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三台县芦溪中学2011级高二(下)期末复习数学测试题(概率统计、立体几何)


三台县芦溪中学 2011 级高二(下)期末复习 级高二( 数 学 测 试 题 ( 一)

A.

3 3

B.1

命题人:邓少奎
本试卷分试题卷和答题卷两部分.第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.全 卷满分 100 分.考试时间:100 分钟.

C. 2



D. 3

选择题) 第 1 卷(选择题)
一,选择题(本题有 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分 1.空间四点, "三点共线"是"四点共面"的( ) A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2. 正三棱锥 S — ABC 的侧棱长和底面边长相等,如果 E,F 分别为 SC,AB 的中点,那么 异面直线 EF 与 SA 所成角为 ( ) B. 60 0 C. 45 0 D. 30 0 A. 90 0 3.已知 a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),且 sinα≠cosα,则向量 a+b 与 a-b 的夹角是 ( ) A.0° B.30° C.60° D.90° 4.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相 互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直 线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与
.

1 2 3 ξ 8. (理)已知随机变量 ξ 的分布列是 p 0.4 0.2 m 则 Dξ 和 Eξ 分别为 ( ) (A)2 和 2 (B) 0 和 1 (C) 1.8 和 1 (D)0.8 和 2 (文)某校有高一学生 300 人,高二学生 270 人,高三学生 210 人, 现教育局督导组欲用分层抽样 的方法抽取 26 名学生进行问卷调查,则下列判断正确的是 ( ) A. 高一学生被抽到的概率最大; B. 高三学生被抽到的概率最大; C. 高三学生被抽到的概率最小; D. 每名学生被抽到的概率相等 9. 如图,在半径为 3 的球面上有 A,B,C 三点, ∠ABC =90°, BA = BC , 球心 O 到平

面 ABC 的距离是

3 2 ,则 B,C 两点的球面距离是 2
B.

( D.2 π

)

A.

π
3

π

C.

4 π 3

10. 设 α.β.γ 为平面,m.n.l 为直线,则 m⊥β 的一个充分条件是 ( ) A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l B.α∩γ=m ,α⊥γ,β⊥γ C.n⊥α ,n⊥β,m⊥α D.α⊥β,β⊥γ,m⊥α 11. 三位同学乘同一列火车,火车有 10 节车厢,则至少有 2 位同学上了同一车厢的概率为 ( ) A.

另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④

(

)

29 200

B.

7 125

C.

7 18

D.

7 25

5. 三棱锥 P ABC 中,M 为 BC 的中点, PA ,PB ,PC 为基底, AM 可表示为 以 则 ( A. AM = PA PB PC C. AM = PA B. AM = PB + PC PA D. AM =

)

12.(文科)若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

(

)

(A)

1 1 PB PC 2 2

1 1 PB + PC PA 2 2

2 6

(B)

2 3

(C)

3 3

(D)

2 3

12. (理科)将半径都为 1 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高 的最小值为(
3+2 6 3 A.

6. 甲,乙两 人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 0.5, 乙解决这个问题的概率是 0.4,那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 ( ) A . 0.2 B.0.3 C.0.8 D. 0.9 7. 若正四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 的底面边长为 1, AB1 与底面 ABCD 成 60°角,则 A1C1 到 底面 ABCD 的距离为 ( )

)
2+ 2 6 3 4+ 2 6 3 4 3+2 6 3 D.

B.

C.

第Ⅱ卷 (非选择题
期末测试题 第 1 /4 页 期末测试题 第 2 /4 页

.共 52 分)

小题, 二.填空题:本大题有 4 小题 每小题 3 分, 共 12 分. 填空题:
13.与向量 a=(2,-1,2)共线,且满足方程 ax= -18 的向量 x= . 14.在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每三个点可以构成一个三角形,如果随即选择 三个点,刚好构成直角三角形的概率是______. 15.(理)一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中率均为 0.6,现共有 4 发子弹, 命中后尚余子弹数 ξ 的期望为_____.

19. (本小题满分 10 分)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人,其中 有 6 名女工人.现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲,乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核. (Ⅰ)求从甲,乙两组各抽取的人数; (Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (Ⅲ)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (理科)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人,

如果每 1 粒发芽的概率为 (文) 某一批花生种子, 芽的概率是

4 , 那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发 5

现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲,乙两组中共抽取 3 名工人进行技 术考核. (I)求从甲,乙两组各抽取的人数; (II)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (III)记 ξ 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ξ 的分布列及数学期望.

16.已知 m,n 是直线,α,β,γ 是平面,给出下列命题: ①若 α⊥β,α∩β=m,n⊥m ,则 n⊥α 或 n⊥β; ②若 α‖β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 m‖n; ③若 m 不垂直于 α,则 m 不可能垂直于 α 内的无数条直线; ④若 α∩β=m,n‖m,且 nα,nβ,则 n‖α 且 n‖β. 其中正确的命题序号是 .(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

三. 解答题: 解答题: 本大题有 4 小题, 共 40 分. 解答写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 小题 解答写出文字说明 证明过程或演算步骤
17.(本小题满分 10 分)某学生语,数,英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概 率:语文为 0.9,数学为 0.8,英语为 0.85,问一次考试中: (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少?

20.如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中, ∠ABC = 60°, PA = AC = a, PB = PD = 2a, 点 E 在 PD 上,且 PE:ED= 2: 1. (Ⅰ)证明 PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求 D 到面 EAC 的距离: (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF‖平面 AEC?证明你的结论. .

18.(本小题满分 10 分) (本小题满分 10 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 P ABCD,PA=AD=2,点 M,N 分别在棱 PD,PC 上,且 PC⊥平面 AMN. (1)求证:AM⊥PD; (2)求二面角 P-AM-N 的大小; M N (3)求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小.
A B D

C

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芦溪中学高二(下)期末复习数学测试题(一)参考答案
一.选择题 . 1.C 2.C 3.D 4.D【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D 5.D 6.B 7. D 依题意, ∠B1 AB = 60 ,如图, BB1 = 1× tan 60 =
°

= P( A) P( B) P(C ) + P( A) P( B) P(C ) + P( A) P( B) P(C ) =[1-P(A)]P(B)P(C)+P(A)[1-P(B)]P(C)+P(A)P(B)[1-P(C)] =(1-0.9)×0.8×0.85+0.9×(1-0.8)×0.85+0.9×0.8×(1-0.85) =0.329. 答:恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329. 18.证明(1)∵PC⊥平面 AMN ∴PC⊥AM 又∵PA⊥底面 ABCD ∴PA⊥CD ∵ABCD 是正方形 ∴ CD⊥AD 故 CD⊥平面 AMN ∴ AM⊥CD ∴AM⊥平面 PCD ∴ AM⊥PD (2)∠PMN 为二面角 P-AM-N 的平面角 ,∠PMN= arccos θ =

°

3 ,故选 D.

8.D 9. B【解析】∵AC 是小圆的直径.所以过球心 O 作小圆的垂线,垂足 O'是 AC 的中点. 【解析】 O'C= 3 (
2

3 ; 3

3 2 2 3 2 π ,AC=3 2 ,∴BC=3,即 BC=OB=OC.∴ ∠BOC = , ) = 2 2 3

(3) arcsin

则 B,C 两点的球面距离= 10.C

π
3

3 3

×3 = π D

19. (文科)解: (I)由于甲,乙两组各有 10 名工人,根据分层抽样原理,要从甲,乙两组中 共抽取 4 名工人进行技术考核,则从每组各抽取 2 名工人.
3

11.D 解:3 人上火车的方式即基本事件的总数有 10×10×10= 10 个,仅有两人上了同一节车 厢另一人上了别的车厢的方式有 C 3 C10 C 9 种,3 人上了同一节车厢的方式有 C10 种,则至少有
2 C 3 C1 C 1 + C1 7 10 9 10 2 位同学上了同一车厢的概率为 = . 3 25 10
2 1 1 1

(II)记 A 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则 P ( A) = (III) Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人, i = 0,2 1,

1 1 C4C6 8 = 2 15 C10

B j 表示事件:从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人, j = 0,2 1, B 表示事件:抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人. Ai 与 B j 独立, i,j = 0,2 ,且 B = A0 B2 + A1 B1 + A2 B0 1,


12.(文科)B. 解析:由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个

2 ,故正八面 同底同高同棱长的正四棱锥) ,所有棱长均为 1,其中每个正四棱锥的高均为 2
体的体积为 V = 2V正四棱锥 =2 × ×12 × 12. (理科)C 二. 13 . (-4,2,-4) ; 14.

1 3

2 2 , 故选 B. = 2 3 48 125

P ( B ) = P ( A0 B2 + A1 B1 + A2 B0 ) = P ( A0 ) P ( B2 ) + P ( A1 ) P ( B1 ) + P ( A2 ) P ( B0 )

1 3

15 .理 2.376 ;文

16.②④

三. 17.解 分别记该生语,数,英考试成绩排名全班第一的事件为 A,B,C,则 P(A)=0.9, P(B)=0.8,P(C)=0.85. (1) P( A B C ) = P( A) P( B) P(C ) =[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] =(1-0.9)×(1-0.8)×(1-0.85) =0.003 答:三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003. (2)P( A B C + A B C + A B C )= P( A B C ) + P( A B C ) + P( A B C )
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1 1 1 1 C42 C42 C4C6 C6C4 C62 C62 31 = 2 2 + 2 2 + 2 2= C10 C10 C10 C10 C10 C 10 75

(理科)解: 理科) (I)由于甲,乙两组分别有 10 名工人,5 名工人,根据分层抽样原理,要从甲, 乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核,则从甲,乙两组分别抽取 2 名工人和 1 名工人. (II) 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 P =
1 1 C4 C6 8 = 2 C10 15

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(III) ξ 的可能取值为 0,1,2,3
1 1 1 1 1 C4C6 C3 C42 C2 28 C42 C3 6 P(ξ = 0) = 2 1 = , P(ξ = 1) = 2 1 + 2 1 = , C10 C5 75 C10 C5 C10 C5 75 1 C62 C2 10 31 1= , P (ξ = 2) = 1 P (ξ = 0) P (ξ = 1) P (ξ = 3) = 2 C10 C5 75 75

BF = BP = PF = (

3 1 3 1 a, a, a ) + ( aλ , aλ ,aλ ) 2 2 2 2

=(

3 1 a(λ 1), a (1 + λ ), a(1 λ ). 2 2

P(ξ = 3) =

令 BF

= λ1 AC + λ2 AE 得

ξ 的分布列为 ξ
p 期望 Eξ = 0 × 0 6 75 1 28 75 2 10 75 3 31 75

3 3 a(λ 1) = aλ1 2 2
1 1 2 a (1 + λ ) = aλ 1 + aλ 2 , 2 2 3
a (1 λ ) = 1 aλ 2 . 3

λ 1 = λ1 ,


1 + λ = λ1 +

4 λ2 3

6 28 10 31 141 47 + 1× + 2 × + 3 × = = = 1.88 75 75 75 75 75 25

1 1 λ = λ2 . 3

20.(Ⅰ)证明 因为底面 ABCD 是菱形, ∠ABC=60, 所以 AB=AD=AC=a.

解得 λ = 即

1 1 3 , λ1 = , λ 2 = . 2 2 2
BF = 1 3 AC + AE . 共面. 2 2

λ=

a 在△PAB 中,由 PA+AB =2
2 2

2

2 =PB

1 时, 2

知 PA⊥AB. 同理, PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (4 分) (Ⅱ)解.可用按比例转化法.向量法.体积法求得 D 到面 EAC 的距离为

又 BF 平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的时,BF‖平面 AEC. 解法二 当 F 是棱 PC 的中点时,BF‖平面 AEC.证明如下. 证法一 取 PE 的中点 M,连结 FM,则 FM‖CE. ①

3a (9 分) 4

(Ⅲ)解法一 以 A 为坐标原点,直线 AD,AP 分别为 y 轴,z 轴,过 A 点垂直平面 PAD 的直线 为 x 轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为 A(0,0,0),B( 3 a, 1 a,0), C ( 3 a, 1 a,0), 2 2 2 2 D(0,a,0),P(0,0,a), E(0,

1 PE = ED, 知 E 是 MD 的中点. 2 连接 BM,BD,设 BD ∩ AC=O,则 O 为 BD 的中点.
由 EM = 所以 BM‖OE. ② 证法二 由①,②知,平面 BFM‖平面 AEC.

2 1 a, a ). 3 3

因为 BF = BC + 1 CP = AD + 1 (CD + DP ) 2 2 = AD + =

1 3 1 3 CD + DE = AD + ( AD AC ) + ( AE AD ) 2 2 2 2

2 1 3 1 所以 AE = (0, a, a), AC = ( a, a,0), 3 3 2 2

3 1 AE AC . 2 2

所以 BF , AE , AC 共面.

AP = (0,0, a ), PC = (

3 1 a, a,a ), BP = ( 3 a, 1 a, a ) 2 2 2 2
3 1 aλ , aλ ,aλ ), 其中 0<λ<1,则 2 2

又 BF 平面 AEC,从而 BF‖平面 AEC.

设点 F 是棱 PC 上的点, PF = λ PC = (

期末测试题

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立体几何与概率统计

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