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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 解答题增分专项六 高考中的概率统计与计案例课件 文 北师大版


解答题增分专项六 高考中的概率、统计与统计案例

-2-

从近五年的高考试题来看,在高考的解答题中,对概率、统计与 统计案例的考查主要有三个方面:一是统计与统计案例,以实际生 活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出 估计、判断,其中回归分析、独立性检验,用样本的数据特征估计 总体的数据特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直 方图、概率等知识交汇考查,考查学生数据处理能力;二是统计与 概率综合,以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、 茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;三是古典概型的 综合应用,以现实生活为背景,求某些事件发生的概率,常与抽样方 法、茎叶图等统计知识交汇考查.

-3题型一 题型二 题型三

题型一统计与统计案例的综合 突破策略一 频率分布表(直方图)与数字特征的综合 若已知样本的频率分布表或样本的频率分布直方图,求样本的平 均数及样本的方差,由于每个样本的具体值不知道,只知道在某一 区间上样本的个数,这时取区间两端数据的平均值作为样本的具体 值,求样本的平均值及方差.

-4题型一 题型二 题型三

例1从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项 质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:

质量指标值分组 频数

[75,85) 6

[85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 26 38 22 8

(1)作出这些数据的频率分布直方图;

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据 用该组区间的中点值作代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?

-5题型一 题型二 题型三

解:(1)

-6题型一 题型二 题型三

(2)质量指标值的样本平均数为

=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08 =104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计 值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.

-7题型一 题型二 题型三

对点训练1 (2015江苏泰州模拟)某中学共有1 000名学生参加 了该地区高三第一次质量检测的数学考试,数学成绩如表所示:

数学成 绩分组 人数

[0,30) 60

[30,60) 90

[60,90) 300

[90,120) x

[120,150] 160

(1)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计 划,学校将采用分层抽样的方法抽100名同学进行问卷调查,甲同学 在本次测试中数学成绩为95分,求他被抽中的概率. (2)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计 该中学达到优秀线的人数.

-8题型一 题型二 题型三

(3)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考试的数学平均 分.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

-9题型一 题型二 题型三

解:(1)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为
100 甲同学被抽到的概率 P= 1000

样本容量

总体中个体总数

,故

=

1 . 10

(2)由题意得 x=1000-(60+90+300+160)=390. 故估计该中学达到优秀线的人数 m=160+390×
120-110 =290. 120-90

-10题型一 题型二 题型三

(3)频率分布直方图如图所示. 该学校本次考试的数学平均分 =
60×15+90×45+300×75+390×105+160×135 =90. 1 000

估计该学校本次考试的数学平均分为 90 分.

-11题型一 题型二 题型三

突破策略二 利用回归方程进行回归分析 如果某一个量组成比较复杂,求它的值计算量比较大,为了计算准 确,可将这个量分成几个部分分别计算,最后再合成,这样等同于分 散难点,各个攻破,提高了计算的准确度.

-12题型一 题型二 题型三

例2(2015课标全国Ⅰ,文19)某公司为确定下一年度投入某种产 品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年 利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量 的值.

x

y

w

i=1

∑ (xi-x)2 ∑ (wi-w)2 ∑ (xi-x)(yi-y) ∑ (wi-w)(yi-y)
i=1 i=1 i=1

8

8

8

8

46.6 563 6.8

289.8

1 .6
1 8 ∑ wi . 8 =1

1 469

108.8

表中 wi= , =

-13题型一 题型二 题型三

(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售 量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程; (3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结 果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?

附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线 v=α+βu 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为 β=
i=1

∑ ( -)( -)
=1

n

∑ ( -)



2

,α=-β.

-14题型一 题型二 题型三

解:(1)由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型. (2)令 w= ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程. 由于 d==18
∑ (wi -w)(yi -y)
i=1 8

∑ ( -)

2

=

108.8 =68, 1. 6

c=-d=563-68×6.8=100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为 y=100.6+68 .

-15题型一 题型二 题型三

(3)①由(2)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 y=100.6+68 49=576.6, 年利润 z 的预报值 z=576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知,年利润 z 的预报值 z=0.2(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12. 所以当 =
13.6 =6.8,即 2

x=46.24 时,z 取得最大值.

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.

-16题型一 题型二 题型三

对点训练2 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表:

年份 年份代号 t

2007 2008 2009 2010 2011 2012 1 2 3 .3 3 3 .6 4 4 .4 5 4 .8 6 5 .2

2013 7 5 .9

人均纯收入 y 2.9

(1)求y关于t的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民 家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人 均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

b==1n

∑ (ti -t)(yi -y)
i=1



∑ ( -)

2

,a=-b .

-17题型一 题型二 题型三

解:(1)由所给数据计算得 = (1+2+3+4+5+6+7)=4, = (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, ∑ (ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
7 7

1 7

1 7

=1

i=1

∑ (ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1

+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14, b==1 7
∑ ( -)( -)
=1 7

∑ ( -)

2

=

14 =0.5,a=-b 28

=4.3-0.5×4=2.3,

所求回归方程为 y=0.5t+2.3.

-18题型一 题型二 题型三

(2)由(1)知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均 纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元. 将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程, 得y=0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

-19题型一 题型二 题型三

题型二频率分布表(直方图)与概率的综合 在统计中,某事件的概率无法确知,可以通过计算现实生活中某 事件的频率估计概率,然后用概率计算其他事件的数量. 例3(2015课标全国Ⅱ,文18)某公司为了解用户对其产品的满意 度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意 度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用 户满意度评分的频数分布表. A地区用户满意度评分的频率分布直方图

-20题型一 题型二 题型三

B地区用户满意度评分的频数分布表

满意度 [50,60) 评分分组 频数 2

[60,70) 8

[70,80) 14

[80,90) 10

[90,100] 6

-21题型一 题型二 题型三

(1)在下图中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通 过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算 出具体值,给出结论即可); B地区用户满意度评分的频率分布直方图

(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级:

满意度评分 满意度等级

低于 70 分 不满意

70 分到 89 分 满意

不低于 90 分 非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大?说明理由.

-22题型一 题型二 题型三

解:(1)

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区 用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.

-23题型一 题型二 题型三

(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记CA表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”;CB表示事 件:“B地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6,P(CB)的 估计值为(0.005+0.02)×10=0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

-24题型一 题型二 题型三

对点训练3 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫 瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花 作垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当 天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

日需求量 n 频数

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利
润(单位:元)的平均数; ②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率 作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.

-25题型一 题型二 题型三

解:(1)当日需求量 n≥17 时,利润 y=85. 当日需求量 n<17 时,利润 y=10n-85. 10-85, < 17, 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y= (n∈N). 85, ≥ 17 (2)①这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天 的日利润的平均数为
1 (55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4. 100

②利润不低于 75 元当且仅当日需求量不少于 16 枝.故当天的
利润不少于 75 元的概率为 P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.

-26题型一 题型二 题型三

题型三统计与古典概型的综合 突破策略一 频率分布表(直方图)与古典概型的综合 列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法.在求古 典概型的概率时,常常应用列举法找出基本事件数及所求事件包含 基本事件数.列举的方法通常有直接分类列举、列表、树状图等.

-27题型一 题型二 题型三

例4

20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如右: (1)求频率分布直方图中a的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在[60,70) 中的概率.

-28题型一 题型二 题型三

解:(1)根据直方图知组距为10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解 1 得 a= =0.005.
200

(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2; 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3. (3)记成绩落在[50,60)中的2人为A1,A2,成绩落在[60,70)中的3人为 B1,B2,B3,则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3) ,(B2,B3). 其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个:

(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),故所求概率为 .

3 10

-29题型一 题型二 题型三

对点训练4 某公司销售A,B,C三款手机,每款手机都有经济型和豪 华型两种型号,据统计,12月份共销售1 000部手机(具体销售情况见 下表).

A 款手机 经济型 豪华型 200 150

B 款手机 x 160

C 款手机 y z

已知在销售的1 000部手机中,经济型B款手机销售的频率是0.21. (1)现用分层抽样的方法在A,B,C三款手机中抽取50部,求应在C款 手机中抽取多少部; (2)若y≥136,z≥133,求C款手机中经济型比豪华型多的概率.

-30题型一 题型二 题型三

解:(1)因为 =0.21,所以 1 000

x=210.

所以C款手机的数量为 y+z=1 000-(150+200+160+210)=280部.

故应在 C 款手机中抽取

50 ×280=14 1 000

部.

-31题型一 题型二 题型三

(2)设“C款手机中经济型比豪华型多”为事件K,C款手机中经济型、 豪华型手机数记为(y,z),因为y+z=280,y,z∈N*,满足事件y≥136, z≥133的基本事件总数 有:(136,144),(137,143),(138,142),(139,141),(140,140),(141,139),(142, 138),(143,137),(144,136),(145,135),(146,134),(147,133),共12个. 事件K包含的基本事件为(141,139),(142,138),(143,137), 7 (144,136),(145,135),(146,134),(147,133),共7个,则P(K)= . 12 7 故C款手机中经济型比豪华型多的概率为 .
12

-32题型一 题型二 题型三

突破策略二 独立性检验与古典概型的综合 (-)2 2 在独立性检验中,应用公式 χ =(+)(+)(+)(+需要代入的量 ) 比较多,且公式中两类数据错综复杂,容易代错,运用列表法列出需 要的数据,并对数据依据公式进行合并,减少了代入公式量的个数, 再代入公式求解运算的准确性高.

-33题型一 题型二 题型三

例5某工厂有25周岁及以上工人300名,25周岁以下工人200名.为 研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法, 从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后 按工人年龄在“25周岁及以上”和“25周岁以下”分为两组,再将两组 工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

25周岁及以上组

-34题型一 题型二 题型三

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求 至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已 知条件完成2×2列联表,并判断能否有90%以上的把握认为“生产 能手与工人所在的年龄组有关”?
(-) 附:χ2= (+)(+)(+)(+)
2

P(χ2≥k0) 0.10 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828

-35题型一 题型二 题型三

解:(1)由已知得,样本中有25周岁及以上组工人60名,25周岁以下组 工人40名. 所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组 工人有60×0.05=3(人),记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有 40×0.05=2(人),记为B1,B2. 从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是:(A1,A2), (A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们 是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概 率 P= 7 .
10

-36题型一 题型二 题型三

(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁及以 上组”中的生产能手有60×0.25=15(人),“25周岁以下组”中的生产 能手有40×0.375=15(人),据此可得2×2列联表如下:

生产能手 25 周岁及以上组 25 周岁以下组 合计 所以得 15 15 30
2 100× ( 15×25 15×45 ) χ2= 60×40×30×70

非生产能手 45 25 70 =
25 ≈1.79. 14

合计 60 40 100

因为1.79<2.706,所以有90%以上的把握不能推断“生产能手与工 人所在的年龄组有关”.

-37题型一 题型二 题型三

对点训练5 微信是现代生活进行信息交流的重要工具,据统计, 某公司200名员工中90%的人使用微信,其中每天使用微信时间不 超过一小时的有60人,其余每天使用微信在一小时以上,若将员工 年龄分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段, 使用微信的人中75%是青年人,若规定:每天使用微信时间在一小时 2 以上为经常使用微信,经常使用微信的员工中 3 是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系, 列出2×2列联表. 2×2 列联表

青年人 经常使用微信 不经常使用微信 合计

中年人

合计

-38题型一 题型二 题型三

(2)由列联表中所得数据,能否有99.9%以上的把握认为“经常使用 微信与年龄有关”? (3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”中抽取6人,从这6人中 任选2人,求事件A“选出的2人均是青年人”的概率.
(-) 附:χ2= (+)(+)(+)(+)
2

P(χ2≥k0) k0

0.010 6.635

0.001 10.828

-39题型一 题型二 题型三

解:(1)由已知可得,该公司员工中使用微信的共200×0.9=180人. 2 经常使用微信的有180-60=120人,其中青年人: 120×3=80 人. 使用微信的青年人共:180×75%=135人. 所以可列下面2×2列联表:

青年人 经常使用微信 不经常使用微信 合计 80 55 135
2

中年人 40 5 45

合计 120 60 180

(2)将列联表中数据代入公式可得: χ >10.828.所以有99.9%以上的把握认为“经常使用微信与年龄有 关”.

180× (80×5-55×40)2 = 120×60×135×45 ≈13.333

-40题型一 题型二 题型三

80 ×6=4 120

故 P(A)= .

2 5

-41-

解决概率与统计相结合的综合问题,其中解决题目中有关概率问 题的关键是读懂题意,能从题目的统计背景中抽取有关概率的相关 信息,然后将信息转化为概率试验中的基本关系,按照求某事件概 率的方法,计算试验的基本事件数和所求事件包含的基本事件数, 进而依据古典概型的概率公式求解.


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