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柱、锥、台的表面积与体积教案


人教 A 版数学教案必修 2 第一 章 1.3 第一课时

第一章
1.3 1.3.1 一、学习目标

空间立体几何初步

空间几何体的表面积与体积 柱、锥、台的表面积与体积

1.知识与技能 (1)理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义. (2)了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积

的计算公式.能够运用柱、锥、台的表面积与体积公式求 简单几何体的表面积与体积.(重点) (3)了解球的表面积与体积公式. (4)会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.(难点) 2.过程与方法 (1)让学生经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状. (2)让学生通过对照比较,发现柱体、锥体、台体三者间体积的关系. (3)通过作轴截面,寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系. 3.情感、态度与价值观 使学生通过表面积与体积公式的探究过程,体会数学的转化和类比的思想,从而增强学习的积极性.

二、重点、难点
重点:棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算. 难点:棱台的表面积公式的推导. 重难点突破:先从学生熟悉的正方体和长方体的展开图为切入点,分析几何体的展开图与其表面积的 关系,然后通过“探究”和“思考”引导学生归纳棱柱、棱锥和棱台的表面积公式,并让学生熟悉并掌握 球的表面积公式.

三、教学方法
类比、练习、自学

四、专家建议
通过对柱、锥、台的表面积与体积的学习探究,明确柱体、锥体、台体三者间体积的关系,明确表面 积与体积公式的探究过程,体会数学的转化和类比的思想。

五、教学过程 ●新知探究
知识点 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 【问题导思】 1.正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示,则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系?

【提示】 相等. 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等? 【提示】 是. 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积. 知识点 2 圆柱、圆锥、圆台的表面积 【问题导思】 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示.

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1.上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗? 【提示】 不相等. 2.如何计算上述几何体的表面积? 【提示】 几何体的表面积等于侧面积与底面积之和. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱(底面半径为 r,母 线长为 l) 底面积 S 底=π r2 圆锥(底面半径为 r,母 线长为 l) S 底=π r2 圆台(上、 下底面半径为 r′,r,母线长为 l) S 底=π (r′2+r2)

侧面积 表面积

S 侧=2π rl S 表=2π r(r+l)

S 侧=π rl S 表=π r(r+l)

S 侧=π (r′l+rl) S 表= π (r′2+r2+r′l+rl)

知识点 3 柱体、锥体、台体的体积 【问题导思】 1.正方体、长方体、圆柱的体积公式如何表示? 【提示】 V=Sh,其中 S 为底面面积,h 为高. 2.上述体积公式对所有柱体都适用吗? 【提示】 都适用. 1.祖暅原理 (1)“幂势既同,则积不容异” ,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平 面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等” . (2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. (3)说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式的理论依 据. 2.柱、锥、台、球的体积 其中 S′、S 分别表示上、下底面的面积,h 表示高,r′和 r 分别表示上、下底面圆的半径,R 表示球的 半径. 名称 柱体 棱柱 圆柱 锥体 棱锥 圆锥 台体 棱台 圆台 1 h(S+ SS′+S′) 3 1 π h(r2+rr′+r′2) 3 体积(V) Sh π r2h 1 Sh 3 1 2 πrh 3

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●典例分析
类型 1 求棱柱、棱锥、棱台的表面积 例 1.已知正四棱锥底面边长为 4,高与斜高夹角为 30°.求它的侧面积和表面积. 【分析】 根据多面体的侧面积公式,可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高,进而由公 式求解.

【解析】 如图所示,设正四棱锥的高为 PO,斜高为 PE,底面边心距为 OE,它们组成一个直角三角 形 POE. 4 ∵OE= =2,∠OPE=30°, 2 OE 2 ∴PE= = =4. sin 30° 1 2 1 1 ∴S 正四棱锥侧= ch′= ×(4×4)×4=32, 2 2 2 S 表面积=4 +32=48. 即该正四棱锥的侧面积是 32,表面积是 48. 方法总结: 1.要求锥体的侧面积及表面积,要利用已知条件寻求公式中所需的条件,一般用锥体的高、斜高、底 面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量. 2.空间几何体的表面积运算,一般是转化为平面几何图形的运算,往往通过解三角形来完成. 变式训练: (2013· 重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.180 B.200 C.220 D.240 【解析】 由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱. 1 等腰梯形的上底长为 2,下底长为 8,高为 4,腰长为 5,直四棱柱的高为 10,所以 S 底= ×(8+2)×4 2 ×2=40,S 侧=10×8+10×2+2×10×5=200,S 表=40+200=240,故选 D. 【答案】 D 类型 2 求圆柱、圆锥、圆台的表面积

图 1-1-64 例 2.如图 1-1-64 所示,已知直角梯形 ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC=16 cm, AD=4 cm.求以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 选择表面积公式 【分析】 分析几何体的形状 ― ― → 求表面积 【解析】 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径是 4 cm,下底半径是 16 cm,

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母线 DC= 52+(16-4)2=13 (cm). ∴该几何体的表面积为π(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2). 方法总结: 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋 转体表面积的关键. 2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形 (或梯形)求解. 变式训练: 在题设条件不变的情况下,求以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.

【解】 以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示: 其中圆锥的高为 16-4=12(cm),圆柱的母线长为 AD=4 cm,故该几何体的表面积为: 2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2). 类型三 求柱体的体积 例 3.(2014· 浙江高考)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是(

)

A.72 cm3 C.108 cm3 【分析】 【解析】

B.90 cm3 D.138 cm3 还原 是否分割 三视图 ― ― → 几何体 ― ― → 计算体积

该几何体为一个组合体,左侧为三棱柱,右侧为长方体,如图所示.V=V +4×3×6=18+72=90(cm3). 【答案】 B

三棱柱

+V

长方体

1 = ×4×3×3 2

方法总结: 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图,然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算 体积所需要的数据. 2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成,求几何体的体积时,依据需要先将几何体分割分 别求解,最后求和. 变式训练:

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一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是(

)

A.16+4 2 B.12+4 2 C.8 D.4 【解析】 由三视图可知,该几何体是一个平放的直三棱柱,棱柱的底面为等腰直角三角形,棱柱的 1 高为 2,所以该几何体的体积为 ×2×2×2=4,选 D. 2 【答案】 D 类型 4 求锥体的体积

例 4.如图三棱台 ABC-A1B1C1 中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥 A1-ABC,三棱锥 B-A1B1C,三棱 锥 C-A1B1C1 的体积之比. 【 分 析 】 AB∶A1B1=1∶2 ―→ S△ABC∶S△A1B1C1 ―→ 计算VA1-ABC ―→ 计算VC-A1B1C1 ― → 计算VB-A1B1C 【解析】 设棱台的高为 h,S△ABC=S,则 S△A1B1C1=4S. 1 1 ∴VA1-ABC= S△ABC·h= Sh, 3 3 1 4 VC-A1B1C1= S△A1B1C1·h= Sh. 3 3 1 7 又 V 台= h(S+4S+2S)= Sh, 3 3 ∴VB-A1B1C=V 台-VA1-ABC-VC-A1B1C1 7 Sh 4Sh 2 = Sh- - = Sh, 3 3 3 3 ∴体积比为 1∶2∶4. 方法总结: 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥,分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系,割补法 在立体几何中是一种重要的方法. 变式训练: 在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后, 剩下的凸多面体的体积是( ) 2 7 4 5 A. B. C. D. 3 6 5 6 1 1 1 1? 1 1 × × × = , 【解析】 如图,去掉的一个棱锥的体积是 ×? 3 ?2 2 2? 2 48

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剩余几何体的体积是 1-8× 【答案】 D

1 5 = . 48 6

类型 5 求台体的体积 例 5.已知正四棱台两底面边长分别为 20 cm 和 10 cm,侧面积是 780 cm2.求正四棱台的体积. 【分析】 可以尝试借助四棱台内的直角梯形.求出棱台底面积和高,从而求出体积. 【解析】

如图所示,正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1=10 cm,AB=20 cm.取 A1B1 的中点 E1,AB 的中点 E,则 E1E 是侧面 ABB1A1 的高.设 O1、O 分别是上、下底面的中心,则四边形 EOO1E1 是直角梯形. 1 由 S 侧=4× (10+20)· E1E=780,得 EE1=13, 2 1 在直角梯形 EOO1E1 中,O1E1= A1B1=5, 2 1 OE= AB=10, 2 ∴O1O= E1E2-(OE-O1E1)2=12, 1 V 正四棱台= ×12×(102+202+10×20) 3 =2 800 (cm3). 故正四棱台的体积为 2 800 cm3. 方法总结: 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台 的轴截面寻求相关量之间的关系. 变式训练: 本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm,侧棱长为 2 cm,求该棱台的体 积. ” 【解】

如图,正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,上、下底面边长分别为 2 cm 和 4 cm, 则 O1B1= 2 cm, OB=2 2 cm, 过点 B1 作 B1M⊥OB 于点 M,那么 B1M 为正四棱台的高,在 Rt△BMB1 中, BB1=2 cm,MB=(2 2- 2)= 2 (cm). 根据勾股定理 2 MB1= BB2 1-MB

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= 22-( 2)2= 2(cm). S 上=22=4 (cm2), S 下=42=16(cm2), 1 ∴V 正四棱台= × 2×(4+ 4×16+16) 3 1 28 = × 2×28= 2 (cm3). 3 3

六、课堂总结
一、柱、锥、台的表面积 1.如果长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,那么它的表面积 S 表=2(ab+bc+ac);如果正方体的棱长 为 a,那么它的表面积为 S 表=6a2. 2.求棱锥的表面积,可以先求侧面积,再求底面积.求侧面积,要清楚各侧面三角形的形状,并找出 求其面积的条件.求底面积,要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件. 3.求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形,它是架起求侧面积关系式中的未知量与 满足题目条件中几何图形元素间关系的桥梁. 二、柱、锥、台的体积 1.计算柱体、锥体和台体的体积时,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用多面体的 有关截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题.旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转 体而得到的截面.例如,圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是三角形,圆台的轴截面是梯形. 2.在求不规则的几何体的体积时,可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台的体积计 算问题.

七、板书设计 柱、锥、台的表面积与体积

学习目标
(1) 理解正棱柱、正棱锥、正棱 台的侧面积及表面积的定义. (2)了解圆柱、圆锥、圆台的表 面积与体积的计算公式. 能够运 用柱、锥、台的表面积与体积公 式求简单几何体的表面积与体 积.(重点) (3) 了 解 球 的 表面 积 与 体 积公 式. (4)会解决球的组合体及三视图 八、当堂检测 中球的有关问题.(难点)

知识点解析
1.棱柱、棱锥、棱台的表 面积 2.圆柱、圆锥、圆台的表 面积 3. 柱体、锥体、台体的 体积

典例分析
例1 例2 例3 例4 学生练习

小结: 作业
当堂检 测反馈
)

注意事项: 1. 2.

1.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为 2,体对角线长为 6,则这个棱柱的侧面积是( 3. A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 由已知得底面边长为 1,侧棱长为 6-2=2. ∴S 侧=1×2×4=8. 【答案】 D 2.长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3,则长方体的体积与表面积分别为( ) A.6,22 B.3,22 C.6,11 D.3,11 【解析】 V=1×2×3=6,S=2(1×2)+2(1×3)+2(2×3)=22. 【答案】 A 3.圆台的上、下底面半径分别是 3 和 4,母线长为 6,则其表面积等于( ) A.72 B.42π C.67π D.72π 【解析】 S 圆台表=S 圆台侧+S 上底+S 下底 =π(3+4)· 6+π·32+π·42=67π.

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【答案】 C 4.侧面是直角三角形的正三棱锥,底面边长为 a,该三棱锥的表面积为( ) 3+ 3 2 3 2 A. a B. a 4 4 3+ 3 2 6+ 3 2 C. a D. a 2 4 a 【解析】 底面边长为 a,则斜高为 , 2 1 1 3 故 S 侧=3× a× a= a2. 2 2 4 3 而 S 底= a2, 4 3+ 3 2 故 S 表= a. 4 【答案】 A 5.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则三棱锥 D1-ACD 的体积是(

)

1 1 A. B. 6 3

1 C. D.1 2

1 1 1 1 1 1 【解析】 三棱锥 D1-ADC 的体积 V= S△ADC×D1D= × ×AD×DC×D1D= × = . 3 3 2 3 2 6 【答案】 A 6.根据图中标出的尺寸,求各几何体的体积.

【解】 (1)该几何体是圆锥,高 h=10,底面半径 r=3,所以底面积 S=πr2=9π, 1 1 则 V= Sh= ×9π×10=30π. 3 3 (2)该几何体是正四棱台,两底面中心连线就是高 h=6,上底面面积 S 上=64,下底面面积 S 下=144, 1 则 V= (S 上+S 下+ S上·S下)h 3 1 = ×(64+144+ 64×144)×6=608. 3

九、课后延伸
1.如图所示,已知等腰梯形 ABCD 的上底 AD=2 cm,下底 BC=10 cm,底角∠ABC=60°,现绕腰 AB 旋转一周,求所得的旋转体的体积.

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【分析】 分析旋转体的特征 → 分割 → 对每部分几何体求体积 → 求组合体的体积 【解析】过 D 作 DE⊥AB 于 E,过 C 作 CF⊥AB 于 F,Rt△BCF 绕 AB 旋转一周形成以 CF 为底面半 径,BC 为母线长的圆锥;直角梯形 CFED 绕 AB 旋转一周形成圆台;直角三角形 ADE 绕 AB 旋转一周形 成圆锥,那么梯形 ABCD 绕 AB 旋转一周所得的几何体是以 CF 为底面半径的圆锥和圆台,挖去以 A 为顶 点、以 DE 为底面半径的圆锥的组合体.

∵AD=2,BC=10,∠ABC=60°, ∴在 Rt△BCF 中,BF=5,FC=5 3. ∵AD∥BC,∴∠DAE=∠ABC=60°, ∴在 Rt△ADE 中,DE= 3,AE=1. 又在等腰梯形 ABCD 中可求 AB=8, ∴AF=AB-BF=8-5=3,EF=AE+AF=4, ∴旋转后所得几何体的体积为 1 1 1 V= π·BF·FC2+ π·EF·(DE2+FC2+DE· FC)- π·AE·DE2 3 3 3 1 1 1 = π·5·(5 3)2+ π·4·[( 3)2+(5 3)2+ 3·5 3]- π·1·( 3)2=248π(cm3) 3 3 3 故所得的旋转体的体积为 248π cm3. 方法总结: 求组合体的体积时,常根据相应情况把它分解成柱、锥、台体等后分别求体积,然后求代数和. 变式训练: y=|x|和 y=3 围成的封闭平面图形绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积与绕 x 轴旋转一周所得到 的旋转体的体积之比是( ) A.4∶1 B.1∶4 C.(1+ 2)∶(4+2 2) D.以上都不对 1 【解析】 如图.封闭平面图形为△AOB,绕 y 轴旋转一周所得几何体的体积 V1= π×32×3=9π, 3 1 △AOB 绕 x 轴旋转一周所得几何体的体积为 V2=π×32×6-2× π×32×3=36π,∴V1∶V2=9π∶36 3 π=1∶4.

【答案】 B 2.如果一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则此几何体的表面积是( )

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人教 A 版数学教案必修 2 第一 章 1.3 第一课时

A.(80+16 2)cm2 B.96 cm2 2 C.(96+16 2)cm D.112 cm2 【分析】 通过三视图的知识及几何体表面积公式求解. 【解析】 由题意知该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体.正方体五个面的面积和为 80 2 cm ;正四棱锥的侧面积为 16 2 cm2. 【答案】 A 方法总结: 解决与三视图有关的几何体的问题,首先要想象或画出直观图,然后再去求解. 变式训练: 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

A.32

B.16+16 2

C.48 D.16+32 2 1 ? 【解析】 由三视图还原几何体的直观图如图所示.S 表=? ?2×4×2 2?×4+4×4=16+16 2. 【答案】 B

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