ? 3 , ∴不存在实数 a,使 ?( x) 极大值为 3. 5、2009 茂名一模) ( 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ? (Ⅰ)讨论 a ? 1 时, f ( x) 的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x) ? g ( x) ?

??(14)

ln x , 其中 e 是自然常数, ? R. a x

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理 由.

1 x ?1 ??1 分 ? x x / ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减
(Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? 当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增
/

??3 分

∴ f ( x) 的极小值为

f (1) ? 1 ??4 分
( Ⅱ ) ? f ( x) 的 极 小 值 为 1 , 即 f ( x) 在 (0, e] 上 的 最 小 值 为 1 , ∴

f ( x) ? 0 ,

f ( x) min ? 1 ??5 分

28

令 h( x ) ? g ( x ) ?

1 ln x 1 1 ? ln x , ??6 分 ? ? , h?( x) ? 2 x 2 x

当 0 ? x ? e 时, h?( x) ? 0 , h( x ) 在 (0, e] 上单调递增 ??7 分 ∴ h( x) max ? h(e) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2

∴ 在 ( 1 ) 的 条 件 下 ,

1 f ( x) ? g ( x) ? ??9 分 2
( Ⅲ ) 假 设 存 在 实 数 a , 使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] ) 有 最 小 值 3 ,

f / ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ?9 分 ? x x
4 (舍去) , e

① 当 a ? 0 时, f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? 所以, 此时 f (x) 无最小值. ??10 分 ②当 0 ?

1 1 ? e 时, f (x) 在 (0, ) 上单调递减,在 a a

1 ( , e] 上单调递增 a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ??11 分 a
③ 当

1 4 , ? e 时, f (x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,a ? (舍去) a e

所以,此时 f (x) 无最小值.综上,存在实数 a ? e 2 ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x) 有最小值 3. 6、 (2009 昆明一中第三次模拟)已知 f ? x ? ? ln x ? 1 ? ? ax ? 2 ?
2

?

?

(1) 若函数 f ? x ? 是 R 上的增函数,求 a 的取值范围; (2) 若 a ? 1 ,求 f ? x ? 的单调增区间 解: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

2x ?a, x ?1
2

? f ( x) 是 R 上的增函数,故 f ? ? x ? ?
即a ?
2

2x ? a ? 0 在 R 上恒成立, x ?1
2

2x 在 R 上恒成立 x ?1 2x 的最小值为 ?1 ,故知 a 的取值范围是 ? ??, ?1? g ? x? ? 2 x ?1
2x ax 2 ? 2 x ? a 2 ?a ? ? 由 f ? ? x ? ? 0 ,得 ax ? 2 x ? a ? 0 , x2 ? 1 x2 ? 1
29

(2) f ? ? x ? ?

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ? x ? 0 ,即函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增;

a ? 0 时,由判别式 ? ? 4 ? 4a 2 ? ?4 ? a ? 1?? a ? 1? 可知
②当 0 ? a ? 1时,有 ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? , a a

即函数 f ? x ? 在 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ) 上单调递增; a a

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ③当 ?1 ? a ? 0 时,有 ? ? 0, f ? ? x ? ? 0 ? x ? 或x ? , a a
即函数 f ? x ? 在 (??,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ), ( , ??) 上单调递增 a a

7、 解: (1) ? an ?1 ? an ? 2an ?1 ,两边加 an 得: an ?1 ? an ? 2(an ? an ?1 ) (n ? 2) ,

? {an ?1 ? an }

是 以

2

为 公 比 ,

a1 ? a2 ? 4 为 首 项 的 等 比 数 列 .

? an?1 ? an ? 4?2n?1 ? 2?2n ??①
由 an ?1 ? an ? 2an ?1 两边减 2an 得: an ?1 ? 2an ? ?(an ? 2an ?1 ) (n ? 2) ? {an ?1 ? 2an } 是 以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列. ①-②得: 3an ? 2[2 ? (?1) ]
n n

? an ?1 ? 2an ? ?2? ?1)n ?1 ? 2? ?1)n ??② ( (

所以,所求通项为 an ?

2 n [2 ? (?1) n ] ????5 分 3

(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2 n ?1 ? 2 n ? ? ? [ ? ]? ? an ?1 an 2 2n ?1 ? 1 2n ? 1 2 2 n ?1 ?2 n ? 2 n ? 2 n ?1 ? 1 3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? n ?1 n ? ? n ?1 n ? ( n ?1 ? n ) ( n ? 2) n ?1 2 2 ?2 ? 2 ? 1 2 2 ?2 2 2 2

1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 1 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? ? 2 ? 3 ? 3? n ? 3 1 a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 2 2
当 n 为奇数时,? an ?

1 2 n ? 0 ,又 n ? 1为偶数 [2 ? (?1) n ] ? 0 ,? an ?1 ? 0, an ?1 3

30

?由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ? 3 ????????10 分 a1 a2 an a1 a2 an an ?1

(3)证明:? f (n ? 1) ? f (n) ? f 2 (n) ? 0

? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ?1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0


1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1 1 1 1 ??12 分 ? ? f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)
n

?

??
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) ????14 分 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2
2

8、 (2009 深圳一模)已知函数 f ( x) ? a ln(1 ? 2 x) ? x ( a ? 0 , x ? (0, 1] ) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若不等式 1 ? n ? ? n ln(1 ?
2 2

2 ) 对一切正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围. n
??????? 2 分

解: (Ⅰ) f ?( x) ?

a ? 2x 1 ? ax
? ? 2ax 2 ? 2 x ? a , 1 ? ax
? 1 ? 2a 2 ? 1 . 2a

2 由 ? 2ax ? 2 x ? a ? 0 ,得 x ?

? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 0, ? 0. ? a ? 0 ,? 2a 2a
? 1 ? 2a 2 ? 1 ? 又? 2a a 2a ? 1 ? 1
2

? 1.

? 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0,
2a 2 ? 1 ? 1 ( , 1) . ???? 6 分 2a

2a 2 ? 1 ? 1 ) , 递 减 区 间 为 2a

31

(Ⅱ) 【法一】不等式 令

1 2 2 1 ? ? ? ln(1 ? ) ,即为 ? ? ln(1 ? ) ? 2 .?????(※) 2 n n n n

1 ? x ,当 n ? N ? 时, x ? (0, 1] . n
2

则不等式(※)即为 ? ? ln(1 ? 2 x) ? x . 令 g ( x) ? ln(1 ? 2 x) ? x , x ? (0,1] ,
2

???????9 分

?在 f (x) 的表达式中,当 a ? 2 时, f (x) ? g (x) ,
? 1 ? 2a 2 ? 1 1 ? , 又? a ? 2 时, 2a 2

1 1 ? g (x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , 1) 单调递减. 2 2 1 1 1 g (x) 在 x ? 时,取得最大,最大值为 g ( ) ? ln 2 ? . ???????12 分 2 2 4 2 1 1 因此,对一切正整数 n ,当 n ? 2 时, ln(1 ? ) ? 2 取得最大值 ln 2 ? . 4 n n 1 ?????????? 14 分 ?实数 ? 的取值范围是 ? ? ln 2 ? . 4 1 2 2 1 【法二】不等式 2 ? ? ? ln(1 ? ) ,即为 ? ? ln(1 ? ) ? 2 .??????(※) n n n n 2 1 设 g ( x) ? ln(1 ? ) ? 2 ( x ? 1) , x x
2 2 2 ? 2x 2 ? 2x ? 4 , g ?( x) ? x 2 ? 3 ? 1? x x x 3 ( x ? 2) ?
令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? 2 . ?????????? 10 分

?当 x ? (1, 2) 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ? ?) 时, g ?( x) ? 0 .
1 ?当 x ? 2 时, g (x) 取得最大值 ln 2 ? . 4 1 因此,实数 ? 的取值范围是 ? ? ln 2 ? . ?????????? 14 分 4 1 2 9、 (2009 湛江一模)已知函数 f ( x) ? (a ? ) x ? ln x .( a ? R ) 2
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f (x) 在区间[1,e]上的最大值和最小值; (Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围.

32

解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?

1 x2 ?1 1 2 , f ?( x) ? x ? ? ;??????2 分 x ? ln x x x 2

对于 x ?[1,e],有 f ?( x) ? 0 ,∴ f (x) 在区间[1,e]上为增函数,????3 分 ∴ f max ( x) ? f (e) ? 1 ?

e2 1 , f min ( x) ? f (1) ? .???????????5 分 2 2

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ,则 g (x) 的定义域为(0,+∞). ?????????????????6 分 在区间(1,+∞)上,函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区 间(1,+∞)上恒成立. ∵ g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ① 若a ?

1 2

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x 2 ? ,??????8 分 2 2a ? 1 1 当 x 2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( x 2 ,+∞)上有 g ?( x) ? 0 , 2
此时 g (x) 在区间( x 2 ,+∞)上是增函数,并且在该区间上有

g (x) ∈( g ( x2 ) ,+∞),不合题意;???????????????9 分
当 x 2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1时,同理可知, g (x) 在区间(1,+∞)上,有

g (x) ∈( g (1) ,+∞),也不合题意;???????????????10 分
② 若a ?

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 g ?( x) ? 0 , 2

从而 g (x) 在区间(1,+∞)上是减函数;??????????????12 分 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ?a ? 由此求得 a 的范围是[ ?

1 1 ?0?a?? , 2 2

1 1 , ]. 2 2 1 1 综合①②可知,当 a ∈[ ? , ]时,函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方. 2 2
??????????????????14 分

33

2009 年联考题
一、选择题 1.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)函数 f ( x) = 2 的反函数 y ? f
x ?1

? x ? 的图象






答案

A

2. (北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)下列函数中,在区间 (1, ??) 上为增函数的 是 A. y ? ?2 ? 1
x





C. y ? ?( x ? 1) 答案 B

2

x 1? x D. y ? log 1 ( x ? 1)
B. y ?
2

3.(2009 福建省)函数 y ? log 2 | x | 的图象大致是

(

)

答案

C

4.(2009 厦门集美中学)若 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是减函数,则 a 的取值范围 是 A. (0,1) 答案 C B. (0,2) C. (1,2) D. (2,??) ( )

5.(2009 岳阳一中第四次月考)函数 y ?

lg | x | 的图象大致是 x

(

)

34

答案 二、填空题

D

6.(2009 泉州市)已知函数 f(x)= ?

?log 2 x( x ? 0) 1 , 若 f(a)= x 2 ?2 , ( x ? 0)

.

答案 -1 或 2 7.(2009 厦门十中)定义:若存在常数 k ,使得对定义域 D 内的任意两个 x1 , x2 ?x1 ? x2 ? , 均有 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? k x1 ? x 2 成立, 则称函数 f ? x ? 在定义域 D 上满足利普希茨条件。 若函数 f ? x ? ? 答案

x ? x ? 1?满足利普希茨条件,则常数 k 的最小值为_____。

1 2

8.(2009 中学第六次月考)定义区间 [ x1 , x2 ]( x1 ? x2 ) 的长度为 x2 ? x1 ,已知函数

f ( x) ?| log 1 x | 的定义域为 [a, b] ,值域为 [0,2] ,则区间 [a, b] 的长度的最大值与最小值
2

的差为 答案 3

.

9.(江西南昌新民外语学校 09 届高三第一次月考)函数 f ( x ) ? 为 答案 .

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域

[3, ??)

三、解答题 10.(江西师大附中 2009 届高三数学上学期期中) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

解 (1) 因为 f (x) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0,即

?1? b ? 0, 解得b ? 1 2?a 1 ? ?1 ? 2x ?1 ? 2 ?1 . 又由 f (1) ? ? f (?1)知 从而有 f ( x) ? x ?1 ,解得 a ? 2 ?? 2 4?a 1? a 2 ?a
35

(2)解法一:由(1)知 f ( x) ?

? 2x ?1 1 1 ?? ? x , x ?1 2 2 ?1 2 ?2 由上式易知 f (x) 在 R 上为减函数,又因 f (x) 是奇函数,从而不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (?2t 2 ? k ).
因 f (x) 是 R 上的减函数,由上式推得 t ? 2t ? ?2t ? k.
2 2

即对一切 t ? R有3t ? 2t ? k ? 0, 从而 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得k ? ?
2

1 3

?2 x ?1 解法二:由(1)知 f ( x) ? x ?1 , 2 ?2 2 2 ?2 t ? 2t ?1 ? 2 2t ? k ? 1 ? 2 ?0 又由题设条件得 2 2 t ?2t ?1 ? 2 2 2t ? k ?1 ? 2 2 2 2 2 t 2 ? k ?1 ? 2)( ?2 t ?2t ? 1) ? (2 t ?2t ?1 ? 2)( ?2 2t ?k ? 1) ? 0 即 (2
整理得 2
3t 2 ? 2t ? k

? 1 ,因底数 2>1,故 3t 2 ? 2t ? k ? 0

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12 k ? 0, 解得k ? ? . 14.(2009 广东三校一模)设函数 f ?x ? ? ?1 ? x ? ? 2 ln ?1 ? x ? .
2

1 3

(1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)若当 x ? ? ? 1, e ? 1? 时,(其中 e ? 2.718 ?)不等式 f ?x ? ? m 恒成立,求实数 m 的 取值范围; (3)试讨论关于 x 的方程: f ?x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0,2?上的根的个数.
2

?1 ?e

? ?



(1)函数的定义域为 ?? 1,?? ?, f ?? x ? ? 2?? x ? 1? ?

? ?

1 ? 2 x? x ? 2 ? ? . x ? 1? x ?1 ?

1分

由 f ??x ? ? 0 得 x ? 0 ; 由 f ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 , 则增区间为 ?0,??? ,减区间为 ?? 1,0? . (2)令 f ??x ? ? 递增, 由 f?

2分 3分 4分

2 x? x ? 2 ? ?1 ? ? 0, 得 x ? 0 ,由(1)知 f ? x ? 在 ? ? 1,0? 上递减,在 ?0, e ? 1? 上 x ?1 ?e ?
6分 8分

1 ?1 ? 1 ? 1? ? 2 ? 2, f ?e ? 1? ? e 2 ? 2 ,且 e 2 ? 2 ? 2 ? 2 , e ?e ? e

36

?1 ? ? x ? ? ? 1, e ? 1? 时, f ? x ? 的最大值为 e 2 ? 2 ,故 m ? e 2 ? 2 时,不等式 f ?x ? ? m ?e ?
恒成立.
2

9分

(3)方程 f ?x ? ? x ? x ? a, 即 x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ? a .记 g ?x ? ? x ? 1 ? 2 ln ?1 ? x ? ,则

g ??x ? ? 1 ?

2 x ?1 .由 g ??x ? ? 0 得 x ? 1;由 g ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 . ? 1? x x ?1
10 分

所以 g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增. 而 g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1) 所以,当 a>1 时,方程无解; 当 3-2ln3<a≤1 时,方程有一个解, 当 2-2ln2<a≤a≤3-2ln3 时,方程有两个解; 当 a=2-2ln2 时,方程有一个解; 当 a<2-2ln2 时, 方程无解. 字上所述,a ? (1,??) ? (??,2 ? 2 ln 2) 时,方程无解;
a ? (3 ? 2 ln 3,1] 或 a=2-2ln2 时,方程有唯一解; a ? (2 ? 2 ln 2,3 ? 2 ln 3] 时,方程有两个不等的解.

13 分

14 分

2007—2008 年联考题
一、选择题 x 1.(2008 年高考数学各校月考试题)若 lga+lgb=0(其中 a≠1,b≠1),则函数 f(x)=a x 与 g(x)=b 的图象 ( ) A.关于直线 y=x 对称 B.关于 x 轴对 称 C.关于 y 轴对称 D.关于原点对称 答案 C 解析 取满足 lg a ? lg b ? 1 的特殊值a ? 2,则b ?

1 可得答案 C. 2

2.(2007 届岳阳市一中高三数学能力题训练)已知 a>1,则函数 f(x)= loga x 的图象与 -1 其反函数 y=f (x)的图象 ( ) A.不可能有公共点 B.不可能只有一个公共点 C. 最多只有一个公共点 D.最多只有两个公共点 答案 D
37

3.(2007 届高三数学二轮复习新型题专题训练)一次研究性课堂上,老师给出函数
f ( x) ? x (x ? R),三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题: 1? | x |
* x 对任意 n ? N 恒成立. 1? n | x |

甲:函数 f(x)的值域为(-1,1) ;乙:若 x1≠x2,则一定有 f(x1)≠f(x2); 丙:若规定 f1 ( x) ? f ( x) , f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) , f n ( x) ? 你认为上述三个命题中正确的个数有 A.0 个 答案 D 二、填空题 4.(2008 年高考数学各校月考试题)已知函数 f ( x) ? ( ) x 的图象与函数 g(x)的图象关于直 线 y ? x 对称,令 h( x) ? g(1? | x |), 则关于函数 h(x) 有下列命题: ① h(x ) 的图象关于原点对称; ③ h(x ) 的最小值为 0; 其中正确命题的序号为 答案 ②③ ② h(x ) 为偶函数; ④ h(x ) 在(0,1)上为减函数. (注:将所有正确命题的序号都填上) ..
1 2

( C.2 个 D.3 个



B.1 个

5.(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (?2, ? 1 ) ,则 8 满足 f ( x) =27 的 x 的值是 答案 1 3 2008 届 高 三 第 一 学 期 第 二 次 月 考 ) 已 知 函 数 .

三、解答题 6.( 陕 西 长 安 二 中

f ( x) ? lg( x ? 2 ? x 2 ) ? lg 2
(1)判断函数 f (x) 的奇偶性。 解 (1) f (? x) ? lg(? x ? (2)判断函数 f (x) 的单调性。

2 ? x 2 ) ? lg 2 ? lg

2 x ? 2 ? x2

? lg 2

= lg 2 ? lg( x ? ∴ f (x) 为奇函数

2 ? x 2 ) ? ? f ( x)

(2) f (x) 是 R 上的增函数, (证明略) 7.(陕西长安二中 2008 届高三第一学期第二次月考)定义在 R 上的函数 y=f(x),f(0)≠0, 当 x>0 时,f(x)>1,且对任意的 a、b∈R,有 f(a+b)=f(a)f(b),

38

(1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意的 x∈R,恒有 f(x)>0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数; (4)若 f(x)·f(2x-x )>1,求 x 的取值范围。 解 (1)令 a=b=0,则 f(0)=[f(0)] ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 (2)令 a=x,b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴ f (? x) ?
1 f ( x)
2 2

由已知 x>0 时,f(x)>1>0,当 x<0 时,-x>0,f(-x)>0 ∴ f ( x) ?
1 ? 0 又 x=0 时,f(0)=1>0 f ( ? x)

∴对任意 x∈R,f(x)>0 (3)任取 x2>x1,则 f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0 ∴
f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 f ( x1 )

∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在 R 上是增函数 (4)f(x)·f(2x-x )=f[x+(2x-x )]=f(-x +3x)又 1=f(0), f(x)在 R 上递增 ∴由 f(3x-x )>f(0)得:3x-x >0 ∴ 0<x<3 8.(江苏省启东中学 2008 年高三综合测试一)已知函数 y ? (1)求反函数 y ? f (2)判断 y ? f
?1 ?1
2 2 2 2 2

10 x ? 10? x ( x ? R) 2

( x)

( x) 是奇函数还是偶函数并证明。
x

解 (1)令 t ? 10 则 t ? 0 ∵t -2yt-1=0 ∴t=y+ y 2 ? 1 ∵10 =y+ y 2 ? 1 w.w. ∴f (x)=lg(x+ x 2 ? 1 )(x ? R) (2)? f = lg
1 x ? x ?1
2

2

x

-1

?1

(? x) ? lg(? x ? x 2 ? 1)
=-lg(x+ x 2 ? 1 )=-f (x)
-1

? f ?1 ( x) 为奇函数

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2011届高考数学复习6年高考4年模拟汇编试题4

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