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广东省惠州市第一中学2015-2016学年高二数学4月月考试题 理


惠州市第一中学高二)年级(4 月)月考(理科)数学学科试卷
考试时间:120 分钟,满分:150 分 一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 ) 1、已知集合 A={x|x -2x>0} ,B={x|- 5<x< 5},则( A、A∩B=? 2、设函数 f ( x) ? ? A.3 B、A ? B=R C、B ? A
2

) D、A ? B )

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

,则 f (?2) ? f (log2 12) ? ( D.12

B.6

C.9

3、 已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0, b>0)的离心率为错误! 未找到引用源。 , 则 C 的渐近线方程为( A、y=±错误!未找到引用源。x 未找到引用源。x D、y=±x )
2 2 4

x a

2

y b

2

)

B、y=±错误!未找到引用源。x

C、y=±错误!

1 3 5 4、曲线 y= x -2 在点(1,- )处切线的倾斜角为( 3 3 A.30° B.45° C.135° D.150°

5、已知钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,

2

则 AC=( A. 5

)
4

2

B.

5

C. 2

D. 1 )
4

主视图

侧视图

6、某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为( A、16+8π B、8+8π C、16+16π

D、8+16π

4 2
俯视图

7、下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( A.y=sin x
2

) D.y=-x+ln(1+x)

B.y=x -x

3

C.y=xe

x

?4 x ? 5 y ? 8 ? 8、若变量 x , y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值为( ?0 ? y ? 2 ?
A.

)

31 5

B. 6 )

C.

23 5

D. 4

9、下列积分的值为 2 的是(

1

A.?5(2x-4)dx

?0

B.?π cosxdx

?0

1 C.?3 dx ?x
1

D.?π sinxdx

?0

10、已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a 4 与 2 a 7 的等差中项为

5 ,则 4

S5 =(
A.35

) B.33 C.31 D.29
2 2

11、一条光线从点 ? ?2, ?3? 射出,经 y 轴反射后与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 1 相切,则反射光线所在直 线的斜率为( (A) ? ) (B) ?

5 3 或? 3 5

3 2 或? 2 3

(C) ?

5 4 或? 4 5

(D) ?

4 3 或? 3 4

' 12、设函数 f ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,

则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( A. (??, ?1) ? (0,1) C. (??, ?1) ? (?1,0)



B. (?1,0) ? (1, ??) D. (0,1) ? (1, ??)

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

13 、 若 “ ?x ? ?0, 为 .

? ?? , tan x ? m ” 是 真 命 题 , 则 实 数 m 的 最 小 值 ? 4? ?

14、 执行右边的程序框图,若输入的 ε 的值为 0.25,则输出的 n 的值 为__________. 15 、 函 数 f ? x ? ? sin ? x ? 2? ? ? 2sin ? cos ? x ? ? ? 的 最 大 值 为 _________. 16、设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x =5 处的切线的斜率为________. 三、解答题(共 6 个小题,第 17 题 10 分,其余各题 12 分,共 70 分。 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 )

2

17、在平面直角坐标系 xoy 中,已知向量 m ? ? (1)若 m ? n ,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为

??

? 2 2? ? ? ?? , n ? ?sin x,cos x ? , x ? ? 0, ? . , ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2? ?

??

?

??

?

? ,求 x 的值. 3

18、如图,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB, BC,PD,PC 的中点. (1)求证:CE∥平面 PAD; (2)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

3 2 19、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值.

(1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.

20、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,短轴长为 4,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 l 过该椭圆的左焦点,交椭圆于 M、N 两点,且 MN ?

5 , 5

16 5 ,求直线 l 的方程. 9
3

21、 用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的框架, 如果所制的容器的底面的长比宽多 0.5 米, 那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积。

22、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn ? 3n ? 3 . (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 anbn ? log3 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和Tn .

4

2015~2016 学年第二学期 惠州市第一中学(高二)年级(4 月)月考数学理科答案 1—4:BCCB,5—8:BACC,9—12:DCDA 13 题:1,14 题:3,15 题:1,16 题:0 17 题:

?? ? ?? ? sin ? x ? ? m?n ?? 4? ? ? ? sin ? x ? ? , (2)由(1)依题知 cos ? ?? ? ? 2 2 3 m?n 4? ? ? 2? ? 2? 2 2 ? ? ?? ? ? sin x ? cos x ? 2 ? ? 2 ? ?
∴ sin ? x ? ∴ x?

? ?

??
?
6

1 ? ? ? ?? ? ? 又 x ? ?? ? , ? , 4? 2 4 ? 4 4?
即x ?

?
4

?

5? . 12

【考点定位】向量数量积的坐标运算,两角和差公式的逆用,知角求值,知值求角. 【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算,两角和差公式的逆用,知角求值和知值求角等 问题以及运算求解能力,属于中档题,解答本题关键在于由向量的垂直及其坐标运算得到

?? 2 2 ? sin x ? cos x 运用两角和差公式的逆用合并为 sin ? x ? ? . 2 2 4? ?

18 题:

5

6

19. 解: (1) f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意,

?3a ? 2b ? 3 ? 0, f ' (1) ? f ' (?1) ? 0 ,即 ? 解得 a ? 1, b ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0.
∴ f ' ( x) ? x 3 ? 3x ,∴ f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ? 1) 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?1, x ? 1 若 x ? (??,?1) ? (1,??) ,则 f ' ( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??,?1)和(1,??) 上是增函数;

┅┅ (3 分)

, 1) ,则 f ' ( x) ? 0 若 x ? (?1
故 f ( x) 在 ( ?1,1) 上是减函数; 所以 f (?1) ? 2 是极大值, f (1) ? ?2 是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ (6 分) (2)曲线方程为 y ? x ? 3x ,点 A(0,16) 不在曲线上。
3

设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 ? 3x0 由 f ' ( x0 ) ? 3( x0 ? 1) 知,切线方程为
2

3

y ? y0 ? 3( x0 ? 1)(x ? x0 )
3

2

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
2

(9 分)

又点 A(0,16) 在切线上,有 16 ? ( x0 ? 3x0 ) ? 3( x0 ? 1)(0 ? x0 ) 化简得 x0 ? ?8 ,解得 x0 ? ?2 所以切点为 M (?2,?2) ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 ┅┅┅┅┅┅ (12 分)
3

7

20.已知椭圆的焦点在 x 轴上,短轴长为 4,离心率为 (1)求椭圆的标准方程;

5 , 5
16 5 ,求直线 l 的方程. 9
,代入 中,

(2)若直线 l 过该椭圆的左焦点,交椭圆于 M、N 两点,且 MN ?

解: (1)∵短轴长为 4,离心率为 ,∴

,∴





,又已知椭圆的焦点在 x 轴上,∴椭圆的标准方程为 , ,

(2)由上知

,左焦点为

当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为





, 此时

,这不合题意。

所以,直线 l 的斜率存在,设斜率为 k,则直线 l 的方程为



代入椭圆的标准方程

,即

中,得

,∴



=

=

=

=

=

,由



,∴



∴直线 l 的方程为

,或

21. 用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的框架, 如果所制的容器的底面的长比宽多 0.5 米, 那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 解: 设容器底面宽为 x m,则长为(x+0.5)m,高为(3.2-2x)m.
8

?3.2-2x>0, ? 由? ? ?x>0,

解得 0<x<1.6,
3

设容器的容积为 y m ,则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x +2.2x +1.6x, y′=-6x +4.4x+1.6, 令 y′=0,即-6x +4.4x+1.6=0, 4 解得 x=1,或 x=- (舍去). 15 ∵在定义域(0,1.6)内只有一个点 x=1 使 y′=0,且 x=1 是极大值点, ∴当 x=1 时,y 取得最大值为 1.8. 此时容器的高为 3.2-2=1.2 m. 因此,容器高为 1.2 m 时容器的容积最大,最大容积为 1.8 m .
3 2 2 3 2

22.

9

10


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