kl800.com省心范文网

2012年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析


2012 年福建省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出分四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2012?福建)若复数 z 满足 zi=1﹣i,则 z 等于( ) A.﹣1﹣i B.1﹣i C.﹣1+i D.1+i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 由复数 z 满足 zi=1﹣i,可得 z=
菁优网版权所有

=

,运算求得结果.

解答: 解:∵复数 z 满足 zi=1﹣i, ∴z= = =﹣1﹣i,

故选 A. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的除法,两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的 共轭复数,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题. 2. (5 分) (2012?福建)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C .3 D.4 )

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 设数列{an}的公差为 d,则由题意可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得 d 的值. 解答: 解:设数列{an}的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解得 d=2, 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.
菁优网版权所有

3. (5 分) (2012?福建)下列命题中,真命题是( ) A. B. ?x∈R,2x>x2 ?x0∈R, ≤0 C. a+b=0 的充要条件是 =﹣1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;全称命题;特称命题;命题的真假判断与应 用. 专题: 计算题. 分析: 利用指数函数的单调性判断 A 的正误; 通过特例判断,全称命题判断 B 的正误;
菁优网版权所有

1

通过充要条件判断 C、D 的正误; x 解答: 解:因为 y=e >0,x∈R 恒成立,所以 A 不正确; 因为 x=﹣5 时 2 <(﹣5) ,所以?x∈R,2 >x 不成立. a=b=0 时 a+b=0,但是 没有意义,所以 C 不正确; a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件,显然正确. 故选 D. 点评: 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,全称命题,特称命题,命题的真假 判断与应用,考查基本知识的理解与应用. 4. (5 分) (2012?福建)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不 可以是( ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 考点: 由三视图还原实物图. 专题: 作图题. 分析: 利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义, 容易判断圆柱的三视图不可能形状相 同,大小均等 解答: 解:A、球的三视图均为圆,且大小均等; B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥,其一个侧面放到平面上,其三 视图均为三角形且形状都相同; C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形; D、圆柱的三视图中必有一个为圆,其他两个为矩形. 故一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是圆柱. 故选 D. 点评: 本题主要考查了简单几何体的结构特征,简单几何体的三视图的形状大小,空间想象 能力,属基础题
菁优网版权所有

﹣5

2

x

2

5. (5 分) (2012?福建)下列不等式一定成立的是( ) A. B. 2 lg(x + )>lgx(x>0) sinx+ ≥2(x≠kx,k∈Z) C. x2+1≥2|x|(x∈R) D. (x∈R)

考点: 不等式比较大小. 专题: 探究型. 分析: 由题意,可对四个选项逐一验证,其中 C 选项用配方法验证,A,B,D 三个选项代 入特殊值排除即可 解答: 解:A 选项不成立,当 x= 时,不等式两边相等;
菁优网版权所有

B 选项不成立,这是因为正弦值可以是负的,故不一定能得出 sinx+ C 选项是正确的,这是因为 x +1≥2|x|(x∈R)?(|x|﹣1) ≥0; D 选项不正确,令 x=0,则不等式左右两边都为 1,不等式不成立.
2
2 2

≥2;

综上,C 选项是正确的. 故选:C. 点评: 本题考查不等式大小的比较,不等式大小比较是高考中的常考题,类型较多,根据题 设选择比较的方法是解题的关键 6. (5 分) (2012?福建)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好 取自阴影部分的概率为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 定积分在求面积中的应用;几何概型. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,易得正方形 OABC 的面积,观察图形可得,阴影部分由函数 y=x 与 y= 围成, 由定积分公式, 计算可得阴影部分的面积, 进而由几何概型公式计算可得答案. 解答: 解:根据题意,正方形 OABC 的面积为 1×1=1,
菁优网版权所有

而阴影部分由函数 y=x 与 y=

围成,其面积为∫0 (

1

﹣x)dx=(



)|0 = ,

1

则正方形 OABC 中任取一点 P,点 P 取自阴影部分的概率为 = ; 故选 C. 点评: 本题考查几何概型的计算,涉及定积分在求面积中的应用,关键是正确计算出阴影部 分的面积.

7. (5 分) (2012?福建)设函数 A.D(x)的值域为{0,1} C. D(x)不是周期函数

,则下列结论错误的是( B. D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数



考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 证明题. 分析: 由函数值域的定义易知 A 结论正确;由函数单调性定义,易知 D 结论正确;由偶函 数定义可证明 B 结论正确;由函数周期性定义可判断 C 结论错误,故选 D 解答: 解:A 显然正确;
菁优网版权所有



=D(x) ,

3

∴D(x)是偶函数, B 正确; ∵D(x+1)= =D(x) ,

∴T=1 为其一个周期, 故 C 错误; ∵D( )=0,D(2)=1,D( )=0, 显然函数 D(x)不是单调函数, 故 D 正确; 故选:C. 点评: 本题主要考查了函数的定义,偶函数的定义和判断方法,函数周期性的定义和判断方 法,函数单调性的意义,属基础题

8. (5 分) (2012?福建)已知双曲线



=1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则 ) C .3

2

该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A. B.

D.5

考点: 双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 2 分析: 确定抛物线 y =12x 的焦点坐标,从而可得双曲线的一条渐近线方程,利用点到直线 的距离公式,即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离. 2 解答: 解:抛物线 y =12x 的焦点坐标为(3,0)
菁优网版权所有

∵双曲线 ∴4+b =9 2 ∴b =5
2

的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合

2

∴双曲线的一条渐近线方程为

,即

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 故选 A. 点评: 本题考查抛物线的性质,考查时却显得性质,确定双曲线的渐近线方程是关键.

9. (5 分) (2012?福建) 若函数 y=2 图象上存在点 (x, y) 满足约束条件

x



则实数 m 的最大值为( ) A. B.1

C.

D.2

4

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析:
菁优网版权所有

根据题意,由线性规划知识分析可得束条件
x

确定的区域,由指数

函数的性质分析可得函数 y=2 与边界直线 x+y=3 交与点(1,2) ,结合图形分析可得 m 的最大值,即可得答案. 解答: 解:约束条件 确定的区域为如图阴影部分,即△ ABC 的边与其内

部区域, 分析可得函数 y=2 与边界直线 x+y=3 交与点(1,2) , x 若函数 y=2 图象上存在点(x,y)满足约束条件, x 即 y=2 图象上存在点在阴影部分内部, 则必有 m≤1,即实数 m 的最大值为 1, 故选 B.
x

点评: 本题考查线性规划的应用与指数函数的性质,关键是得到函数 y=2 与阴影部分边界 直线的交点. 10. (5 分) (2012?福建)函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有 则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x) 在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; 2 ②f(x )在[1, ]上具有性质 P; ③若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 +f(x4)] 其中真命题的序号是( [f(x1)+f(x2)+f(x3)

x



5

A.①②

B.①③

C.②④

D.③④

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;抽象函数及其应用;函数的连续性. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 根据题设条件,分别举出反例,说明①和②都是错误的;同时证明③和④是正确 的. 解答:
菁优网版权所有

解:在①中,反例:f(x)= 但 f(x)在[1,3]上不是连续函数,故①不成立;

在[1,3]上满足性质 P,

在②中,反例:f(x)=﹣x 在[1,3]上满足性质 P,但 f(x )=﹣x 在[1, 满足性质 P, 故②不成立; 在③中:在[1,3]上,f(2)=f( )≤ ,

2

2

]上不





故 f(x)=1, ∴对任意的 x1,x2∈[1,3],f(x)=1, 故③成立; 在④中,对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3], 有 ≤ ≤ = [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)], =



[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],

故④成立. 故选 D. 点评: 本题考查的知识点为函数定义的理解,说明一个结论错误时,只需举出反例即可.说 明一个结论正确时,要证明对所有的情况都成立. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 4 3 11. (4 分) (2012?福建) (a+x) 的展开式中 x 的系数等于 8,则实数 a= 2 .

6

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 4 根据(a+x) 的展开式的通项公式为 Tr+1=
菁优网版权所有

a

4﹣r r

x ,令 r=3 可得(a+x) 的展开

4

式中 x 的系数等于

3

×a=8,由此解得 a 的值. a
4﹣r r

解答: 4 解: (a+x) 的展开式的通项公式为 Tr+1=
4 3

x, ×a=8,解得 a=2,

令 r=3 可得(a+x) 的展开式中 x 的系数等于

故答案为 2. 点评: 本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中 档题. 12. (4 分) (2012?福建) 阅读图所示的程序框图, 运行相应地程序, 输出的 s 值等于 ﹣3 .

考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 直接利用循环框图,计算循环的结果,当 k=4 时,退出循环,输出结果. 解答: 解:由题意可知第 1 次判断后,s=1,k=2, 第 2 次判断循环,s=0,k=3, 第 3 次判断循环,s=﹣3,k=4, 不满足判断框的条件,退出循环,输出 S. 故答案为:﹣3.
菁优网版权所有

7

点评: 本题考查循环结构的作用,注意判断框的条件以及循环后的结果,考查计算能力. 13. (4 分) (2012?福建)已知△ ABC 得三边长成公比为 值为 . 的等比数列,则其最大角的余弦

考点: 余弦定理;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据三角形三边长成公比为 的等比数列,根据等比数列的性质设出三角形的三边 为 a, a,2a,根据 2a 为最大边,利用大边对大角可得出 2a 所对的角最大,设为 θ, 利用余弦定理表示出 cosθ,将设出的三边长代入,即可求出 cosθ 的值. 解答: 解:根据题意设三角形的三边长分别为 a, a,2a, ∵2a> a>a,∴2a 所对的角为最大角,设为 θ,
菁优网版权所有

则根据余弦定理得:cosθ=

=﹣



故答案为:﹣ 点评: 此题考查了余弦定理,等比数列的性质,以及三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理 是解本题的关键.

14. (4 分) (2012?福建)数列{an}的通项公式 an=ncos 3018 . 考点: 数列的求和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先求出 cos 的规律,进而得到 ncos
菁优网版权所有

+1,前 n 项和为 Sn,则 S2012=

的规律,即可求出数列的规律即可求出结

论.

8

解答: 解:因为 cos ∴ncos ∴ncos

=0,﹣1,0,1,0,﹣1,0,1…;

=0,﹣2,0,4,0,﹣6,0,8…; 的每四项和为 2;

∴数列{an}的每四项和为:2+4=6. 而 2012÷4=503; ∴S2012=503×6=3018. 故答案为:3018. 点评: 本题主要考察数列的求和,解决本题的关键在于求出数列各项的规律.

15. (4 分) (2012?福建)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=

设 f(x)=

(2x﹣1)*(x﹣1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1, x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是 .

考点: 根的存在性及根的个数判断;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 根据所给的新定义,写出函数的分段形式的解析式,画出函数的图象,在图象上可以 看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时 m 的取值, 根据一元二次方程的根与系 数之间的关系,写出两个根的积和第三个根,表示出三个根之积,根据导数判断出函 数的单调性,求出关于 m 的函数的值域,得到结果. 解答: 解:∵2x﹣1≤x﹣1 时,有 x≤0,
菁优网版权所有

∴根据题意得 f(x)=

即 f(x)= 画出函数的图象从图象上观察当关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相 等的实数根时,m 的取值范围是(0, ) , 当﹣x +x=m 时,有 x1x2=m, 当 2x ﹣x=m 时,由于直线与抛物线的交点在 y 轴的左边,得到 ∴x1x2x3=m( 令 y= 则 , ,又 在 m∈(0, )上 )= ,m∈(0, )
2 2



9

是增函数,故有 h(m)>h(0)=1 ∴ ∴函数 y= <0 在 m∈(0, )上成立, 在这个区间(0, )上是一个减函数,

∴函数的值域是(f( ) ,f(0) ) ,即 故答案为:

点评: 本题考查分段函数的图象,考查新定义问题,这种问题解决的关键是根据新定义写出 符合条件的解析式,本题是一个综合问题,涉及到导数判断函数的单调性,本题是一 个中档题目. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 80 分,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分) (2012?福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利 润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计数据如下: 品牌 甲 乙 x 0<x 首次出现故障时间 x(年) 0<x<1 1<x≤2 >x≤2> 2 2 2 3 455 45 轿车数量(辆) 1 2 3 1.8 2.9 每辆利润(万元) 将频率视为概率,解答下列问题: (Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品 牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2 的分布列; (Ⅲ) 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当, 由于资金限制, 只能生产其中一种品牌轿车, 若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.

10

考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题. 分析: (I)根据保修期为 2 年,可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量 为 2+3,由此可求其概率;
菁优网版权所有

(II)求出概率,可得 X1、X2 的分布列; (III)由(II) ,计算期为 E(X1)=1× =1.8× +2.9× +2× +3× =2.86(万元 ) ,E(X2)

=2.79(万元 ) ,比较期望可得结论.

解答: 解: (I)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A,则 P(A)= (II)依题意得,X1 的分布列为 1 X1 P X2 的分布列为 X2 P 1.8 2.9

2

3

(III)由(II)得 E(X1)=1× E(X2)=1.8× +2.9×

+2×

+3×

=2.86(万元 )

=2.79(万元 )

∵E(X1)>E(X2) , ∴应生产甲品牌轿车. 点评: 本题考查概率的求解,考查分布列与期望,解题的关键是求出概率,属于基础题. 17. (13 分) (2012?福建)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一 个常数. 2 2 (1)sin 13°+cos 17°﹣sin13°cos17° 2 2 (2)sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15° 2 2 (3)sin 18°+cos 12°﹣sin18°cos12° 2 2 2 (4)sin (﹣18°)+cos 48°﹣sin (﹣18°)cos48° 2 2 2 (5)sin (﹣25°)+cos 55°﹣sin (﹣25°)cos55° (Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 考点: 分析法和综合法;归纳推理. 专题: 计算题. 分析: 2 2 (Ⅰ)选择(2) ,由 sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ,可得这个常数的
菁优网版权所有

值. (Ⅱ)推广,得到三角恒等式 sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)= .证明方
2 2

11

法一:直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边,化简可得结果. 证明方法二:利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 + + cos2α+ ﹣ sin2α﹣ sin2α ,化简可得结果. ﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) ,即 1﹣

解答: 解:选择(2) ,计算如下: sin 15°+cos 15°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ,故 这个常数为 . (Ⅱ) 根据 (Ⅰ) 的计算结果, 将该同学的发现推广, 得到三角恒等式 sin α+cos (30° ﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)= . 证明: (方法一)sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α) =sin α+ =sin α+ cos α+ sin α+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) sinαcosα﹣ sinαcosα﹣ sin α= sin α+ cos α= .
2 2 2

(方法二)sin α+cos (30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α) = =1﹣ =1﹣ + + ﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα) sin2α﹣ sin α =1﹣ ﹣
2

+ (cos60°cos2α+sin60°sin2α)﹣ + cos2α+ = . sin2α﹣ sin2α﹣

点评: 本题主要考查两角差的余弦公式,二倍角公式及半角公式的应用,考查归纳推理以及 计算能力,属于中档题. 18. (13 分) (2012?福建)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 AA1=AD=1,E 为 CD 中 点. (Ⅰ)求证:B1E⊥AD1; (Ⅱ) 在棱 AA1 上是否存在一点 P, 使得 DP∥平面 B1AE?若存在, 求 AP 的长; 若不存在, 说明理由. (Ⅲ)若二面角 A﹣B1E﹣A1 的大小为 30°,求 AB 的长.

12

考点: 用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的 判定. 专题: 证明题;综合题;数形结合;转化思想. 分析: (Ⅰ)由题意及所给的图形,可以 A 为原点, , , 的方向为 X 轴,Y 轴,
菁优网版权所有

Z 轴的正方向建立空间直角坐标系,设 AB=a,给出图形中各点的坐标,可求出向量 与 的坐标,验证其数量积为 0 即可证出两线段垂直.

(II)由题意,可先假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,t) ,使得 DP∥平面 B1AE, 求出平面 B1AE 法向量,可法向量与直线 DP 的方向向量内积为 0,由此方程解出 t 的值,若能解出,则说明存在,若不存在符合条件的 t 的值,说明不存在这样的点 P 满足题意. (III)由题设条件,可求面夹二面角的两个平面的法向量,利用两平面的夹角为 30° 建立关于 a 的方程,解出 a 的值即可得出 AB 的长 解答: 解: (I)以 A 为原点, , , 的方向为 X 轴,Y 轴,Z 轴的正方向建立空 间直角坐标系,如图, 设 AB=a,则 A(0,0,0) ,D(0,1,0) ,D1(0,1,1) ,E( ,1,0) ,B1(a,0, 1) 故 0) , ∵ ? =1﹣1=0 =(0,1,1) , =(﹣ ,1,﹣1) , =(a,0,1) , =( ,1,

∴B1E⊥AD1; (II)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0,t) ,使得 DP∥平面 B1AE.此时 ﹣1,t) . 又设平面 B1AE 的法向量 =(x,y,z) . ∵ ⊥平面 B1AE,∴ ⊥B1A, ⊥AE,得 法向量 =(1,﹣ ,﹣a) . 要使 DP∥平面 B1AE,只要 ⊥ (0,0, ) , 又 DP?平面 B1AE, ∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP= ,即有 ? =0,有此得 ﹣at=0,解得 t= ,即 P ,取 x=1,得平面 B1AE 的一个 =(0,

13

(III)连接 A1D,B1C,由长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C. 由(I)知,B1E⊥AD1,且 B1C∩B1E=B1. ∴AD1⊥平面 DCB1A1, ∴AD1 是平面 B1A1E 的一个法向量,此时 =(0,1,1) .



与 所成的角为 θ,则 cosθ=

=

∵二面角 A﹣B1E﹣A1 的大小为 30°, ∴|cosθ|=cos30°= ,即| |= ,解得 a=2,即 AB 的长为 2

点评: 本题考查利用空间向量这一工具求二面角,证明线面平行及线线垂直,解题的关键是 建立恰当的坐标系及空间位置关系与向量的对应,此类解题,方法简单思维量小,但 计算量大,易因为计算错误导致解题失败,解题时要严谨,认真,利用空间向量求解 立体几何题是近几年高考的热点,必考内容,学习时要好好把握

19. (13 分) (2012?福建)如图,椭圆 E:

的左焦点为 F1,右焦

点为 F2,离心率 e= .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ ABF2 的周长为 8. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q.试 探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

14

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)根据过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ ABF2 的周长为 8,可得 4a=8,即
菁优网版权所有

a=2,利用 e= ,b =a ﹣c =3,即可求得椭圆 E 的方程.

2

2

2

(Ⅱ) 由

, 消元可得 (4k +3) x +8kmx+4m ﹣12=0, 利用动直线 l: y=kx+m

2

2

2

与椭圆 E 有且只有一个公共点 P (x0, y0) , 可得 m≠0, △ =0, 进而可得 P ( 由 得 Q(4,4k+m) ,取 k=0,m= ;k=

, ) ,

,m=2,猜想满足条件的点 M

存在,只能是 M(1,0) ,再进行证明即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ ABF2 的周长为 8. ∴4a=8,∴a=2 ∵e= ,∴c=1 ∴b =a ﹣c =3 ∴椭圆 E 的方程为 .
2 2 2

(Ⅱ)由

,消元可得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0

2

2

2

∵动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0) 2 2 2 ∴m≠0,△ =0,∴(8km) ﹣4×(4k +3)×(4m ﹣12)=0 2 2 ∴4k ﹣m +3=0① 此时 x0= 由 = ,y0= ,即 P( , )

得 Q(4,4k+m)
2

取 k=0,m= ,此时 P(0, ) ,Q(4, ) ,以 PQ 为直径的圆为(x﹣2) +(y 2 ﹣ ) =4,交 x 轴于点 M1(1,0)或 M2(3,0) 取 k= ﹣ )=
2

,m=2,此时 P(1, ) ,Q(4,0) ,以 PQ 为直径的圆为(x﹣ ) +(y ,交 x 轴于点 M3(1,0)或 M4(4,0)

2

故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(1,0) ,证明如下 ∵

15

∴ 故以 PQ 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 M(1,0) 点评: 本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系,考查运 算能力,考查化归思想,属于中档题. 20. (14 分) (2012?福建)已知函数 f(x)=e +ax ﹣ex,a∈R. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点 P. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)求导函数,利用曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,可求 a x 的值,令 f′(x)=e ﹣e<0,可得函数 f(x)的单调减区间;令 f′(x)>0,可得单 调增区间;
菁优网版权所有

x

2

(Ⅱ)设点 P(x0,f(x0) ) ,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f′(x0) (x﹣x0) +f(x0) ,令 g(x)=f(x)﹣f′(x0) (x﹣x0)﹣f(x0) ,曲线在该点处的切线与曲线 只有一个公共点 P 等价于 g(x)有唯一零点,求出导函数,再进行分类讨论: ( 1) 若 a≥0,g(x)只有唯一零点 x=x0,由 P 的任意性 a≥0 不合题意; (2)若 a<0,令 h (x)= ,则 h(x0)=0,h′(x)=e +2a,可得函数的单调
x

性,进而可研究 g(x)的零点,由此可得结论. x 解答: 解: (Ⅰ)求导函数,可得 f′(x)=e +2ax﹣e ∵曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴, ∴k=2a=0,∴a=0 x x ∴f(x)=e ﹣ex,f′(x)=e ﹣e x 令 f′(x)=e ﹣e<0,可得 x<1;令 f′(x)>0,可得 x>1; ∴函数 f(x)的单调减区间为(﹣∞,1) ,单调增区间为(1,+∞) (Ⅱ)设点 P(x0,f(x0) ) ,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f′(x0) (x﹣x0) +f(x0) 令 g(x)=f(x)﹣f′(x0) (x﹣x0)﹣f(x0) ∵曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P,∴g(x)有唯一零点 ∵g(x0)=0,g′(x)= (1)若 a≥0,当 x>x0 时,g′(x)>0,∴x>x0 时,g(x)>g(x0)=0 当 x<x0 时,g′(x)<0,∴x<x0 时,g(x)>g(x0)=0,故 g(x)只有唯一零点 x=x0,由 P 的任意性 a≥0 不合题意; (2)若 a<0,令 h(x)= ,则 h(x0)=0,h′(x)=e +2a
x

令 h′(x)=0,则 x=ln(﹣2a) ,∴x∈(﹣∞,ln(﹣2a) ) ,h′(x)<0,函数单调递 减;x∈(ln(﹣2a) ,+∞) ,h′(x)>0,函数单调递增; ①若 x0=ln(﹣2a) ,由 x∈(﹣∞,ln(﹣2a) ) ,g′(x)>0;x∈(ln(﹣2a) ,+∞) , g′(x)>0,∴g(x)在 R 上单调递增
16

∴g(x)只有唯一零点 x=x0; ②若 x0>ln(﹣2a) ,由 x∈(ln(﹣2a) ,+∞) ,h(x)单调递增,且 h(x0)=0,则 当 x∈(ln(﹣2a) ,x0) ,g′(x)<0,g(x)>g(x0)=0 任取 x1∈(ln(﹣2a) ,x0) ,g(x1)>0, 2 ∵x∈(﹣∞,x1) ,∴g(x)<ax +bx+c,其中 b=﹣e﹣f′ (x0) .c= ∵a<0,∴必存在 x2<x1,使得 ∴g(x2)<0,故 g(x)在(x2,x1)内存在零点,即 g(x)在 R 上至少有两个零 点; ③若 x0<ln(﹣2a) ,同理利用 ,可得 g(x)在 R 上至少有两个零点;

综上所述,a<0,曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切线与曲线只有 一个公共点 P(ln(﹣2a) ,f(ln(﹣2a) ) ) . 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数 学思想,属于难题. 四、选考题(题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如果多做,则按所做的前两题计分。 ) 21. (7 分) (2012?福建) (1)选修 4﹣2:矩阵与变换 设曲线 2x +2xy+y =1 在矩阵 A= (Ⅰ)求实数 a,b 的值. (Ⅱ)求 A 的逆矩阵. 考点: 逆变换与逆矩阵;几种特殊的矩阵变换. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)确定点在矩阵 A= (a>0)对应的变换作用下得到点坐标之间的关系,
菁优网版权所有

2

2

(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为 x +y =1.

2

2

2

利用变换前后的方程,即可求得矩阵 A; 2 2 (Ⅱ)先计算 A 的值,求出行列式的值,即可得到 A 的逆矩阵. 解答: 2 2 解: (Ⅰ)设曲线 2x +2xy+y =1 上的点(x,y)在矩阵 A=( ) (a>0)对应的变 换作用下得到点(x′,y′) 则(
2 2



=

,∴

∵x′ +y′ =1 2 2 ∴(ax) +(bx+y) =1 2 2 2 2 ∴(a +b )x +2bxy+y =1 2 2 ∵2x +2xy+y =1 2 2 ∴a +b =2,2b=2 ∴a=1,b=1

17

∴A=(
2

) ) ( )=( ) , =1

(Ⅱ)A =( ∴A 的逆矩阵为
2

点评: 本题考查矩阵与变换,考查逆矩阵的求法,确定变换前后坐标之间的关系是解题的关 键. 22. (7 分) (2012?福建)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M, N 的极坐标分别为 (2, 0) , ( ) , 圆 C 的参数方程

(θ 为参数) . (Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 考 点: 专 题: 分 析: 圆的参数方程;直线与圆的位置关系;简单曲线的极坐标方程. 计算题;压轴题. (Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)求出圆的圆心与半径,判断圆心与直线的距离与半径的关系,即可判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ) , ) ,P 为线段 MN 的中点(1,

菁优网版权所有

解 解: (Ⅰ)M,N 的极坐标分别为(2,0) , ( 答: 所以 M、N 的直角坐标分别为:M(2,0) ,N(0, ) , 直线 OP 的平面直角坐标方程 y= ;

(Ⅱ) 圆 C 的参数方程
2

(θ 为参数) . 它的直角坐标方程为: (x﹣2)

+(y+ ) =4, 圆的圆心坐标为(2,﹣

2

) ,半径为 2, ) , )y﹣6π=0.

直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0) , ( 方程为 y= (x﹣2) ,即 3πx+(12﹣4

圆心到直线的距离为:

18

= <2, 所以,直线 l 与圆 C 相交. 点 本题考查圆的参数方程,极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线与圆的位置关系, 评: 考查计算能力. 23. (2012?福建)已知函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[﹣1,1]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c∈R,且 =m,求证:a+2b+3c≥9.

考点: 带绝对值的函数;不等式的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)由条件可得 f(x+2)=m﹣|x|,故有 m﹣|x|≥0 的解集为[﹣1,1],即|x|≤m 的解 集为[﹣1,1],故 m=1.
菁优网版权所有

(Ⅱ)根据 a+2b+3c=(a+2b+3c) (

)=1+

+

+

+1+

+

+

+1,

利用基本不等式证明它大于或等于 9. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,故 f(x+2)=m﹣|x|,由题意可得 m﹣|x|≥0 的解集为[﹣1,1], 即|x|≤m 的解集为[﹣1,1],故 m=1. (Ⅱ)由 a,b,c∈R,且 ∴a+2b+3c=(a+2b+3c) ( =1+ =3+ + + + + +1+ + + + + + +1 ≥3+6=9,当且仅当 = = = = = =1 时,等号 ) =1,

成立. 所以 a+2b+3c≥9 点评: 本题主要考查带有绝对值的函数的值域,基本不等式在最值问题中的应用,属于中档 题.

19


2010年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析

2010年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析_高考_高中教育_教育专区。答案精准,解析详尽!2010 年福建省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 ...

2012年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析_高考_高中教育_教育专区。答案精准,解析详尽!2012 年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题...

2012年福建省高考数学试卷(理科)及解析

2012年福建省高考数学试卷(理科)解析_其它课程_初中教育_教育专区。2012 年...③④ 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在...

2012年福建省高考数学试卷(理科)及解析_图文

2012年福建省高考数学试卷(理科)解析_高考_高中教育_教育专区。2012 年福建省...D(x)不是周期函数 解析:A,B.D 均正确,C 错误 答案 C B. D(x)是偶...

2011年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析_高考_高中教育_教育专区。答案精准,解析详尽!2011 年福建省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 ...

2012福建高考数学理科试题及答案

2012福建高考数学理科试题答案_数学_高中教育_教育专区。环球天下教育旗下品牌网站...2 2 ? 4 11.答案:2 解析:∵Tr+1= Cr 4ax r 4-r ,∴当 4-r=3,...

2012年福建高考理科数学试卷及答案解析(文字版)

2012年福建高考理科数学试卷答案解析(文字版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2012年福建高考理科数学试卷答案解析(文字版)2012...

2012年福建高考数学理科试卷(带详解)

2012年福建高考数学理科试卷(带详解)_数学_高中教育_教育专区。2012 年福建省...【难易程度】中等 【参考答案】C 【试题解析】显然,A,D 是对的;若 x 是...

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)答案与解析

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)答案与解析_高考_高中教育_教育专区。答案精准,解析详尽!2012 年全国统一高考数学试卷(理科) (大纲版)参考答案与试题...

2012年高考数学试卷及解析福建卷(理科)

2012年高考数学试卷解析福建卷(理科)_高考_高中教育_教育专区。2012 年福建省...本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。...