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高三数学一轮复习圆的方程复习课


圆 程 的 方

知识梳理
1、圆的定义: 平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合(轨迹)。 2、圆的标准方程:

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r (r ? 0) 其中圆心为(a, b),半径为r.
2 2 2

说明:方程中有三个参量a、b、r, 因此三个独立条件可以确定一个圆.

知识梳理
3、圆的一般方程:x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0(D +E -4F>0)
2 2
2 2

其中圆心为

(?
2

D 2

,?
2

E 2

)

,半径为

1 2

D ? E
2

2

? 4F .

说明:1、 x 、y

项的系数相同,没有 xy 项。 2、求圆的一般方程,只需求D、E、F 三个参数。 3、 2 2 D ? E ? 4 F ? 0 方程表示圆 2 2 D ? E ? 4 F ? 0 方程表示一个点 2 2 D ? E ? 4 F ? 0 方程不表示任何图形 4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往 往设圆的一般方程.

知识梳理
4、圆的参数方程:
? x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? r sin ?
( r ? 0 , ? 为参数 )

其中圆心为(a, b),半径为r. 说明:1、几何性质比较明显,很好体现半径 与x轴的圆心角的关系。 2、方程中消去θ得(x-a)2+(y-b)2=r2, 把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.

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1.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t 4+9=0(t∈R) 表示圆方程,则t的取值范围是
A. ? 1 ? t ? 1 7 B. ? 1 ? t ? 1 2 C. ? 1 7 ? t ?1

D.1 ? t ? 2

2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部, 则a的取值范围是
A. a ? 1

B. a ?

.

1

C. a ?

1

D. a ? 1

13

13

3.已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2= r 2(r >0), 下列结论错误的是 A.当a2+b2=r2时,圆必过原点 B.当a=r时,圆与y轴相切 C.当b=r时,圆与x轴相切 D.当b<r时,圆与x轴相交

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1.方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t 4+9=0(t∈R) 表示圆方程,则t的取值范围是
A. ? 1 ? t ? 1 7 B. ? 1 ? t ? 1 2 C. ? 1 7 ? t ?1

D.1 ? t ? 2

解析:由D2+E2-4F>0,得7t2-6t-1<0, 1 即 ? ? t ? 1 ,答案为C
7

2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部, 则a的取值范围是
A. a ? 1

B. a ?

.

1

C. a ?

1

D. a ? 1

13

13

解析:点P在圆(x-1)2+y2=1内部 ,所以 1 2+(12a)2<1 即(13a)2<1 a .? (5a+1-1)

13

点击双基
3.已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2= r 2(r >0), 下列结论错误的是 A.当a2+b2=r2时,圆必过原点 B.当a=r时,圆与y轴相切 C.当b=r时,圆与x轴相切 D.当b<r时,圆与x轴相交 解析:已知圆的圆心坐标(a,b),半径为r,当 b<r时,圆心到x轴的距离为|b|,只有当|b|<r时, 才有圆与x轴相交,而b<r不能保证|b|<r,故D是 错误的.故选D.

典例剖析
【例1】一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ,求此圆的方程。 7 分析:巧设方程,利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解:因圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上, 故设圆方程为(x-3b)2+(y-b)2=(3b)2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 , 则有(
| 3b ? b | 2

)2+(

7 )2 =9b2,

解得b=±1.故所求圆方程为 (x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.

典例剖析
【例1】一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ,求此圆的方程。 7 分析:巧设方程,利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解:因圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上, 故设圆方程为(x-3b)2+(y-b)2=(3b)2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 , 则有(
| 3b ? b | 2

)2+(

7 )2 =9b2,

解得b=±1.故所求圆方程为 (x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.

【例2】设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点, 动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0), 求P点的轨迹.

【例2】设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点, 动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0), 求P点的轨迹.
解:设动点P的坐标为(x,y),由
(x ? c) (x ? c)
2

| PA | | PB |

=a(a>0)得

? y ? y

2

2

2

=a,化简,得 (1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0.

当a=1时,方程化为x=0.
所以当a=1时,点P的轨迹为y轴; 当a≠1时,方程化为 ( x ?
1? a
2 2

a ?1
2

c) ? y ? (
2 2

2ac a ?1
2

)

2

c, 0) 所以a≠1时,点P的轨迹是以点 ( 2 a ?1 为圆心,半径为 2 a c 的圆
a ?1
2

a ?1

练习反馈

1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于 x+y=0成轴对称图形,则 A.D+E=0 B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 2.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 3.圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称,则k=____________.

4.设P为圆x2+y2=1上的动点,则点P到直线3x-4y-10=0的 距离的最小值为_____

5.将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆(x+1)2+(y-2)2=1,则a的坐标为________

1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于 x+y=0成轴对称图形,则 A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 解析:曲线关于x+y=0成轴对称图形,即圆心在x+y=0上. 答案:A 2.(2004年全国Ⅱ,8)在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1, 且与点B(3,1)距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:分别以A、B为圆心,以1、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所 求. 答案:B 3.(2005年黄冈市调研题)圆x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q 关于直线kx-y+4=0对称,则k=____________. 解析:圆心(- ,3)在直线上,代入kx-y+4=0,得k=2. 答案:2 1 4.(2004年全国卷Ⅲ,16)设P为圆x2+y2=1上的动点, 2 则点P到直线3x-4y-10=0的 距离的最小值为____________. 解析:圆心(0,0)到直线3x-4y-10=0的距离d==2. 再由d-r=2-1=1,知最小距离为1. 答案:1 5. (2005年北京海淀区期末练习)将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆 (x+1)2+(y-2)2=1,则a的坐标为____________. 解析:由向量平移公式即得a=(-1,2).

能力培养
.已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求

(1)

y x

的最大值和最小值;

(2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最大值和最小值.

思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母(a、b、r或D、E、F) 的值需要确定,因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组, 解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤: (1)选用圆的方程两种形式中的一种 (若知圆上三个点的坐标,通常选用一般方程; 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系,通常选用标准方程); (2)根据所给条件,列出关于D、E、F或a、b、r的方程组; (3)解方程组,求出D、E、F或a、b、r的值, 并把它们代入所设的方程中,得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题,应充分运用圆的几何性质帮助解题.


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