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新人教A版选修2-3 数学:2.3离散型随机变量的均值与方差 课件三


2.3

离散型随机变量的均值 与方差

对于离散型随机变量 , 可以由它的概率 分布列确定与该随机变量相关事件的 概率.但在实际问题中 , 有时我们更感兴 趣的是随机变量的某些 数字特征.例如, 要了解某班同学在一次数学测验中的 总体水平 , 很重要的是看平均分 ; 要了解 某班同学数学成绩是否 " 两极分化" , 则 需要考察这个班数学成 绩的方差 .

2.3.1 离散型随机变量的均值

18元 / kg

思考 某商场要将单价分别为 18元 / kg,24元 / kg,36元 / kg的三 种糖果按 3 : 2 : 1的比例混合销 售,如何对混合糖果定价才 合理 ?
由于在1 kg 的混合糖果中 ,3 种糖果 1 1 1 的质量分别是 kg, kg, kg, 所以 2 3 6 混合糖果的合理价格应 该是 1 1 1 18 ? ? 24 ? ? 36 ? ? 23?元 / kg ? 2 3 6

24元 / kg

36元 / kg

? 元 / kg

它是三种糖果价格的一 种加权平均???.这里 1 1 1 的权数分别是 , 和 . 2 3 6

???权是秤锤,权数是起权衡轻重作用 的数
值.加权平均是指在计算若 干个数量的平 均数时, 考虑到每个数量在总量 中所具有 的重要性不同 , 分别给予不同的权数 .

思考 如果混合糖果中每一颗 糖果的质量 都相等 , 你能解释权数的实际含 义吗?

根据古典概型 , 在混合糖果中 , 任取一颗糖果 ,它的 单价为18元 / kg, 24元 / k, 36元 / kg 的概率分别为 1 1 1 , 和 .用X表示这颗糖果的价格 , 则它是一个离 2 3 6 散型随机变量 , 其分别列为
X P

18 1 2

24 1 3

36 1 6

因此权数恰好是随机事 变量X的分布列 .这样,每 千克混合糖果的合理价 格为 18 ? P?X ? 18? ? 24 ? P?X ? 24? ? 36 ? P?X ? 36?.

一般地, 若离散型随机变量 X的分布列为
X P

x1

x2

??? ???

xi

??? ???

xn

p1

p2

pi

pn

则称 EX ? x1p1 ? x 2p 2 ? ? ? ? ? x ipi ? ? ? ? ? x npn 为随 机变量X的均值?mean ?或 数学期望 (mathema ? tical exp ectation).它反映了离散型随机变 量取 值的平均水平 .

若Y ? aX ? b, 其中a, b为常数, 则Y也是随机变量, 因为 P?Y ? ax i ? b ? ? P?X ? x i ?, i ? 1 , 2, ? ??, n, 所以, Y的分布列为
X P

ax1 ? b

ax 2 ? b

??? ???

ax i ? b

??? ???

axn ? b

p1

p2

pi

pn

于是EY ? ?ax1 ? b?p1 ? ?ax 2 ? b?p2 ? ? ? ? ? ?axi ? b?pi ? ? ? ? ? ?axn ? b?pn ? ? a?x1p1 ? x 2p2 ? ? ? ? aEX ? ? x ip ? ? ? ? ? x p ? b(p1 ? p2 ? i n n ? b, ? ? ? ?pi ? ? ? ? ? pn ) 即 E?aX ? b? ? aEX ? b.

思考 随机变量的均值与样本 的平均值有何联系 与区别? 可以看到 ,随机变量的均值是常数 ,而样本的平均值 是随机变量 .对于简单随机样本 ,随着样本容量增加 , 样本平均值越来越接近 于总体均值 . 思考 在实际问题中 ,如何估计随机变量的总 体均 值呢?

例1 在篮球比赛中 , 罚球命中 1次得1分,不 中得0分.如果某运动员罚球命中 率为 0.7, 那么他罚球 1次的得分X的均值是多少 ?

解 因为P?X ? 1? ? 0.7,P?X ? 0? ? 0.3,

? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7 .
所以 EX ? 1? P?X ? 1? ? 0 ? P?X ? 0?
根据两点分布的均值公 式,如果罚球命中率 为0.8,那么罚球 1 次的得分均值是多少 ?

一般地, 如果随机变量X服从两点分布, 那么EX ? 1? p ? 0 ? ?1 ? p ? ? p. 于是有

若X服从两点分布 ,则EX ? p.
k k ?1 如果X ~ B?n, p ?, 则由kC ? nC n ?1, 可得 n n n k ?1 k ?1 n ?1? ?k ?1? q k k n ?k ? ? npC n ?1p EX ? ? kCnp q k ?1

? np ? C p q
k k n ?1 k ?0

k ?0 n ?1

n ?1?k

? np. 于是有

若X ~ B?n,p?,则EX ? np .

例 2 一次单元测验由20 个选择题构成 , 每个选择题 有 4 个选项 , 其中仅有一个选项正确 .每题选对得 5 分, 不选或选错不得分 ,满分 100 分.学生甲选对任意一题 的概率为0.9 ,学生乙则在这 次 测验中对每题都从各 选项中随机地选择一个 .分别求学生甲和学生乙 在这 次测验中的成绩的均值 . 解 设学生甲和学生乙在这次 测验中选对的题数分 别是X1和X2 ,则X1 ~ B?20,0.9?, X2 ~ B?20,0.25?.所以 EX1 ? 20 ? 0.9 ? 18,EX2 ? 20 ? 0.25 ? 5. 由于每题选对得 5 分, 所以学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩分别是 5 X1和 5 X2 .这样, 他们在测验中的成绩 的期望分别是 E?5X1 ? ? 5EX1 ? 5 ? 18 ? 90,E?5X2 ? ? 5EX2 ? 5 ? 5 ? 25.

思考 学生甲在这次测验中的 成绩一定是 90分 吗? 它的均值为 90分的含义是什么 ? 例 3 根据气象预报 ,某地区近期有小洪水 的概 率为0.25, 有大洪水的概率为 0.01.该地区某工地 上有一台大型设备 , 遇到大洪水时要损失 60 000 元, 遇到小洪水时要损失 10 000元.为保护设备 ,有 以下三种方案: 方案1 : 运走设备, 搬运费为 3 800元. 方案2 : 建保护围墙 , 建设费为 2 000元.但围墙只能 防小洪水. 方案3 : 不采取措施 , 希望不发生洪水 . 试比较哪种方案好 .

解 用X1、X2和X3分别表示三种方案的损 失. 采用第 1种方案,无论有无洪水 , 都损失38 000 元,即X1 ? 38 000.

采用第2 种方案, 遇到大洪水时 ,损失 2 000 ? 60 000 ? 62 000;没有大洪水时 ,损失2 000元, 62 000, 有大洪水; 即 X2 ? 2 000, 无大洪水. 同样,采用第3种方案,有
62 000, 有大洪水; X3 ? 10 000, 有小洪水 0, 无洪水.

EX 2 ? 62 000 ? P?X2 ? 62 000? ? 2 000 ? P?X2 ? 2 000?

于是,EX 1 ? 3 800,

? 62 000 ? 0.01? 2 000 ? ?1? 0.01? ? 2 600,
EX 3 ? 60 000 ? P?X3 ? 60 000? ? 10 000 ? P?X3 ? 10 000? ? 0 ? P?X3 ? 0?
? 60 000 ? 0.01? 10 000 ? 0.25 ? 3100.
采取方案2的平均损失最小 , 所以可以选择方案 2.

值得注意的是 , 上述结论是通过比较 " 平均 损失" 而得出的 .一般地, 我们可以这样来理 解 " 平均损失" : 假设问题中的气象情况 多 次发生, 那么采用方案 2 将会使损失减到最 小.由于洪水是否发生以及 洪水发生的大小 都是随机的 , 所以对于个别的一次决 策 ,采 用方案2也不一定是最好的 .

作业 :P69习题2.3A组(1—3)


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