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二次函数与一元二次方程根的分布详解


二次函数与一元二次方程根的分布详解
1. 二次函数及图象

2012-10-26

图像为

观察图象不难知道△=0,a>0

, △=0,a<0

当△<0 时,y=f(x)图象与 x 轴无公共点,其图象为

观察图象不难知道. a>0 时,绝对不等

式 f(x)>0 解为 x∈R. a<0 时, 绝对不等式 f(x)<0 解为 x∈R.

2.讨论一元二次方程的根的分布情况时,往往归结为不等式(组)的求解问题。 2 2 设 f(x)=ax +bx+c(a>0),方程 ax +bx+x=0 的个根为α ,β (α ≤β ),m,n 为常数,且 n<m,方程根的分布无外乎两种情况:

②α ,β 同居一区间时,不但要考虑端点函数值的符号,还要考虑

三、好题解给你 2 1. 设有一元二次函数 y=2x -8x+1.试问, 当 x∈[3,4]时,随 x 变大,y 的值变大还是变小? 由此 y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么? 2 解:经配方有 y=2(x-2) -7 ∵对称轴 x=2,区间[3,4]在对称轴右边, ∴y=f(x)在[3,4]上随 x 变大,y 的值也变大,因此 ymax=f(4)=1. ymin=f(3)=-5. 2 2 2.设有一元二次函数 y=2x -4ax+2a +3.试问,此函数对称轴是什么? 当 x∈[3,4]时,随 x 变大,y 的值是变大还是变小?与 a 取值有何关系? 由此,求 y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值. 2 解:经配方有 y=2(x-a) +3. 对称轴为 x=a. 当 a≤3 时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当 x∈[3,4]时,随 x 变大,y 的值也变大. 当 3<a<4 时,对称轴 x=a 在区间[3,4]内,此时,若 3≤x≤a,随 x 变大,y 的值 变小,但若 a≤x≤4,随 x 变大,y 的值变大. 当 4≤a 时,因为区间[3,4]在对称轴的左边,因此,当 x∈[3,4]时,随 x 变大,y 的值反而变小.

根据上述分析,可知. 2 2 当 a≤3 时,ymax=f(4)=2a -16a+35.ymin=f(3)=2a -12a+21. 当 3<a<4 时,ymin=f(a)=3. 2 其中,a≤3.5 时,ymax=f(4)=2a -16a+35. 2 a≥3.5 时,ymax=f(3)=2a -12a+21. 2 2 当 a≥4 时,ymax=f(3)=2a -12a+21.ymin=f(4)=2a -16a+35. (1) (2) 基础题 2 例 1.设有一元二次方程 x +2(m-1)x+(m+2)=0.试问: (1)m 为何值时,有一正根、一负根. (2)m 为何值时,有一根大于 1、另一根小于 1. (3)m 为何值时,有两正根.

(4)m 为何值时,有两负根. (5)m 为何值时,仅有一根在[1,4]内? 解:(1)设方程一正根 x2,一负根 x1,显然 x1、x2<0,依违达定理有 m+2<0. ∴ m<-2. 反思回顾:x1、x2<0 条件下,ac<0,因此能保证△>0. (2)设 x1<1,x2>1,则 x1-1<0,x2-1>0 只要求(x1-1)(x2-1)<0,即 x1x2-(x1+x2)+1<0. 依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1<0.

(3)若 x1>0,x2>0,则 x1+x2>0 且 x1,x2>0,故应满足条件

依韦达定理有

(5)由图象不难知道,方程 f(x)=0 在[3,4]内仅有一实根条件为 f(3)·f(4)<0,即 [9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]<0. ∴(7m+1)(9m+10)<0.

例 2. 当 m 为何值时,方程 解:负数根首先是实数根,∴ ,

有两个负数根?

由根与系数关系:要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正. 由以上分析,有



∴当

时,原方程有两个负数根.

(2) (3) 应用题 2 例 1. m 取何实数值时,关于 x 的方程 x +(m-2)x+5-m=0 的两个实根都大于 2? 2 解:设 f(x)=x +(m-2)x+5-m,如图原方程两个实根都大于 2

所以当-5<m≤-4 时,方程的两个实根大于 2.

例 2.已知关于 x 方程:x -2ax+a=0 有两个实根α ,β ,且满足 0<α <1,β >2, 求实根 a 的取值范围. 2 解:设 f(x)=x -2ax+a,则方程 f(x)=0 的两个根α ,β 就是抛物线 y=f(x)与 x 轴的两个交点的横坐标,如图 0<α <1,β >2 的条件是:

2

<1,β >2. 2 例 3.m 为何实数时,关于 x 的方程 x +(m-2)x+5-m=0 的一个实根大于 2,另一个实根小 于 2. 2 解:设 f(x)=x +(m-2)x+5-m,如图,原方程一个实根大于 2,另一个实根小于 2 的充要条件是 f(2)<0,即 4+2(m-2)+5-m<0.解得 m<-5.所以当 m<-5 时,方程 的一个实根大于 2,另一个实根小于 2.

(3) (4) 提高题 例 1. 已知函数 范围. 解: (1)当 ,则所给函数为二次函数,图象满足: 的图象都在 x 轴上方, 求实数 k 的取值

,即 解得: (2)当 若 若 ,则 时, 的图象不可能都在 x 轴上方,∴

,则 y=3 的图象都在 x 轴上方

由(1) (2)得: 反思回顾:此题没有说明所给函数是二次函数,所以要分情况讨论. 2 2 例 2.已知关于 x 的方程(m-1)x -2mx+m +m-6=0 有两个实根α ,β ,且满足 0<α <1 <β ,求实数 m 的取值范围.

解:设 f(x)=x -2mx+m +m-6,则方程 f(x)=0 的两个根α ,β ,就是抛物线 y=f(x) 与 x 轴的两个交点的横坐标. 如图,0<α <1<β 的条件是

2

2

解得 例 3.已知关于 x 的方程 3x -5x+a=0 的有两个实根α ,β ,满足条件α ∈(-2,0), β ∈(1,3),求实数 a 的取值范围. 2 解: f(x)=3x -5x+a, 设 由图象特征可知方程 f(x)=0 的两根α ,β , 并且α ∈(-2, 0),β ∈(1,3)的
2

解得-12<a<0. 补充 1: 二次函数、二次方程及二次不等式的关系 1、二次函数的基本性质 (1)、二次函数的三种表示法 y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n

[来源:Z_xx_k.Com]

(2)、当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0= 若-
b 2a

1 2

(p+q)

[来源:学科网 ZXXK]

<p,则 f(p)=m,f(q)=M;
b 2a b 2a

若 p≤-

<x0,则 f(-

b 2a

)=m,f(q)=M;
b 2a

若 x0≤- 若-
b 2a

<q,则 f(p)=M ,f(-

)=m;

≥q,则 f(p)=M,f(q)=m

2、 二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件 (1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0;

? ? ? b 2 ? 4 ac ? 0 , ? ? b ? r, (2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ? ? ? ? 2a ?a ? f (r) ? 0 ?

[来源:Z&xx&k.Com][来源:学#科#网 Z#X#X#K]

? ? ? b 2 ? 4 ac ? 0 , ? ? p ? ? b ? q, ? (3)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ? a ? f ( q ) ? 0, ? ? a ? f ( p ) ? 0; ?

(4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验) 检验另一根若在(p,q)内成 立 (5)方程 f(x)=0 两根的一根大于 p,另一根小于 q(p<q) ? ? 3、 二次不等式转化策略 (1)二次不等式 f(x)=ax2+bx+c≤0 的解集是 (-∞,α ] )∪[β ,+∞ ) ? a<0 且 f(α )=f(β )=0; (2)当 a>0 时,f(α )<f(β ) ? |α + 当 a<0 时,f(α )<f(β ) ? |α +
b 2a b 2a

?a ? f ( p ) ? 0 ?a ? f (q) ? 0

[来源:Z#xx#k.Com]

|<|β +
b 2a

b 2a

|,

|>|β +

|;

(3)当 a>0 时,二次不等式 f(x)>0 在[p,q]恒成立
b ? p?? ? q, ? b ? b ? ? p, ? p; ?? ? ?? 2a ? ? 2a 或? 或 ? 2a ? f ( p ) ? 0, ? f ( ? b ) ? 0, ? f ( q ) ? 0; ? ? ? 2a ?

(4)f(x)>0 恒成立
? a ? 0, ? a ? b ? 0, ? a ? 0, ? a ? b ? 0 ? ? 或? f ( x ) ? 0 恒成立 ? ? 或? ? ? ? 0 , ? c ? 0; ? ? ? 0, ? c ? 0 .

补充 2:韦达定理求值应用:

x12+x22=-(x1+x2)2-2x1x2 , 1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, (x 3 3 x1 +x2 =-(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) ,
x1 ? x 2 ?

? x1 ? x 2 ? 2
1 x1
2

?

? x1 ? x 2 ? 2 ? 4 x1 x 2 ,
1 x2
2

1 x1

?

1 x2

?

x1 ? x 2 x1 x 2



?

?

x1 ? x 2 x1 x 2
2 2

2

2

?

? x1 ? x 2 ? 2 ? 2 x1 x 2
x1 x 2
2 2



x1 ?

x2 ?

?

x1 ?

x2

?

2

?

x1 ? x 2 ? 2 x1 x 2 ,

(x1+k) 2+k)=x1x2+(x1+x2)+k2, (x
——Please enjoy the pain which is unable to avoid.?


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