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正、余弦函数的性质—(周期性)


正、余弦函数的性质—(周期性)
授课类型:新授课 一:教学目的: 1.知识与技能: (1)了解周期函数与周期的概念. (2)知道正弦函数及余弦函数是周期函数,并能说出 y=sinx,y=cosx, 的周期和最小正周期. (3)归纳出函数 y=Asin(ωx+φ) ,x∈R 和 y=Acos(ωx+φ) ,x∈R (其中 A、ω、φ 为常数且 A≠0, ω>0)的周

期,且能用它直接写出正余弦函数及其变形式的 周期。 2.过程与方法: 渗透数形结合思想,与学生一起体会从感性 到理性、从特殊到一般的思维过程,提升学生探究问题的能 力. 3.情感态度价值观:使学生体会事物周期变化的奥秘,让学 生感受数学的理性美,激发学习兴趣. 二:教学重点: 掌握正、余弦函数的性质,判断是否具有该性质的条件, 掌握灵活解题的方法。

三:教学难点: 1 理解周期性和怎样判断求周期 T 即 f(x +T)=f(x). 2 利用“诱导公式”解决变形的“正余弦函数”的周期等。 四:教学方法: 结合引导法—既利用正、余弦函数的图像,结合书上的定 义,引导学生利用相关知识判断正、余弦函数的性质。 五:教具准备: 彩色粉笔、直尺 六:教学过程 (1)引入:在上一节课我们根据“简谐运动”的实验并 利用单位圆作出了正、余弦函数的图象,而且还学会“五点 法”作图的方法,现在老师和同学们一起来画它们的图像

知道了它们的图像,那么它们的性质又是如何的呢?今天我 们就来研究它们的第一个性质——周期性。 (2)讲解新课

一问题情境 问题 1:日出日落、秋去冬来、花开花落??都是“按一 定规律周而复始”的出现,其实,自然界还有许许多多这样 的现象,这一现象称为周期现象。 问题 2:由 sin(2? ? x) ? sin x

cos(2? ? x) ? cos x

每当角增加 2 ? ,所得角的终边与原来角的终边相同,两角 的正弦值相等,余弦值也相同,所以正、余弦函数的函数值 变化呈现周期现象 二 数学构建 1 周期性:在数学上我们用周期性这个概念来定量地刻 画这种“周而复始”的变化规律。 2 周期函数: 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内每一个值时,都有 f( x+ T)=f( x),则 称函数 f(x)为周期函数, 其中非零常数 T 为这个函数的周期。
1 常数 T ? 0 ; 定义说明:○ 2 定义域内每一个 x 都要满足 f( x+T)=f( x), ○

个别满足条件不能说明 T 为该周期函数的周期;
3 ○

x ? 定义域,x ? T ? 定义域 ;

4 ○ 周期 T 是自变量 x 加上的常数;如

f(2x+T)=f(2x),则 T 就不是 f(x)的周期, 而应写成 f(2x+T)=f[2(x+ T )]=f(2x), T 是 f(x)的周期;
2 2

Sin(30 +120 )=sin30 能 说 明 正 弦 函 数 的 周 期

0

0

0

T=120 ? 3 知 f(x+2T)= f(x+T+T)=f(x+T)=f(x)……一次类推 3 根据○ 知 f(x+nT)=f(x)( n ? z ) 即 T、2T、3T……nT 都是 f(x)的周 期

0

注 周期函数的周期不止一个
44 最小正周期的概念:对于周期函数 f( x ),如果在它 所有周期中,存在一个最小的正数,则称这个 最小正数为 f( x)的最小正周期 注 不是每一个周期函数都有最小正周期 如 f( x)=1 今后无特别说明的话,函数的周期都是指最小正周期。 5 结论: 正、余弦函数具有周期性,是周期函数,

2k? (k ? 0, k ? z) 是它们的周期, 2? 是它们的最小正
周期。 6 实例分析: 求下例函数的周期:

(1) y ? 3 cos x x ? R (2) y ? sin 2 x x ? R 1 ? (3) y ? 2 sin( x ? ) 2 6

x?R

解:(1)?cos x 是以2π为周期的周期函数.

?cos( x ? 2? ) ? cos x,3cos( x ? 2? ) ? 3cos x,

? y ? 3cos x, x ? R的周期为2?
(2) ? sin(2 x) ? sin(2 x ? 2? )

?sin(2x) ? sin ?2( x ? ? )? ? y ? sin 2 x 的周期为π.
? f ( x ? T ) ? f ( x)

(3)

?? ?1 解:设f ( x ) ? 2sin ? x ? ?的周期为T . 6? ?2
?? 1 ? ? 1 ? ?1 ? ? ? 2sin ? ? x ? ? ? T ?? 2sin ? x ? ? 6? 2 ? 6? ?2 ?? 2
?? ?1 ?1 ? ? ? 2sin ? ( x ? T ) ? ? ? 2sin ? x ? ? 6? 6? ?2 ?2

令u ?

1 ? 1 ? ? x ? , 则 sin ? u ? T ? ? sin u 2 6 2 ? ?

? y ? sin u 的周期为2? ?

T ? 2? , 即T ? 4? . 2

你能从上面的例子中发现这些函 数的周期与解析式中哪些量有关?

y ? A sin(wx ? ? ) x ? R y ? A cos(wx ? ? ) x ? R



A ? 0, w ? 0) 的周 T= 2? 其中 ( A、w、?为常数,且
w

当 w<0 时,周期 T=

2? | w|

(3)总结:1 什么是周期函数、周期、最小正周期? 2 正与弦函数的周期性 3 正与弦函数变形式周期的求法? (4)课后作业:P36 练习题 2 题,P46 习题 1.4 A 组 3 题


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