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贵州省贵阳市2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)


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贵州省贵阳市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男 女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是() A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 2. (4 分)“xy=0”是“x +y =0”的() A. 充分不必要条件 C. 充要条件
2 2

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. (4 分)把二进制 1011(2)化为十进制数,则此数为() A. 8 B. 10 C. 11
2

D. 16

4. (4 分)已知命题 p:? x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:? x∈R,x >0,则() A. 命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧q 是真命题 C. 命题 p∨(¬q)是假命题 D. 命题 p∧(¬q)是真命题

5. (4 分)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线

2

的渐近线的距离是()

A.

B.

C. 1

D.

6. (4 分)如图是 1,2 两组各 7 名同学体重(单位:kg)数据的茎叶图,设 1,2 两组数据 的平均数依次为 (注: 标准差 s= xn 的平均数) 和 ,标准差依次为 s1 和 s2,那么() , 其中 为 x1, x2, ?,

A. C.

> <

,s1>s2 ,s1>s2

B. D.

> <

,s1<s2 ,s1<s2

7. (4 分)已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是()

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A.

B.

C.

D.

8. (4 分)已知回归直线通过样本点的中心,若 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y 1.1 3.1 4.9 6.9 则 y 与 x 的线性回归方程 A. ( ,4) = x+ 所表示的直线必过点() C. (2,2) D. ( ,0)

B. (1,2)

9. (4 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

A. 162

B. 200

C. 242
2 2

D. 288

10. (4 分)已知曲线 C 的方程是(x﹣ |PQ|的最大值是() A. 6 B. 8

) +(y﹣

) =8,若点 P,Q 在曲线 C 上,则

C. 8

D. 6

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)双曲线 的离心率为.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 12. (4 分)已知抛物线 y =ax 过点
2

,那么点 A 到此抛物线的焦点的距离为.

13. (4 分)下列四个结论,其中正确的有. ①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等; ②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的平均数改变,方差不改变; ③一个样本的方差是 s =
2

[(x1﹣3) +(x2﹣3) +?+(x20﹣3) ],则这组样本数据的总

2

2

2

和等于 60; 2 2 ④数据 a1,a2,a3,?,an 的方差为 δ ,则数据 2a1,2a2,2a3,?,2an 的方差为 4δ .

14. (4 分)已知椭圆 的面积是.

的焦点为 F1、F2,P 为椭圆上一点∠F1PF2=90°,则△PF1F2

15. (4 分)地面上有两个同心圆(如图) ,其半径分别为 3、2,1 若向图中最大内投点且点 投到图中阴影区域内的概率为 ,则两直线所夹锐角的弧度数为.

三、解答题(本题共 5 小题,共 40 分) 16. (8 分)某校在自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,被抽取学生的成 绩均不低于 160 分,且低于 185 分,如图是按成绩分组得到的频率分布图的一部分(每一组 均包括左端点数据) ,且第三组、第四组、第五组的频数之比一次为 3:2:1. (1)请完成频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩较高的第三组、第四组、第五组中 用分层抽样 方法抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第三、四、五组每组各抽取多少名学生 进入第二轮面试.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 17. (8 分)甲袋中有 1 只白球,2 只红球,3 只黑球;乙袋中有 2 只白球,3 只红球,1 只 黑球.现从两袋中各取一个球. (1)求取得一个白球一个红球的概率; (2)求取得 两球颜色相同的概率. 18. (8 分)如图,6 0°的二面角的棱上有 A,B 两点,线段 AC,BD 分别在这个二面角的两 个半平面内,且 AC⊥AB,BD⊥AB,已知 AB=4,AC=6,BD=8. (1)用向量 (2)求| 、 、 表示 ;

|的值.

19. (8 分)如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB 垂直于 AD 和 BC,侧棱 SA⊥底面 ABCD,且 SA=AB=BC=1,AD= . (1)求四棱锥 S﹣ABCD 的体积; (2)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值.

20. (8 分)椭圆

+

=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,3) ,离心率 e= .

(1)求椭圆方程; (2)若直线 l:y=kx﹣3 与椭圆交于不同的两点 M,N.若满足|AM|=|AN|,求直线 l 的方程.

贵州省贵阳市 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 1. (4 分)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男 女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是() A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 考点: 分层抽样方法. 专题: 阅读型. 分析: 若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样. 解答: 解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生 视力情况差异不大. 了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理. 故选:C. 点评: 本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题. 2. (4 分)“xy=0”是“x +y =0”的() A. 充分不必要条件 C. 充要条件
2 2

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 2 2 分析: 因为 x +y =0,可得 x,y=0,再根据充要条件的定义进行判断; 解答: 解:∵xy=0, 或者 x=0,或 y=0 或 x=y=0; 2 2 ∵x +y =0,可得 x=y=0, 2 2 ∵“x +y =0”? “xy=0”; 2 2 ∴“xy=0”是“x +y =0”的必要不充分条件, 故选 B; 点评: 此题主要考查充分条件和必要条件的定义, 是一道基础题, 考查的知识点比较单一. 3. (4 分)把二进制 1011(2)化为十进制数,则此数为() A. 8 B. 10 C. 11

D. 16

考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 将二进制数转化为十进制数,可以用每个数位上的数字乘以对应的权重,累加后, 即可得到答案. 解答: 解:将二进制数 1100 化为十进制数为: 3 1100(2)=1×2 +1×2+1 =11. 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是不同进制之间的转换, 其中其它进制转为十进制方法均为累加 数字×权重,十进制转换为其它进制均采用除 K 求余法.

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4. (4 分)已知命题 p:? x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:? x∈R,x >0,则() A. 命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧q 是真命题 C. 命题 p∨(¬q)是假命题 D. 命题 p∧(¬q)是真命题 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 由题设条件,先判断出命题 p:? x∈R,x﹣2>lgx 是真命题,命题 q:? x∈R, 2 x >0 是假命题,再判断复合命题的真假. 解答: 解:当 x=10 时,10﹣2=8>lg10=1, 故命题 p:? x∈R,x﹣2>lgx 是真命题; 2 当 x=0 时,x =0, 2 故命题 q:? x∈R,x >0 是假命题, ∴题 pVq 是真命题,命题 p∧q 是假命题, 命题 pV(¬q)是真命题,命题 p∧(¬q)是真命题, 故选 D. 点评: 本题考查复合命题真假的判断,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

2

5. (4 分)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线

2

的渐近线的距离是()

A.

B.

C. 1

D.

考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的标准方程,算出抛物线的焦点 F(1,0) .由双曲线标准方程,算出 它的渐近线方程为 y=± x,化成一般式得: 算出所求距离. 2 解答: 解:∵抛物线方程为 y =4x ∴2p=4,可得 =1,抛物线的焦点 F(1,0) ,再用点到直线的距离公式即可

又∵双曲线的方程为 ∴a =1 且 b =3,可得 a=1 且 b= 双曲线的渐近线方程为 y=± 化成一般式得:
2 2 2

, ,即 y=± x,

. =

因此,抛物线 y =4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d=

故选:B 点评: 本题给出抛物线方程与双曲线方程, 求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离, 着 重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.

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6. (4 分)如图是 1,2 两组各 7 名同学体重(单位:kg)数据的茎叶图,设 1,2 两组数据 的平均数依次为 (注: 标准差 s= xn 的平均数) 和 ,标准差依次为 s1 和 s2,那么() , 其中 为 x1, x2, ?,

A. C.

> <

,s1>s2 ,s1>s2

B. D.

> <

,s1<s2 ,s1<s2

考点: 专题: 分析: 解答:

茎叶图;众数、中位数、平均数. 概率与统计. 根据茎叶图中的数据,求出两组的平均数与标准差即可. 解:根据茎叶图中的数据,得; = (53+56+57+58+61+70+72)=61,
2 2 2 2 2

1 组的平均数是 方差是
2

= [(53﹣61) +(56﹣61) +(57﹣61) +(58﹣61) +(61﹣61) +(70﹣61)
2

+(72﹣61) ]=

, ; = (54+56+58+60+61+72+73)=62,
2 2 2 2 2

标准差是 s1= 2 组的平均数是 方差是
2

= [(54﹣62) +(56﹣62) +(58﹣62) +(60﹣62) +(61﹣62) +(72﹣62)
2

+(73﹣62) ]=

, ;

标准差是 s2= ∴ <

,s1<s2.

故选:D. 点评: 本题考查了利用茎叶图中的数据,求平均数与方差、标准差的应用问题,是基础题 目.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 7. (4 分)已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是() A. B.

C.

D.

考点: 椭圆的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, 得到 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, 即|PF1|+|PF2|=4, 得到点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上,已知 a,c 的值,做出 b 的值,写出椭圆的方程. 解答: 解:∵F1(﹣1,0) 、F2(1,0) , ∴|F1F2|=2, ∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, ∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, 即|PF1|+|PF2|=4, ∴点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上, ∵2a=4,a=2 c=1 2 ∴b =3, ∴椭圆的方程是 故选 C. 点评: 本题考查椭圆的方程, 解题的关键是看清点所满足的条件, 本题是用定义法来求得 轨迹,还有直接法和相关点法可以应用. 8. (4 分)已知回归直线通过样本点的中心,若 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y 1.1 3.1 4.9 6.9 则 y 与 x 的线性回归方程 A. ( ,4) = x+ 所表示的直线必过点() C. (2,2) D. ( ,0)

B. (1,2)

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出 x、y 的平均值,回归直线方程一定过样本的中心点( , ) ,代入可得答案. 解答 : 解:回归直线方程一定过样本的中心点( , ) , = = , = =4,

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴样本中心点是( ,4) , 则 y 与 x 的线性回归方程 y=bx+a 必过点( ,4) , 故选:A. 点评: 本题考查平均值的计算方法,回归直线的性质:回归直线方程一定过样本的中心 点( , ) . 9. (4 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

A. 162

B. 200

C. 242

D. 288

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 根据所给数值执行循环语句, 然后判定是否满足判断框中的条件, 一旦满足条件就 退出循环,输出结果. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 k=1,S=0 S=2,k=3 不满足条件 k≥20,S=8,k=5 不满足条件 k≥20,S=18,k=7 不满足条件 k≥20,S=32,k=9 不满足条件 k≥20,S=50,k=11 不满足条件 k≥20,S=72,k=13 不满足条件 k≥20,S=98,k=15 不满足条件 k≥20,S=128,k=17 不满足条件 k≥20,S=162,k=19 不满足条件 k≥20,S=200,k=21 满足条件 k≥20,退出循环,输出 S 的值为 200. 故选:B.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查了循环结构,是直到型循环,先执行循环,直到满足条件退出循环, 属于基础题.
2 2

10. (4 分)已知曲线 C 的方程是(x﹣ |PQ|的最大值是() A. 6 B. 8

) +(y﹣

) =8,若点 P,Q 在曲线 C 上,则

C. 8

D. 6

考点: 曲线与方程;两点间距离公式的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先分类讨论化简方程,再根据方程对应的曲线,即可得到结论. 2 2 解答: 解:当 x>0,y>0 时,方程是(x﹣1) +(y﹣1) =8; 2 2 当 x>0,y<0 时,方程是(x﹣1) +(y+1) =8; 2 2 当 x<0,y>0 时,方程是(x+1) +(y﹣1) =8; 2 2 当 x<0,y<0 时,方程是(x+1) +(y+1) =8 曲线 C 既是中心对称图形,又是轴对称图形,对称中心为(0,0) ,对称轴为 x,y 轴,点 P, Q 在曲线 C 上,当且仅当 P,Q 与圆弧所在圆心共线时取得最大值,|PQ|的最大值是圆心距 加两个半径,即 6 , 故选:A.

点评: 本题考查曲线与方程的概念,体现分类讨论、数形结合的数学思想,属于中档题. 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. (4 分)双曲线 的离心率为 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据事务性的方程可得 a,b,c 的数值,进而求出双曲线的离心率. 解答: 解:因为双曲线的方程为 所以 a =4,a=2,b =5,
2 2



文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以 c =9,c=3, 所以离心率 e= . 故答案为 . 点评: 本题主要考查双曲线的有关数值之间的关系,以及离心率的公式.
2 2

12. (4 分)已知抛物线 y =ax 过点

,那么点 A 到此抛物线的焦点的距离为 .

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先确定抛物线的标准方程,求出抛物线的焦点坐标,利用两点间的距离公式,即可 得到结论. 解答: 解:∵抛物线 y =ax 过点 ∴1= ∴a=4 2 ∴抛物线方程为 y =4x,焦点为(1,0) ∴点 A 到此抛物线的焦点的距离为 故答案为: 点评: 本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的性质,考查距离公式的运用,属于中档 题. 13. (4 分)下列四个结论,其中正确的有①②③④. ①在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等; ②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数,则这一组数的平均数改变,方差不改变; ③一个样本的方差是 s =
2 2



=

[(x1﹣3) +(x2﹣3) +?+(x20﹣3) ],则这组样本数据的总

2

2

2

和等于 60; 2 2 ④数据 a1,a2,a3,?,an 的方差为 δ ,则数据 2a1,2a2,2a3,?,2an 的方差为 4δ . 考点: 极差、方差与标准差;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图中平均数、 中位数以及样本的平均数与方差的关系, 对每一个 命题进行分析判断即可. 解答: 解:对于①,频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等, 都等于 ,∴①正确; 对于②,一组数据中每个数减去同一个非零常数 a,这一组数的平均数变为 ﹣a, 2 方差 s 不改变,∴②正确;

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 对于③,一个样本的方差是 s =
2

[(x1﹣3) +(x2﹣3) +?+(x20﹣3) ],

2

2

2

∴这组样本数据的平均数是 3,数据总和为 3×20=60,∴③ 正确; 2 对于④,数据 a1,a2,a3,?,an 的方差为 δ ,则数据 2a1 ,2a2,2a3,?,2an 2 2 的方差为(2δ ) =4δ ,∴④正确; 综上,正确的命题序号是①②③④. 故答案为:①②③④. (填对一个给一分) . 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题, 也考查了中位数、 平均数与方差的应用问 题,是基础题目.

14. (4 分)已知椭圆 的面积是 9.

的焦点为 F1、F2,P 为椭圆上一点∠F1PF2=90°,则△PF1F2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据椭圆的方程求得 c,得到|F1F2|,设出|PF1|=t1,|PF2|=t2,利用勾股定理以及 椭圆的定义,可求得 t1t2 的值,即可求出三角形面积. 解答: 解:∵椭圆 的 a=5,b=3;

∴c=4, 设|PF1|=t1,|PF2|=t2, 则根据椭圆的定义得 t1+t2=10, 2 2 2 ∵∠F1PF2=90°,根据勾股定理得①t1 +t2 =8 ②, 2 由① ﹣②得 t1t2=18, ∴ .

故答案为:9. 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程、 椭圆的简单性质. 解答的关键是通过勾股定理解 三角形,考查计算能力、数形结合思想. 15. (4 分)地面上有两个同心圆(如图) ,其半径分别为 3、2,1 若向图中最大内投点且点 投到图中阴影区域内的概率为 ,则两直线所夹锐角的弧度数为 .

考点: 几何概型.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义, 关键是要找出: “两直线所夹锐角”对应图 形的面积,及整个图形的面积,然后再结合几何概型的计算公式进行求解. 解答: 解:设两直线所夹锐角弧度为 α ,则有: , 解得:α = 故答案为: . .

点评: 本题考查的知识点是几何概型的意义,几何概型的概率估算公式中的“几何度 量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形 状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) , 再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P= 求解.

三、解答题(本题共 5 小题,共 40 分) 16. (8 分)某校在自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,被抽取学生的成 绩均不低于 160 分,且低于 185 分,如图是按成绩分组得到的频率分布图的一部分(每一组 均包括左端点数据) ,且第三组、第四组、第五组的频数之比一次为 3:2:1. (1)请完成频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩较高的第三组、第四组、第五组中 用分层抽样 方法抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第三、四、五组每组各抽取多少名学生 进入第二轮面试.

考点: 分层抽样方法;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)求出对应的频数和频率,即可请完成频率分布直方图; (2)根据分层抽样的定义建立比例关系即可. 解答: 解: (1)由题意值第 1,2 组的频数分别为 100×0.01×5=5,100×0.07×5=35, 故第 3,4,5 组的频数之和为 100﹣5﹣35=60, 从而可得其频数分别为 30,20,10,其频率依次是 0.3,0.2,0.1, 其频率分布直方图如图: ; (2)由第 3,4,5 组共 60 人,用分层抽样抽取 6 人, 故第 3,4,5 组中抽取的学生人 数依次是

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: , , .

点评: 本题主要考查抽样和统计的知识,比较基础. 17. (8 分)甲袋中有 1 只白球,2 只红球,3 只黑球;乙 袋中有 2 只白球,3 只红球,1 只 黑球.现从两袋中各取一个球. (1)求取得一个白球一个红球的概率; (2)求取得两球颜色相同的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)先求出取出两球的种数,再根据分类和分步计数原理求出一个白球一个红球 的种数,根据概率公式计算即可. (2)分为同是红色,白色,黑色,根据分类和分步计数原理即可求出取得两球颜色相同的 种数,根据概率公式计算即可. 解答: 解: (1)两袋中各取一个球,共有 6×6=36 种取法,其中一个白球一个红球,分为 甲袋区取的为白球乙袋红球,甲袋红球乙袋白球,故有 1×3+2×2=7 种, 故取得一个白球一个红球的概率 P= ;

(2)取得两球颜色相同有 1×2 +2×3+3×1=11 种, 故取得两球颜色相同的概率 P= .

点评: 本题考查了类和分步计数原理及其概率的求法, 关键是求出满足条件的种数, 是基 础题. 18. (8 分)如图,60°的二面角的棱上有 A,B 两点,线段 AC,BD 分别在这个二面角的两 个半平面内,且 AC⊥AB,BD⊥AB,已知 AB=4,AC=6,BD=8. (1)用向量 (2)求| 、 、 表示 ;

|的值.

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考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量的多边形法则即可得出; (2)由 AC⊥AB,BD⊥AB,可得 = 代入即可得出. 解答: 解: (1) = + + ; = = + =0,利用数量积的运算性质展开可得 +

(2)∵AC⊥AB,BD⊥AB, ∴ ∴
2 2

= =
2

=0, = + +

=6 +4 +8 +2×6×8×cos(180°﹣60°) =36+16+64﹣48 =68. ∴ = .

点评: 本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系、二 面角,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (8 分)如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB 垂直于 AD 和 BC,侧棱 SA⊥底面 ABCD,且 SA=AB=BC=1,AD= . (1)求四棱锥 S﹣ABCD 的体积; (2)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)四棱锥 S﹣ABCD 的体积= ;

(2)以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面 SCD 的法向量,利用向量的 夹角公式求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值. 解答: 解: (1)∵底面 ABCD 是直角梯形,AB 垂直于 AD 和 BC,侧棱 SA⊥底面 ABCD,且 SA=AB=BC=1,AD= , ∴四棱锥 S﹣ABCD 的体积= = ;

(2)以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0) ,B(0,1,0) ,C(1,1,0) ,D(0.5,0,0, ) ,S(0,0,1) , 则 =(1,1,﹣1) , =(0.5,0,﹣1) .

设平面 SCD 的法向量是 =(x,y,z) ,则

令 z=1,则 x=2,y=﹣1.于是 =(2,﹣1,1) . 设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 α , ∵ =(0.5,0,0) ,∴|cosα |= = .

∴平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为

点评: 本题考查四棱锥 S﹣ABCD 的体积、 平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值, 考查 学生的计算能力,正确求平面 SCD 的法向量是关键.

20. (8 分)椭圆

+

=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,3) ,离心率 e= .

(1)求椭圆方程; (2)若直线 l:y=kx﹣3 与椭圆交于不同的两点 M,N.若满足|AM|=|AN|,求直线 l 的方程. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (1)由椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,解方程可得 a=5,b=3,即可得到椭 圆方程; (2) 联立直线方程和椭圆方程, 运用韦达定理, 求得线段 MN 的中点 P 的坐标, 再由|AM|=|AN| 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,运用直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,即可得到 k,进 而得到直线方程. 解答: 解: (1)由一个顶点为 A(0,3) ,离心率 e= , 可得 b=3, = ,a ﹣b =c , 解得 a=5,c=4, 即有椭圆方程为 + =1;
2 2 2

(2)由|AM|=|AN|知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,



,消去 y 得(9+25k )x ﹣150kx=0,

2

2

由 k≠0,得方程的△=(﹣150k) >0,即方程有两个不相等的实数根. 设 M(x1,y1) 、N(x2,y2) ,线段 MN 的中点 P(x0,y0) , 则 x1+x2= ,∴x0= = ,

2

∴y0=kx0﹣3=﹣

,即 P(

,﹣

) ,

∵k≠0,∴直线 AP 的斜率为 k1=﹣

=﹣



由 AP⊥MN,得﹣ ∴25k =7,解得:k=±
2

=﹣ , , x﹣3.

即有直线 l 的方程为 y=±

点评: 本题考查椭圆的方程和性质, 主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用. 联立直 线方程,运用韦达定理,同时考查直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,考查运算能力,属于 中档题.


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