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空间向量及其线性运算2


9.5空间向量及其运算 9.5空间向量及其运算

2.共线向量与共面向量 2.共线向量与共面向量
淮北矿业集团公司中学 纪迎春

一.复习提问:
1.共线向量 共线向量. 共线向量

2.平面向量共线的充要条件. 2.平面向量共线的充要条件. 平面向量共线的充要条件

3.平面向量的基本定理 平面向量的基本定理. 平面向量的基本定理

二.新课: 新课:
1.共线向量 共线向量 定理: 定理 对于空间任意两个向量a、b(b=0),a//b的充要条 件是存在实数λ使a= λb. 推论:如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的 推论 直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存 在实数t,满足等式 P B OP = OA + t a. (1) 其中向量a叫做直线l的方向向量. OP = (1- t)OA + t OB. 说明: 说明 (1),(2)都叫做空间直线的 向量参数表示式. (2)
A

a

O

2.共面向量 共面向量 (1).已知平面α与向量a,如果向量a 所在的直线OA平行于平面α或向量 a在平面α内,那么我们就说向量a平 行于平面α,记作a// α. α (2)共面向量 共面向量:平行于同一平面的向量 共面向量 思考: 思考 O

a A a

A D

空间任意两个向量是否一定共面? 空间任意三个向量哪?

B C

(3)共面向量定理 共面向量定理: 共面向量定理 如果两个向量a、b 不共线,则向量p与 向量a、b共面的充 要条件是存在实数 对x、y,使 P = xa + yb. b M B a A p A' P

O

推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 推论 序实数对x、y,使 MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O,有 OP = OM + xMA + yMB.

三.例题 例题 例1 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C, 试问满足向量关系式 OP = xOA + yOB + zOC(其中x+y+z=1) 的四点P、A、B、C是否共面。 例2 已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量 OE = kOA,OF = kOB,OG = kOC,OH = kOD,
O

求证: (1)四点E、F、G、H共面; (2)平面EG//平面AC.
A D B C

H

G

E

F

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