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吉林省实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题


吉林省实验中学 2015---2016 学年度上学期

高二年级数学学科(理科)期中考试试题
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)方程 x3 ? xy 2 ? 2 x 所表示的曲线是 (A)一个圆 (B)一条直线 (C) 一个点和一条直线 (D) 一条直线和一个圆


(2)两条直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3, l2 : (a ?1) x ? (2a ? 3) y ? 2 互相垂直,则 a 的值是 (A) ?5 (B) 1 (C) 1 或 ? 3 (D) 0 或 ? 3

(3)已知点 P( x, y ) 在圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1上运动,则代数式

y 的最大值是 x
(D)- 3

(A)

3 3

(B)-

3 3

(C)

3

(4)圆 O1: x 2+y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2: x 2+y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 (A)相离 (B)相交 (C) 外切 (D) 内切

?x ? y ?1 ? 0 ? (5)已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 0 ?
(A) ?

1 2

(B) 0

(C) 1

(D)

1 2

2 2 (6) 若直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2) ? y ? 1 的两个交点关于直线 2 x ? y ? b ? 0 对称, 则 k,b 的

值分别为 (A) k ? ? (C) k ?

1 ,b ? 4 2

(B) k ?

1 ,b ? 4 2

1 b ? ?4 , 2 1 (D) k ? ? , b ? ?4 2

(7)已知直线 l 经过点 M(2,3),当圆(x-2)2+(y+3)2=9 截 l 所得弦长最长时,直线 l 的方程为 (A) x-2y+4=0 (B) 3x+4y-18=0 (C) y+3=0 (D) x-2=0 1 ,它的长轴长等于圆 x2+y2-2x-15=0 的 2

(8)已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 半径,则椭圆的标准方程是 x2 2 +y =1 4 x2 y2 + =1 16 12

(A)

(B)

(C)

x2 y2 + =1 4 3

((D)

x2 y2 + =1 16 4

(9) 已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 椭圆 C 上点 A 满足 AF2 ? F1F2 . 若 4 ???? ???? ? 点 P 是椭圆 C 上的动点,则 F1P ? F2 A 的最大值为

(A)

3 2

(B)

1 2

(C)

3 3 2

(D)

15 4

ABC , 点 E 是侧面 ( 10 )在三棱柱 ABC ? A 1 ? 底面 1B 1C 1 中,底面是正三角形,侧棱 AA

BB1CC1 的中心,若 AA1 ? 3 AB ,则直线 AE 与平面 BB1CC1 所成角的大小为
(A) 30 ? (11)椭圆 (B) 45 ? (C) 60 ? (D) 90 ? )

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( 16 4
(B) 11 (C)

(A) 3

10

(D) 2 2

x2 y 2 (12)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , F1 , F2 为其左、右焦点, P 为椭圆 C 上任一点, a b ??? ???? ? ,椭圆 C 的离心率 ?F1 PF2 的重心为 G ,内心 I ,且有 IG ? ? F1F2 (其中 ? 为实数)
(A)

1 2

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

3 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)过点 P(1, ?2) 且垂直于直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的直线方程为 ( 14 )若圆 C 的半径为 3 ,其圆心与点 (1,0) 关于直线 y ? x 对称,则圆 C 的标准方程为 ________ (15)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, O 是底面 ABCD 的中心, E 、 F 分别是 CC1 、 AD 的中点.那么异面直线 OE 和 FD1 所成角的余弦值为 (16) 椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左. 右焦点分别为 F1 , F2 , 焦距为 2c , 若y? 3 (x c ? ) a 2 b2

与椭圆 E 的一个交点 M 满足 ?MF 1F 2 ? 2?MF 2F 1 ,则该椭圆的离心率等于

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分)

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左、右焦点,过 F2 做椭圆的弦 AB . a2 b2 (Ⅰ) 求证: ?F1 AB 的周长是常数;
已知 F1 、 F2 为椭圆 (Ⅱ) 若 ?F1 AB 的周长为 16,且 AF 1 、 F 1 F2 、 AF2 成等差数列,求椭圆方程.

(18)(本小题满分 12 分) 已知点 C 的坐标是 (2,3) ,过点 C 的直线 CA 与 x 轴交于 A ,过点 C 且与直线 CA 垂 直的直线 CB 交 y 轴与点 B ,设点 M 为 AB 的中点,求点 M 的轨迹方程.

(19)(本小题满分 12 分)
?x ? y ? 2 ? 0 y?2 z? 已知 ? 的取值范围; ? x ? y ? 4 ? 0 ,求(Ⅰ) x ? 1 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

(Ⅱ) z ? x ? y ? 10y ? 25的最小值.
2 2

(20)(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?ACB ? 90 ,
?

E 是棱 CC1 上的动点, F 是 AB 中点 , AC ? BC ? 2 ,
AA 1 ? 4.
(Ⅰ)求证: CF ? 平面 ABB1 ; (Ⅱ)若二面角 A ? EB1 ? B 的大小是 45 ,求 CE 的长.
?

(21)(本小题满分 12 分) 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 20 ? 0, 直线 (Ⅰ)求证:直线 l 与圆 C 相交; (Ⅱ)计算直线 l 被圆 C 截得的最短的弦长.

l : ?2m ?1?x ? ?m ?1?y ? 6m ? 4 ? 0.

(22) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (1, 0) ,点 ( , 2) 在椭圆上. 2 a b 2

(I)求椭圆的离心率; (II)点 M 在圆 x2 ? y 2 ? b2 上,且 M 在第一象限, 过 M 作圆 x2 ? y 2 ? b2 的切线交椭圆于 P , Q 两 点,求证:△ PF2Q 的周长是定值.

吉林省实验中学 2015-2016 高二上学期期中考试

数学学科(理科)答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)D (2)C(3)A (4)B (5)D(6)B (7)D (8)C (9)B (10)A (11)C(12)A 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 3x ? y ? 1 (14) x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 (15)

15 5

(16) 3 ? 1

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17(本小题满分 10 分)解: (Ⅰ) 4 a (Ⅱ)? 4a ? 16

? a?4

? AF1 、 F1 F2 、 AF2 成等差数列 ? 4c ? 2a

? c?2

x2 y2 ? ?1 16 12 (18)解:设 A(a,0) , B(0, b) , M ( x, y ) ? CA ? CB

b?2 3

? 椭圆方程为

? CA ? CB ? 0

? 2a ? 3b ? 13 ? 0

? M 是 AB 的中点,? 2 x ? a , 2 y ? b ,? 4 x ? 6 y ? 13 ? 0 3 若用斜率乘积为 ? 1 ,需讨论分式的分母是否为 0 ,不讨论的扣 1 分(检验 M (1, ) 2
求出直线上的不扣分)

(19)解: (Ⅰ)三条直线的交点分别是 A(3,1), B(7,9), C (1,3)

?z ?

y ? (?2) ,表示点 N (?1,?2) 到 A, C 两点斜率的取值范围。 x ? (?1)

? K NA ?

3 5 , K NC ? 4 2

,? Z 的取值范围是 ? , ? ?4 2?

?3 5?

(Ⅱ)? Z 表示到可行域中的点的距离的平方最小值。? (0,5) 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离的 平方为

9 是最小的。 2

(20) (Ⅰ) 证明: ∵三棱柱 ABC ? A ∴ BB1 ? 1B 1C1 是直棱柱, 平面 ABC . 又∵ CF ? 平面 ABC ,∴ CF ? BB1 .

∵ ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 , F 是 AB 中点,∴ CF ? AB . 又∵ BB1 ∩ AB ? B , ∴ CF ? 平面 ABB1 . (Ⅱ)解:以 C 为坐标原点,射线 CA, CB, CC1 为 x, y, z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角 坐标系 C ? xyz , 则 C (0, 0, 0) , A(2, 0, 0) , B1 (0, 2, 4) . 设 E (0, 0, m) ,平面 AEB1 的法向量 n ? ( x, y, z) ,

?

则 AB1 ? (?2,2,4) , AE ? (?2,0, m) .

????

??? ?

???? ? ? ? ???? ? ??? ? ? AB1 ? n ? ?2 x ? 2 y ? 4 z ? 0, 且 AB1 ? n , AE ? n .于是 ? ??? ? ? ? ? AE ? n ? ?2 x ? 0 y ? mz ? 0.
mz ? x? , ? ? ? 2 所以 ? 取 z ? 2 ,则 n ? (m, m ? 4, 2) ? y ? mz ? 4 z . ? ? 2
ABC . ∵ 三棱柱 ABC ? A 1 ? 平面 1B 1C1 是直棱柱,∴ BB
? 又∵ AC ? 平面 ABC ,∴ AC ? BB1 .∵ ?ACB ? 90 ,

∴ AC ? BC .∵ BB1 ∩ BC ? B ,

∴ AC ? 平面 ECBB1 .∴ CA 是平面 EBB1 的法向量, CA ? (2,0,0) .

??? ?

??? ?

∵二面角 A ? EB1 ? B 的大小是 45 ,
?

??? ? ? 5 CA ?n 2m 2 5 ? ? ∴ cos 45 ? ??? . 解得 m ? . ∴ CE ? . ? ? ? 2 2 2 CA n 2 ? m2 ? (m ? 4)2 ? 22
(21) (I)证明:圆的标准方程 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25 ,圆心 (1,2) , ?? 2 分
2 2

直线经过定点 M ( ,

2 14 ) ?? 4 分 3 3
点 M 在圆的内部,则直线和圆相交。

2 14 ? ( ? 1) 2 ? ( ? 2) 2 ? 25 3 3

(II)当 CM 垂直弦 AB 时,弦长最短,由垂径定理得最小值为

8 10 3

(22) (I)根据已知,椭圆的左右焦点为分别是 F1 (?1,0) , F2 (1, 0) , c ? 1 , ∵H (

3 2 , 2) 在椭圆上,代入椭圆方程得: 2

a ? 3 , b ? 2 2 ,椭圆的方程是

x2 y 2 1 ? ? 1 , e ? …(6 分) 3 9 8 x12 y12 ? ? 1, 9 8

(II)方法 1:设 P ? x1 , y1 ? , Q( x2 , y2 ) ,则

x12 x PF2 ? ? x1 ? 1? ? y ? ? x1 ? 1? ? 8(1 ? ) ? ( 1 ? 3)2 , 9 3
2 2 1 2

∵ 0 ? x1 ? 3 ,∴ PF2 ? 3 ? 在圆中, M 是切点,

x1 , 3

∴ PM ? | OP | ? | OM | ?
2 2

x12 ? y12 ? 8 ? x12 ? 8(1 ?

x12 1 ) ? 8 ? x1 , 9 3

∴ PF2 ? PM ? 3 ?

1 1 x1 ? x1 ? 3 , 3 3

同理 QF2 ? QM ? 3 ,∴ F2 P ? F2Q ? PQ ? 3 ? 3 ? 6 , 因此△ PF2Q 的周长是定值 6 . 方法 2:设 PQ 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) , …………(12 分)

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 x2 ,得 (8 ? 9k ) x ? 18kmx? 9m ? 72 ? 0 ?1 ? ? 8 ?9
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

9m 2 ? 72 ? 18km x x ? , , 1 2 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

2 2 ∴ | PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

? 1? k

2

?18km 2 9m2 ? 72 ( ) ? 4? 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

? 1? k 2

4 ? 9 ? 8 ? (9k 2 ? m2 ? 8) , (8 ? 9k 2 )2
m 1? k
2

∵ PQ 与圆 x 2 ? y 2 ? 8 相切,∴ ∴ | PQ |? ?

? 2 2 ,即 m ? 2 2 1 ? k 2 ,

6km , 8 ? 9k 2
2 2 1 2

x12 x ∵ PF2 ? ? x1 ? 1? ? y ? ? x1 ? 1? ? 8(1 ? ) ? ( 1 ? 3)2 , 9 3
x1 x 1 ,同理 QF2 ? (9 ? x2 ) ? 3 ? 2 , 3 3 3 x ? x2 6km 6km 6km ? ? 6? ? ? 6, ∴ F2 P ? F2Q ? PQ ? 6 ? 1 2 2 3 8 ? 9k 8 ? 9k 8 ? 9k 2
∵ 0 ? x1 ? 3 ,∴ PF2 ? 3 ? 因此△ PF2Q 的周长是定值 6 . …………(12 分)


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