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人教A版2012高三数学理全套解析一轮复习课件:2-1 函数及其表示


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第二章 函数、导数及其应用

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内容分析 1.函数、导数及其应用是高中数学的重要内容,本章主要包括函 数的概念、表示及性质,基本初等函数(二次函数、指数函数、对数函

数、幂函数)的图象与性质,导数的概念、运算及其几何意义,导数在
研究函数的单调性、极值与最值及解决生活中的优化问题中的应用.

2.本章内容集中体现了三大数学思想:函数与方程、数形结合、
分类讨论思想,且常与方程、不等式等知识交汇命题,具有较强的综 合性.各省市的高考中与本章考点有关题目的分值约占到总分的五分 之一.

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命题热点

1.函数的概念、图象及其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值、
对称性)是高考考查的主要内容,函数的定义域、解析式、图象是高考

考查的重点,函数性质与其他知识的综合题是历年高考的热点.
2.导数的几何意义,导数在研究函数单调性、极值、最值及最 优化问题方面的应用是高中数学的一个重点内容,是近几年高考的热 点考向,复习时应引起足够的重视. 3.数形结合思想、函数与方程的思想、分类讨论思想在解决各 种与函数有关的题型中均有应用,应引起重视.

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第一节 函数及其表示

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1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定 义域和值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用.

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1.函数的定义
一般地,设A、B是两个 非空的数集 ,如果按照某种确定的对

应关系f,使对于集合A中的 任意一个 数x,在集合B中都有唯一确定的 数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记 作 f(x) ,x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的 值域.

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2.函数的表示法 函数的表示法:解析法、图象法、列表法. (1)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中f(x)是用 自变量x的代数式

来表达的,则这种表达 函数 的方法叫做解析法.
(2)图象法:对于函数y=f(x)(x∈A),定义域内每一个x的值都有唯

一的y值与它对应,把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点
P的坐标,记作P(x,y),则所有这些点的 集合构成一条曲线 把 这 种 , 用 点的集合 表示 函数 的方法叫做图象法.

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(3)列表法:用列出 自变量x

与对应的

函数值y

的表格来

表达 两个变量间的对应关系 的方法叫做列表法.
3.映射的定义 一般地,设A、B是两个 非空集合 ,如果按照某一个确定的对应 关系f,使对于集合A中的 任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定 的 元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映 射.

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3x2 1.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( 1-x 1 A.(-3,+∞) 1 1 C.(- , ) 3 3 1 B.(-3,1)

)

1 D.(-∞,- ) 3
1 ?- <x<1,故函 3

?1-x>0 ? 解析:要使函数有意义,需满足? ?3x+1>0 ?

1 数的定义域是(- ,1). 3

答案:B

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2.下列各组函数中表示同一函数的是( A.f(x)=x 与 g(x)=( x)2 3 B.f(x)=|x|与 g(x)= x3 C.f(x)=ln ex 与 g(x)=elnx x2-1 D.f(x)= 与 g(t)=t+1(t≠1) x-1

)

解析: 由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断, 知 D 正确.

答案:D

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1 3.已知 f:x→-sinx 是集合 A(A?[0,2π])到集合 B={0,2} 的一个映射,则集合 A 中的元素个数最多有( A.4 个 C.6 个 B.5 个 D.7 个 )

解析:∵A?[0,2π],由-sinx=0 得 x=0,π,2π;由-sinx 1 7π 11π =2得 x= 6 , 6 ,∴A 中最多有 5 个元素,故选 B.

答案:B

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4.如右图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 1 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则 f( )的值等于________. f(3)

1 解析: f( )=f(1)=2. f(3)

答案:2

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x-4 5.若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则实数 m 的取 mx +4mx+3 值范围是________.

x-4 解析:若 m=0,则 f(x)= 的定义域为 R;若 m≠0,则 Δ 3 3 =16m2-12m<0,得 0<m< ,综上可知,所求的实数 m 的取值范 4 3 围为[0, ). 4

3 答案:[0, ) 4

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热点之一

函数的有关概念

1.函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等
关键词. 2.构成函数的三要素是:定义域、值域和对应法则,而值域由 定义域和对应法则可以确定.分析判断两函数是否为同一函数时,就 从这三个方面进行分析,只有三者完全相同时才为同一个函数.

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[例 1] 么?

以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什

x (1)f1:y= ;f2:y=1. x
?x x>0, ? (2)f1:y=|x|;f2:y=? ?-x x<0. ?

?1 x≤1, ? (3)f1:y=?2 1<x<2, ?3 x≥2; ?

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f2: x x≤1 1<x<2 x≥2 y 1 2 3

(4)f1:y=2x;f2:如下图所示.

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[思路探究]

(3)中分别用解析法和列表法表示函数,(4)中分别用

解析法和图象法.
[课堂记录] 义域为R. (2)不同函数.f1(x)的定义域为R,f2(x)的定义域为{x∈R|x≠0}. (3)同一函数.x与y的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同 一函数的不同表示方式. (4)同一函数.理由同(3). (1)不同函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定

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下列各对函数中,相同的是(

)

A.f(x)=x,g(x)=( x)2 B.f(x)= 1-x2,g(x)=1-|x|,x∈[-1,1] C.y=f(x),g(x)=f(x+1)
? 1 x? D.f(x)=?lg(2) ?,g(x)=|x|lg2 ? ?

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解析:A 中,f(x)的定义域为 R,g(x)的定义域为 x≥0,由于 定义域不同,故排除 A;B 中,虽然定义域、值域均相同,但对 1 1 应法则不同,例 f( )≠g( ),故 B 也排除;C 中,值域相同,但定 2 2 义域未必相同,且对应法则不同,g(x)的图象可由 f(x)图象向左平 移一个单位得到,因此 f(x)与 g(x)的图象不重合,故 C 也排除;D 中,将 f(x)恒等变形后恰为 g(x),且定义域也相同,故选 D.

答案:D

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热点之二

求函数的定义域

求函数定义域遵循的原则:
(1)求具体函数y=f(x)的定义域时:

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(2)求抽象函数的定义域时:

①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的定义域
由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在 x∈[a,b]时的值域. 提醒:定义域必须写成集合或区间的形式.

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[例 2]

已知函数 y=f(x)的定 义域 是 [0,2],那么 g(x)=

f(x2) 的定义域是________. 1+lg(x+1)
[思路探究] (1)x2 与已知 f(x)中 x 的含义相同.

(2)分析分式的分母及对数式的真数满足的条件.

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?0≤x ≤2 ? [课堂记录] 由?x+1>0 ?1+lg(x+1)≠0 ?
2

?- 2≤x≤ 2 ?x>-1 得? ?x>-1且x≠- 9 10 ?

.

9 9 ∴-1<x<- 或- <x≤ 2. 10 10 9 9 故定义域为(-1,- )∪(- , 2]. 10 10

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[思维拓展]

求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运

算可以施行为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集,
如果已知函数是由两个以上式子的和、差、积、商的形式构成时,定 义域是使各部分有意义的公共部分的集合.

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函数f(x)=log3x的定义域为M=[1,9].若函数g(x)=

[f(x)]2+f(x2)的定义域为N.则下面四个命题:
①M=N,②M?N,③M∩N=N,④M∪N=N中,真命题的个数 为( ) A.1 C.3 B.2 D.4

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?1≤x≤9 ? 解析:据题意,g(x)的定义域为? 2 ?1≤x ≤9 ?

?1≤x≤3,

故 N=[1,3], ∵M=[1,9],∴N?M,M∩N=N.

答案:A

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热点之三

求函数的解析式

求函数解析式的常用方法有:(1)代入法,用g(x)代替f(x)中的x,
即得到f[g(x)]的解析式;(2)拼凑法,对f[g(x)]的解析式进行拼凑变形, 使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边的所有“g(x)”即可;(3)换元 法,设t=g(x),解出x,代入f[g(x)],得f(t)的解析式即可;(4)待定系数 法,若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值,确 定相关的系数即可;(5)赋值法,给变量赋予某些特殊值,从而求出其 解析式.

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[例 3]

? 1? 3 1 (1)已知 f?x+ x ?=x + 3,求 f(x); x ? ?

?2 ? (2)已知 f?x +1?=lgx,求 ? ?

f(x);

(3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求 f(x);
?1? (4)已知 f(x)满足 2f(x)+f?x?=3x,求 f(x). ? ?

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[课堂记录]

? 1? ? 1?3 ? 1? (1)∵f?x+ x ?=?x+ x ? -3?x+ x ?, ? ? ? ? ? ?

∴f(x)=x3-3x,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 2 2 (2)令 +1=t,则 x= , x t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,∴f(x)=lg ,x∈(1,+∞). t-1 x-1 (3)设 f(x)=ax+b,则

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3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,故 f(x)=2x+7,x∈R.
?1? (4)2f(x)+f?x?=3x,① ? ? ?1? 1 3 把①中的 x 换成 ,得 2f? x ?+f(x)= ,② x x ? ?

3 1 ①×2-②得 3f(x)=6x- ,∴f(x)=2x- .(x≠0). x x

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已知g(x)=-x2 -3,f(x)是二次函数,f(x)+g(x)是

奇函数,且当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为1,求f(x)的表达式.
解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 g(x)+f(x)=(a-1)·2+bx+c-3 为奇函数, x ∴a=1,c=3, b2 b2 ∴f(x)=x2+bx+3=(x+ ) +3- . 2 4 ∵当 x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为 1,

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?-1≤-b≤2, ?-b<-1, ? ? 2 2 ∴? 或? b2 ?f(-1)=1-b+3=1 ?3- =1 ? ? 4 ?-b>2, ? 或? 2 ?f(2)=4+2b+3=1. ?
解得 b=3 或 b=-2 2, ∴f(x)=x2+3x+3 或 f(x)=x2-2 2x+3.

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热点之四

分段函数及其应用

若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同,则可用几个不同
的解析式来表示该函数,这种形式的函数叫分段函数.分段函数是一 个函数,而不是几个函数,它的连续与间断完全由对应关系来确 定.对于分段函数的求值问题,一定要坚持定义域优先的原则.

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[例 4] 函数

?sin(πx2) (-1<x<0) ? f(x)=? x-1 ?e (x≥0) ?

,若 f(1)+f(a)=2,

则 a 的所有可能值为( A.1 2 C.- 2

) 2 B.1,- 2 2 D.1, 2

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[课堂记录] f(1)=1, 当 a≥0 时,f(a)=ea 1, ∴1+ea 1=2,∴a=1, 当-1<a<0 时,f(a)=sin(πa2), ∴1+sin(πa2)=2, π ∴πa2= +2kπ(k∈Z), 2 2 ∵-1<a<0,∴a=- ,故选 B. 2
- -

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已知函数

?2x2+1 x≤0 ? f(x)=? ?-2x x>0 ?

,则不等式 f(x)

-x≤2 的解集是________.
解析:当 x≤0 时,f(x)=2x2+1, ∴2x2+1-x≤2,即 2x2-x-1≤0. 1 ∴- ≤x≤1. 2

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1 又∵x≤0,∴- ≤x≤0. 2 当 x>0 时,f(x)=-2x, 2 ∴-2x-x≤2,∴x≥- . 3 1 又∵x>0,∴x>0.综上所述,x≥- . 2 ? 1 ? 答案:?-2,+∞? ? ?

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从近两年的高考试题看,表示函数的解析法、图象法,分段函数 以及函数与其他知识的综合问题是高考的热点,题型既有选择题、填

空题,又有解答题,难度中等偏高;客观题主要考查解析法、图象法、 分段函数的应用及对函数概念的理解.

主观题考查较为全面,在考查函数概念、表示的基础上,又注重
考查函数方程、分类讨论、数形结合等思想方法.

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[例 5] (2010· 陕西高考)某学校要召开学生代表大会, 规定各 班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再 ... 增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间 的函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以 表示为( )
?x+3? ? B.y=? 10 ? ? ?x+5? ? D.y=? ? 10 ?

?x? A.y=?10? ? ? ?x+4? ? C.y=? ? 10 ?

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[解析] 根据规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除 以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表,即余数分别为 7、8、9 .. . 时可增选一名代表.因此利用取整函数可表示为 B.
?x+3? ?.故选 y=? ? 10 ?

[答案]

B

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1. (2010· 陕西高考)已知函数 =4a,则实数 a 等于( 1 A. 2 C.2 )

?2x+1,x<1, ? f(x)=? 2 ?x +ax,x≥1, ?

若 f[f(0)]

4 B. 5 D.9

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?2x+1,x<1, ? 解析:f(x)=? 2 ?x +ax,x≥1. ?

∵0<1,∴f(0)=20+1=2. ∵f(0)=2≥1,∴f[f(0)]=22+2a=4a, ∴a=2.故选 C.

答案:C

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2 . (2010· 津 高 考 ) 设 函 数 g(x) = x2 - 2(x∈R) , f(x) = 天
?g(x)+x+4,x<g(x), ? ? ?g(x)-x,x≥g(x). ?

则 f(x)的值域是(

)

9 A.[- ,0]∪(1,+∞) 4 B.[0,+∞) 9 C.[- ,+∞) 4 9 D.[- ,0]∪(2,+∞) 4

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解析:令 x<g(x),即 x2-x-2>0,解得 x<-1 或 x>2. 令 x≥g(x),而 x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2. 故函数
?x2+x+2(x<-1或x>2), ? f(x)=? 2 ?x -x-2(-1≤x≤2). ?

当 x<-1 或 x>2 时,函数 f(x)>f(-1)=2; 1 当-1≤x≤2 时,函数 f( )≤f(x)≤f(-1), 2

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9 即- ≤f(x)≤0. 4 9 故函数 f(x)的值域是[- ,0]∪(2,+∞). 4

答案:D

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