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圆锥曲线椭圆题带答案


椭圆
经典考题 1.(2011?¤西安模拟)椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( 1 1 (A) (B) (C)2 (D)4 4 2 【解析】选 A.将原方程变形为 x ?
2

)

y 1 2 1 2 ? 1 ,由题意知 a ? ,b ? 1 ,m ? 。 1 m 4 m

2

? 2 ? 1 的左焦点 F1,右顶点 A,上顶 2 a b 点 B 且∠F1BA=90°,则椭圆的离心率是( )

2.(2011?¤福州模拟)已知椭圆

x

2

y

2

(A)

5 ?1

2 2 2 2 【解析】选 A.如图所示,在 Rt△ABF1 中,∵OB⊥AF1, ∴|OB|2=|OF1|·|OA|,∴b2=ac,∴a2-c2=ac,又∵0<e<1, 2 3.(2011?¤温州模拟)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,椭圆的两个焦点分别为(-4,0)和(4,0),且经过点(5,0), 则该椭圆的方程为_____. 【解析】由题意知椭圆的焦点在 x 轴上,且 c=4,a=5,∴b2=a2-c2=9.则椭圆的标准方程为 e? 5 ?1

(B)

3 ?1

(C)

3

(D)

1

答案:

x

2

25

?

y

2

9

?1 x
2

? 2 ? 1 ,(a>b>0) 2 a b 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x2+y2=b2 相切于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为_____. 【解析】连接 OQ,PF1,因为 Q 为线段 PF2 的中点,∴OQ PF1,又 2 2 2 PF2 与圆 x +y =b 相切于点 Q, 所 以 |OQ|=b, ∴ |PF1|=2b , 在 Rt △ F1PF2 中 ,

4.(2011?¤中山模拟)如图,已知 F1,F2 是椭圆 C:

y

2

PF 2 ?

F1 F 2

2

? PF 1

2

? 2 c ?b
2

2

? 2 a ? 2b
2
2

2

5 3

5.(2010?¤新课标全国卷)设 F1,F2 分别是椭圆 E: x ? 交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

y b

2 2

? 1 (0<b<1)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相

【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= (2)l 的方程为 y=x+c,其中 c ? 2 1 ? b 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组
2

4 3

?y ? x ? c 2 ? 2c 1 ? 2b 2 ? 2 , x1 x 2 ? ,b? 化简得 x1 ? x 2 ? ? 2 y 2 2 2 1? b 1? b ?x ? 2 ? 1 b ?
1

模拟考场,实践演练
一、选择题(每小题 4 分,共 20 分)
? 1 (a>b>0),过焦点 F1 的弦 AB 的长是 2,另一焦点为 F2,则△ABF2 的周长是( 2 2 a b (A)2a (B)4a-2 (C)4a (D)4a+4 【解析】选 C.△ABF2 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a.

1.已知椭圆

x

2

?

y

2

)

2.(2011?¤淄博模拟)椭圆 (A) (B)

x

2

4 (C)1 x
2

?

y

2

3 y
2

? 1 的右焦点到直线 y=的距离是(

)

(D)
? 3 ? 1 的右焦点为 F(1,0)∴它到直线 y= 3 x(即
3 x-y=0)的距离为

【解析】选 B.由已知椭圆
3?0 ( 3) ? 1
2

4

?

3 2

3.(2010?¤广东高考)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( 4 3 2 1 (A) (B) (C) (D) 5 5 5 5 5 【解析】选 B.由 2a,2b,2c 成等差数列,所以 2b=a+c.又 b2=a2-c2,所以(a+c)2=4(a2-c2),所以 a= c 所以 3 c 3 e? ? a 5
? ? 1 的焦距为 4,则 m 等于( 10 ? m m ? 2 (A)4 (B)8 (C)4 或 8 (D)以上均不对 【解题提示】分焦点在 x 轴,y 轴两种情况讨论. 【解析】选 C.由题意知,焦距为 4,2<m<10,

)

4.已知椭圆:

x

2

y

2

)

?4? 当 10-m>m-2,即 m<6 时, 10-m-(m-2)= ? ? 有 ?2? 解得 m=8,综上可知,m=4 或 m=8.

2

?4? 解得 m=4,当 m-2>10-m,即 m>6 时, m-2-(10-m)= ? ? 有 ?2?

2

5.已知椭圆 (A) (?

x

2

4

?

y

2

3

? 1 若此椭圆上存在不同的两点 A、 关于直线 y=4x+m 对称, B 则实数 m 的取值范围是(

)

2 13 2 2 , ) 13 13

(B) (?

2 13 2 13 , ) 13 13

(C) (?

【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x,y), k AB

2 2 13 , ) 13 13 y ? y1 1 ? 2 ?? x 2 ? x1 4

(D) (?

2 3 2 3 , ) 13 13

x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x21+4y21=12 ①, 3x22+4y22=12 ②, ①②两式相减得 3(x22-x21)+4(y22-y21)=0,即 y1+y2=3(x1+x2),即 y=3x,与 y=4x+m 联立得 x=-m,y=-3m,而 M(x,y)在 椭圆的内部,则
m
2

13 13 4 3 【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧: 对于直线与椭圆相交问题,若题设和待求涉及到弦的中点和所在直线的斜率,求解时一般先设交点坐标,代 入曲线方程,再用平方差公式求解,这种解法,大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.

?

9m

2

? 1即?

2 13

?m?

2 13

2

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.已知椭圆的中心在原点、焦点在 y 轴上,若其离心率是 【解析】由题意知 2c=8,c=4, e ?
c a ? 4 a ? 1 2 1 2

,焦距是 8,则该椭圆的方程为_____.
x
2

∴a=8,从而 b2=a2-c2=48,∴方程是
x a
2 2

64

?

y

2

48

?1

7.(2011?¤南京模拟)已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 tan∠PF1F2=
1 2 n m ? 1 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)上的一点,若 PF 1 ? PF 2 ? 0

则此椭圆的离心率为_____. ∴m=2n.

【解析】如图,令|PF1|=m,|PF2|=n,则
?m ? n ? 2a c 5 又? 2 ,e ? ? 2 2 a 3 ?m ? n ? 4c

8.(2010?¤湖北高考)已知椭圆 C: 满足 0<
x0 2
2 2

x

2

2

? y ? 1 的两焦点分别为 F1,F2,点 P(x0,y0)
2

? y 0 ? 1 <1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为_____,直线

xx 0 2

? yy 0 ? 1 与椭圆 C 的公共点个数为

_____. 【解题提示】由已知知点 P 在椭圆内部,延长 PF1 交椭圆 C 于点 M,利用|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<|MF1|+|MF2|得第 一空的解,第二空分 y0=0 与 y0≠0 讨论,当 y0≠0 时利用直线与椭圆 C 构成的方程组的解的个数多少来判断. 【解析】延长 PF1 交椭圆 C 于点 M,故|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<|MF1|+|MF2|=2a,即 2≤|PF1|+|PF2|< xx 2 2 ? (-∞, x ? ? ( ? ? ,? 2 )∪( 2 ,+∞),与椭圆 当 y0=0 时,0<x02<2,直线 0 ? yy 0 ? 1 为 x ? 2 x0 x0
0 C 无交点; [ 2 , 2 2 ] 三、解答题(每小题 9 分,共 18 分)

9.中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y=3x-2 所得的弦的中点的横坐标为 【解题提示】用待定系数法,注意弦的中点的横坐标为 【解析】设椭圆的标准方程为
x
2

1 2

求椭圆的方程.

1 2

,即可求得字母参数.

? 1 (a>b>0),由 F1(0, 50 )得 a2-b2=50.把直线方程 y=3x-2 代入椭 2 2 a b 圆 方 程 整 理 得 (a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0. 设 弦 的 两 个 端 点 为 A(x1,y1),B(x2,y2) , 则 由 根 与 系 数 的 关 系 得 x1 ? x 2 ? ? 12 b
2 2 2

?

y

2

a ? 9b

, 又 AB 的中点的横坐标为 x
2

1 2

,?
2

x1 ? x 2 2

?

6b
2

2 2

a ? 9b

?

1 2

,∴a2=3b2,与方程 a2-b2=50

联立可解出 a2=75,b2=25.故椭圆的方程为

25

?

y

75

?1

10.(2011?¤北京模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是 2∶ 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上任意一点.当 MP 最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求 实数 m 的取值范围.

3

【解析】(1)设椭圆 C 的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

?a 2 ? b 2 ? c ? ? ? 1 (a>b>0).由题意,得 ? a : b ? 2 : 3 解得 a2=16,b2=12. ?c ? 0 ? ?

2

所以椭圆 C 的方程为 (2)

x

2

16

?

y

2

12

?1

2

因为当 MP 最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,即当 x=4 时, MP 取得最小值.而 x∈[-4,4], 故有 4m≥4,解得 m≥1.又点 M 在椭圆的长轴上,所以-4≤m≤4.故实数 m 的取值范围是[1,4]. 【探究创新】 (10 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x-y+2 2 =0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点 M、N.当|AM|=|AN|时,求 m 的取值范围 【解析】(1)依题意可设椭圆方程为
x
2 2

x a

2 2

a ?1 ? 2 2
2

? y ?1
2

则右焦点 F ( a ? 1 ,0 )
2

由题设得

1 ? ( ? 1)
2

?3
2

? y ?1 3 ? y ? kx ? m ? (2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 ,得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, 2 ? y ?1 ? ? 3 由于直线与椭圆有两个交点,∴Δ >0,即 m2<3k2+1, ①

解得 a2=3,故所求椭圆的方程为

2 m ? 3k ? 1 1 m ? ( ,2 ) 2
2



4


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