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big【强烈推荐】高中数学知识点总结


第一章 计数原理 1.1 分类加法计数与分步乘法计数 分类加法计数原理: 完成一件事有两类不 同方案, 在第 1 类方案中有 m 种不同的方法, 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法,那么完 成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。分类 要做到“不重不漏” 。 分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步 骤。做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完

成这件事共有 N=m×n 种不同的方法。分步要做到“步骤 完整” 。 n 元集合 A={a1,a2?,an}的不同子集有 2n 个。 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)

个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 (arrangement)。 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的排列数,用符号Am 表示。 n 排列数公式:
Am = n n! = n n ? 1 n ? 2 ? (n ? m + 1) n?m !

n 个元素的全排列数
An = n! n

规定:0!=1 1.2.2 组合 一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合(combination)。

从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素 n m 中取出 m 个元素的组合数, 用符号Cn 或 m 表示。 组合数公式: m ∵ Am = Cn ? Am n m
A ∴ C = = A m! 规定: =
m n m n m m

n! n n ? 1 n ? 2 ? (n ? m + 1) = n?m ! m!

组合数的性质:
m n?m Cn = Cn

(“构建组合意义”——“殊途同归”) (杨辉三角)
k?1 k kCn = nCn?1 m?k k m k *Cn × Cn?k = Cn × Cm

m m m?1 Cn+1 = Cn + Cn

1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理(binomial theorem)
0 1 k n (a + b)n = Cn an + Cn an?1 b + ? + Cn an?k bk + ? + Cn bn

n∈N*)

k 其中各项的系数Cn (k∈{0,1,2,?,n})叫做二项式系数(binomial coefficient); k 式中的Cn an?k bk 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示通项展开式的第 k+1 项: k Tk+1 = Cn an?k bk

*注意二项展开式某一项的系数与这一项的 二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 *表现形式的变化有时能帮助我们发现某些 规律!

(1) 对称性 (2) 当 n 是偶数时,共有奇数项,中间的一 项Cn 取得最大值; 当 n 是奇数时,共有偶数项,中间的两项 Cn ,Cn 同时取得最大值。 (3) 各二项式系数的和为 0 1 2 k 2n = Cn + Cn + Cn + ? + Cn + ? + n Cn (4) 二项式展开式中,奇数项二项式系数之 和等于偶数项二项式系数之和: 0 2 4 1 3 5 Cn + Cn + Cn + ? = Cn + Cn + Cn + ? (5) 一般地, r r r r Cr + Cr+1 + Cr+2 + ? + Cn?1 = r+1 Cn (n > )
n ?1 2 n +1 2 n +1 2

第二章 随机变量及其分布

2.1 离散型随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随 机变量(random variable)。 随机变量和函数都是一种映射,随机变量 把随机试验的结果映为实数,函数把实数映 为实数。试验结果的范围相当于函数的定义 域,随机变量的取值范围相当于函数的值域。 所有取值可以一一列出的随机变量,称为 离散型随机变量(discrete random variable)。 概率分布列(probability distribution series), 简称为分布列(distribution series)。 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

也可用等式表示: P X = xi = pi ,i = 1,2, ? ,n 根据概率的性质,离散型随机变量的分布列 具有如下性质: (1) pi≥0,i=1,2,?,n;

(2)

n i=1 pi

=1

随 机 变 量 X 的 均 值 (mean) 或 数 学 期 望 (mathematical expectation): E X = x1 p1 + x2 p2 + ? + xi pi + ? xn pn 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 随机变量 X 的方差(variance)刻画了随机变 量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度
n

D X =
i=1

(xi ? E(X))2 pi

其算术平方根 D(X)为随机变量 X 的标准差 (standard deviation)。 E aX + b = aE X + b D aX + b = a2 D X

若随机变量 X 的分布具有下表的形式,则称 X 服从两点分布(two-point distribution),并 称 p=P(X=1)为成功概率。(两点分布又称 0-1

分布。由于只有两个可能结果的随机试验叫 伯努利试验, 所以两点分布又叫伯努利分布) X 0 1 P 1-p p 若 X 服 从 两 点 分 布 , 则 E(X) = p D(X) = p(1 ? p)



一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则 = k = X
C k C n ?k M N ?M Cn N

,k=0,1,2,?,m

0 1 m ? m n?m 0 n?0 1 n?1 CM CN?M CM CN?M CM CN?M P ? n n n CN CN CN 其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n, M,N∈N* 如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式,

则称随机变量 X 服从超几何分布 (hypergeometric distribution)。 2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率 一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0, 称 P(AB) P BA = P(A) 为在事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的条 件概率(conditional probability)。 如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P B ∪ C A = P B A + P(C|A) 2.2.2 事件的相互独立性 设 A,B 为两个事件,若 P(AB) = P(A)P(B) 则称事件 A 与事件 B 相互独立(mutually independent)。 可以证明,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与,与 B,与也都相互独立。

2.2.3 独立重复试验与二项分布 一般地,在相同条件下重复做的 n 次试验 称为 n 次独立重复试验(independent and repeated trials)。 P A1 A2 ? An = P A1 P(A2 ) ? P(An ) 其中 Ai (i=1,2,?,n)是第 i 次试验的结 果。 一般地,在 n 次独立重复试验中,用 X 表 示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p,则
k P X = k = Cn pk (1 ? p)n?k , k

= 0,1,2, ? ,n 此时称随机变量 X 服从二项分布(binomial distribution),记作X~B(n,p),并称 p 为成 功概率。

若X~B(n,p) ,则
n

E X =
k=0

k kCn pk qn?k n k?1 npCn?1 pk?1 qn?1?(k?1) k=1 n?1

= = np

k Cn?1 pk qn?1?k k=0

= np(p + q)n?1 = np D(X) = np(1 ? p) *随机变量的均值是常数,而样本的平均值 是随着样本的不同而变化的,因此样本的平 均值是随机变量。 随机变量的方差是常数,而样本的方差是随 着样本的不同而变化的,因此样本的方差是 随机变量。

2.4 正态分布 一般地,如果对于任何实数 a,b (a<b), 随机变量 X 满足 (x ?μ)2 1 ? φμ,σ x = e 2σ 2 ,x 2πσ ∈ ( ? ∞, + ∞)
b

P a < ≤ =
a

φμ,σ (x) dx

则 称 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 (normal distribution)。 正态分布完全由参数 μ 和 σ 确 定,记作 N(μ,σ2)。如果随机变量 X 服从正 态分布,则记为 X~ N(μ,σ2). φμ,σ (x)的图像称为正态分布密度曲线,简 称正态曲线。 (参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的 特征数,可用样本的均值去估计;σ 是衡量 随机变量总体波动大小的特征数,可用样本 的标准差去估计。) 标准正态分布:X~N(0,1)

经验表明,一个随机变量如果是众多的、互 不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之 和,它就服从或近似服从正态分布。 正态曲线的特点: (1) 曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; (2) 曲线是单峰的,它关于直线 x= μ 对称; (3) 曲线在 x=μ 处达到峰值
1 σ 2π



(4) 曲线与 x 轴之间的面积为 1。 *σ 越小,曲线越“高瘦” ,表示总体分布 越集中;σ 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体 分布越分散; 若 X~ N(μ,σ2),则对于任何实数 a>0,
μ+a

P μ ? a < ≤ + =
μ?a

φμ,σ (x) dx

该面积随着 σ 的减少而变大。 这说明 σ 越小, X 落在区间(μ ? a,μ + a]的概率越大,即 X 集中在 μ 周围概率越大。 特别有
P μ ? σ < ≤ + σ = 0.6826 P μ ? 2σ < ≤ + 2σ = 0.9544 P μ ? 3σ < ≤ + 3σ = 0.9974

在实际应用中,通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量 X 只取 μ ? 3σ < ≤ + 3σ 之间的值,并简称之为原则。

第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想 回归分析(regression analysis)是对具有相关 关系的两个变量进行统计分析的一种常用 方法。

对于一组具有线性相关关系的数据

x1 ,y1 , x2 ,y2 , ? ,(xn ,yn ) b=
n i=1 (x i ?x )(y i ?y ) n 2 i=1 (x i ?x )

=

n i=1 x i y i ?nx y n 2 2 i=1 x i ?nx

a = y ? bx 其中x =
1 n n i=1 xi

, = y

1 n

n i=1 yi

, ,y)称 (x

为样本点的中心,回归直线过样本点的中心。 回归方程:y = bx + a

线性回归模型: y = bx + a + e E e = 0,D e = σ2 其中 a 和 b 为模型的未知参数,e 是 y 与 bx+a 之间的误差。通常 e 为随机变量,称为 随机误差(random error)。 与函数关系不同,在回归模型中,y 的值 由 x 和随机因素 e 共同确定,即 x 只能解释 部分 y 的变化, 因此我们把 x 称为解释变量,

把 y 称为预报变量。 随机误差 e 的方差σ2 越小,用 bx+a 预报 真实值 y 的精度越高。随机误差是引起预报 值与真实值 y 之间存在误差的原因之一, 其大小取决于随机误差的方差。 另一方面,b和a为斜率和截距的估计值, 它们与真实值 a 和 b 之间也存在误差,这种 误差是引起预报值y与真实值 y 之间存在误 差的另一个原因。 由 于 随 机 误 差 e = y ? (bx + a) , 所 以 e = y ? y是 e 的估计量。 对于样本点 x1 ,y1 , x2 ,y2 , ? ,(xn ,yn ) 它们的随机误差为 ei = yi ? bxi ? a,i = 1,2, ? ,n 其估计值为 ei = yi ? yi = yi ? bxi ? a,i = 1,2, ? ,n

ei 称为相应于点 xi ,yi 的残差(residual)。 可以通过残差发现原始数据中的可疑数据, 判断所建立模型的拟合效果。 以样本编号为横坐标,残差为纵坐标,可作 出残差图。 检查残差较大的样本点,确认采集该样本点 过程中是否有人为错误, 如有, 应予以纠正, 再重新利用线性回归模型拟合数据;如没有, 则需寻找其它原因。 另外,对于已经获取的样本数据, n 2 i=1(yi ? yi ) R2 = 1 ? n 2 i=1(yi ? y) 中的 n (yi ? y)2 为确定的数。 因此R2 越大, i=1 意味着残差平方和 n (yi ? yi )2 越小,即模 i=1 型拟合效果越好; 2 越小, R 残差平方和越大, 即模型拟合效果越差。 R2 表示解释变量对于预报变量变化的贡献 率,R2 越接近于 1,表示回归的效果越好。 一般地,建立回归模型的基本步骤:

(1) 确定研究对象,明确哪个变量是解释变 量,哪个变量是预报变量; (2) 画出解释变量和预报变量的散点图,观 察它们之间的关系(如是否存在线性关系 等) (3) 有经验确定回归方程的类型(如我们观 察到数据呈线性关系,则选用线性回归方 程) (4) 按一定规则(如最小二乘法)估计回归方 程中的参数; (5) 得出结果后分析残差图是否有异常(如 个别数据对应残差过大,残差呈现不随机 的规律性等)。若存在异常,则检查数据是 否有误,或模型是否合适等。

回归模型的适用范围: (1) 回归方程只适用于我们所研究的样本 的总体; (2) 我们所建立的回归方程一般都有时间 性; (3) 样本取值的范围会影响回归方程的适

用范围; (4) 不能期望回归方程得到的预报值就是 预报变量的精确值。

一般地,比较两个函数模型的拟合程度的步 骤如下: (1) 分别建立对应于两个模型的回归方程 y1 = f(x,a)与y2 = g(x,b) , 其中a和b分 别是参数 a 和 b 的估计值 (2) 分别计算两个模型的 R2 值 (3) 若R2 > R2 ,则模型 1 比模型 2 拟合效 1 2 果更好;若R2 < R2 ,则模型 2 比模型 1 1 2 拟合效果更好。

3.2 独立性检验的基本思想 不同的“值”表示不同类别的变量叫做分类 变量。列出两个分类变量的频数表称为列联

表(contingency table)。常用等高条形图展示 列联表数据的频率特征。 利用随机变量 K2 来判断 “两个分类变量有关 系 ” 的 方 法 称 为 独 立 性 检 验 (test of independence)。 反证法原理与独立性检验原理的比较 反 证 法 在假设 H0 下, 如果推出一个矛盾, 原理 就证明了 H0 不成立 独 立 性 在假设 H0 下,如果出现一个与 H0 检 验 原 相矛盾的小概率事件,就推断 H0 理 不成立,且该推断犯错误的概率 不超过这个小概率

一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们 的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数 列联表(称为 2×2 列联表)为: y1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d

a+c b+d a+b+c+d 总计 假设 H0: X 与 Y 没有关系, X 与 Y 独立。 即 则有 P(XY)=P(X)P(Y) ; 根据频率近似于概率,故有 a a+b+c+d a+b a+c ≈ × a+b+c+d a+b+c+d 化简得 ad ≈ bc 因 此 , |ad ? bc| 越 小 , 两 者 关 系 越 弱 ; |ad ? bc|越大,两者关系越强; 基于以上分析,构造随机变量 K =
2 n(ad ?bc )2 a+b c+d a+c (b+d)

, 其 中

n = a + b + c + d为样本容量 K2 的值越小则关系越小, 2 的值越大则关系 K 越大。(实际应用中通常要求 a,b,c,d 都 不小于 5) 计算 K2 的观测值 k 并与 K2 作比较。 统计学研究发现,在 H0 成立的情况下, P K 2 ≥ 6.635 = 0.01 即在 H0 成立的情况下,K2 的观测值超过

6.635 的概率非常小,近似为 0.01,是一个 小概率事件。 若观测值 k 大于 6.635,则有理由判定 H0 不 成立,即“X 与 Y 有关系” 。但这种判断会犯 错误,犯错误的概率不会超过 0.01 . *(这里概率计算的前提是 H0 成立,即 H0: 两个分类变量没有关系) 若要推断的论述为 H1: 与 Y 有关系” “X 。可 以通过频率直观地判断两个条件概率 P(Y=y1|X=x1)和 P(Y=y1|X=x2)是否相等。如果 判断它们相等,就意味着 X 和 Y 没有关系; 否则就认为它们有关系。由上表可知,在 X=x1 的情况下,Y=y1 的频率为 的情况下,Y=y1 的频率为
c c+d a a+b

;在 X=x2

。因此,如果
a a+b

通过直接计算或等高条形图发现



c c+d



差很大,就判断两个分类变量之间有关系。 利用独立性检验原理可以进一步给出推断 “两个分类变量有关系”犯错误的概率。具

体做法是: (1) 根据实际问题的需要确定容许推断“两 个分类变量有关系” 犯错误概率的上界 α , 然后查下表确定临界值 k0. P(K 2 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.0 ≥ k 0 ) 50 40 25 15 10 05 02 01 00 01 5 0 5 k0 0. 0. 1. 2. 2. 3. 5. 6. 7. 10. 45 70 32 07 70 84 02 63 87 82 5 8 3 2 6 1 4 5 9 8 (2) 利用公式计算随机变量 K2 的观测值 k. (3) 如果 K2 的观测值 k 大于判断规则的临界 值 k0,即 k≥k0,就推断“X 与 Y 有关系” , 这种推断犯错误的概率不超过 α ;否则, 就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下 不能推断“X 与 Y 有关系” ,或者在样本数 据中没有发现足够证据支持结论“X 与 Y 有关系” 。 按照上述规则,把“两个分类变量之间没有 关系”错误地判断为“两个分类变量之间有 关系”的概率不超过P K 2 ≥ k 0 .

定义:

a c W= ? a+b c+d

则 n a + b (c + d) K =W × a + c (b + d) 若“X 和 Y 没有关系”则有 P K 2 ≥ k 0 = 0.01 有K 2 ≥ k 0 可推出
2 2

W≥ 即可取 w0 =

a + c (b + d) k0 × n a + b (c + d) a + c (b + d) k0 × n a + b (c + d)

于是有以下判断规则: 当 W 的观测值w > w0 时,就判断“X 和 Y 有关系” ; 否则, 判断 “X 和 Y 没有关系” 。 这里w0 为正实数,且满足在“X 和 Y 没有关

系”的前提下 P W 2 ≥ w0 = 0.01


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