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椭圆与双曲线基础训练


椭圆与双曲线基础训练 A 组题 2011 年 11 月 24 日星期四(A 组题是文理共做,B 组题理科必做,文科选作) 1 已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, , (4, ,则双曲线方程为( A ) 0) 0)

A.

x2 y 2 ? ?1 4 12

B.

x2 y 2 ? ?1 12 4

C.

x2 y 2 ? ?1 10 6

D.

x2 y 2 ? ?1 6 10

2 平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为(A)

A. 5

B.

5 2

C. 3

D. 2

3 过点 P? 3, ? , Q? ? 4. c ?

? 15 ? ? 4?

y2 x2 ? 16 ? ,? 且焦点在坐标轴上的双曲线标准方程为 9 -16=1 5 ? 3 ? x2

,焦点在 x 轴上的双曲线标准方程为. - y2=1 6 ,经过点(-5,2) 5

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 3 2, 的双曲线标准方程为____12- 8 =1 5.与双曲线 2 16 4
6 双曲线 2x2 ? 3 y 2 ? 1 的渐近线方程是 ___ y=± 6 x 3

?

?

7 双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的实轴长为 ____ 2 2 2

x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,则 k 的取值范围____.(3,4)∪(4,5) 8 已知方程 k ?5 3? k
9 过双曲线 ___8 10 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 左焦点 F1 的直线交曲线的左支于 M ,N 两点, F2 为其右焦点,则 MF2 ? NF2 ? MN 的值为 4 3

5 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? , 一个焦点到一条渐近线的距离为 6,则其焦 距等于 2 4 a b

20

π x2 y2 ? ? 1 的右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线上的左支上且 PF PF2 ? 32 ,则 ?F1PF2 =__ 2 . 11 已知双曲线 1 9 16

x2 2 +y ? 1的两个焦点,点 P 在椭圆 C 上且满足 ?F1PF2 ? 90? ,则 ?F1PF2 的面积____1. 12 已知 F1 、F2 是椭圆 C: 4
2 2 13 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x 2 ? y 2 ? 1 得

4x 2 ? ?x ? m? ? 1 ,即 5x 2 ? 2mx? m2 ? 1 ? 0 .
2

? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? ?m2 ?1? ? ?16m2 ? 20 ? 0 ,
2

解得 ?

5 5 . ?m? 2 2

(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 , x2 ,由(1)得

x1 ? x2 ? ?

2m m2 ? 1 , x1 x2 ? . 5 5

根据弦长公式得

m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? 1?1 ? ? ? ? . ? ? 4? 5 5 ? 5 ?
2 2

解得 m ? 0 . 因此,所求直线的方程为 y ? x . B 组题 1 设 F1,F2 分别是双曲线 x 2

???? ???? ? ???? ???? ? y2 ? 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 PF1 ? PF2 ? 0 ,则 PF1 ? PF2 ? ( 9
C. 5 D. 2 5

B )

A. 10 2 已知 点 P 是双曲线 若 S ?IPF1 A.
2

B. 2 10
2

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右 支上一点, F1 , F2 分别为双曲线的左、右焦点, I 为△ PF1 F2 的内心, 2 a b
( B ) D.

? S ?IPF2 ? ?S ?IF1F2 成立,则 ? 的值为
B.

a 2 ? b2 2a

a a ?b
2 2

C.

b a

a b

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (m ? n ? 0) 和双曲线 ? ? 1 ( s, t ? 0) 有相同的焦点 F1 和 F2 ,而 P 是这两条曲线的一个交 3 若椭圆 m n s t
点,则 PF ? PF2 的值是(A 1 ) .A. m? s B.

1 (m ? s) 2

C. m ? s
2

2

D. m ? s

4 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) , 顶点 B 在椭圆
2 2 2 5 已知双曲线 k x ? y ? 1 ?k ? 0? 的一条渐近线的法向量是 ?1,2? ,那么 k ?

sin A ? sin C 5 x2 y 2 ?4 ? ? 1 上, 则 sin B 25 9
1 2

x2 y 2 x2 y 2 ? 1(m ? 0) 和双曲线 2 ? ? 1(n ? 0) 有相同的焦点 F1、F2,点 P 为椭圆和双曲线的一个交点, 6 已知椭圆 2 ? m 16 n 9
则|PF1|·|PF2|的值是 25

7 以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,过直线 l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点 M 应在 12 3

何处?并求出此时的椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 ?? 3,? , F2 ?3,? . 解:如图所示,椭圆 0 0 12 3
点 F1 关于直线 l:x ? y ? 9 ? 0 的对称点 F 的坐标为(-9,6) ,直线 FF2 的方程 为 x ? 2 y ? 3 ? 0 .解方程 组 ?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 得交点 M 的坐标为(- 5,4 ) .此时 ?x ? y ? 9 ? 0

MF1 ? MF2 最小.
所求椭圆的长轴

2a ? MF1 ? MF2 ? FF2 ? 6 5 ,
∴ a ? 3 5 ,又 c ? 3 ,
2 2 2 ∴b ? a ?c ? 3 5

? ? ?3
2

2

? 36 .

因此,所求椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 45 36

8 已知椭圆 E :

???? ???? ? x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 P (3, 1) ,其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F1P ? F2 P ? ?6 . 2 a b

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 M , N 是直线 x ? 5 上的两个动点,且 F1M ? F2 N ,则以 MN 为直径的圆 C 是否过定点?请说明理由.
解: (1)设点 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0),(c,0)(c ? 0) , 则 F1P ? (3 ? c,1), F2 P ? (3 ? c,1), 故 F1P ? F2 P ? (3 ? c)(3 ? c) ? 1 ? 10 ? c2 ? ?6 ,可得 c ? 4 ,

????

???? ?

???? ???? ?

…………………2 分

所以 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? (3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 6 2 ,…………………4 分 故 a ? 3 2, b2 ? a2 ? c2 ? 18 ? 16 ? 2 , 所以椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 18 2

……………………………6 分

(2)设 M , N 的坐标分别为 (5, m),(5, n) ,则 F1M ? (9, m), F2 N ? (1, n) , 又 F1M ? F2 N ,可得 F1M ? F2 N ? 9 ? mn ? 0 ,即 mn ? ?9 ,

?????

???? ?

?????

???? ?

????? ???? ?

…………………8 分

m?n |m?n| , ), 半径为 2 2 m?n 2 |m?n| 2 故圆 C 的方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? ) ?( ) , 2 2
又圆 C 的圆心为 (5,

即 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? mn ? 0 , 也就是 ( x ? 5)2 ? y 2 ? (m ? n) y ? 9 ? 0 , 令 y ? 0 ,可得 x ? 8 或 2, 故圆 C 必过定点 (8,0) 和 (2,0) . ……………………13 分 ……………………11 分

(另法: (1)中也可以直接将点 P 坐标代入椭圆方程来进行求解; (2)中可利用圆 C 直径的两端点直接写出圆 C 的方 程) 9 已知: 椭圆

? x2 y2 3 ? 2 ? 1 a ? b ? 0 ) 过点 A(? a, 0) ,B(0, b) 的直线倾斜角为 , ( , 原点到该直线的距离为 . 2 6 2 a b
0) 与椭圆交于 E , F 两点,若 ED ? 2DF ,求直线 EF 的方程;
0) ?若存在,求出 k 的

(1)求椭圆的方程; (2)斜率大于零的直线过 D(? 1,

(3)是否存在实数 k ,直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 P , Q 两点,以 PQ 为直径的圆过点 D(? 1, 值;若不存在,请说明理由. 解(1)由

b 3 1 1 3 , a ?b ? ? ? ? a 2 ? b 2 ,得 a ? 3 , b ? 1 , a 3 2 2 2
x2 ? y 2 ? 1 ……………………4 分 3

所以椭圆方程是:

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (m2 ? 3) y 2 ? 2my ? 2 ? 0 , (2)设 EF: x ? m y ? 1 ( m ? 0 )代入 3
设 E( x1 ,

y1 ) , F ( x2 ,

y 2 ) ,由 ED ? 2DF ,得 y1 ? ?2y 2 .

2m ?2 2 , y1 y 2 ? ?2 y 2 ? 2 ……………………8 分 2 m ?3 m ?3 2m 2 1 ) ? 2 得 (? 2 ,? m ? 1 , m ? ?1 (舍去)(没舍去扣 1 分) , m ?3 m ?3
由 y1 ? y 2 ? ? y 2 ? 直线 EF 的方程为: x ? y ? 1 即 x ? y ? 1 ? 0 ……………………10 分

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*) (3)将 y ? kx ? 2 代入 3
记 P( x1 ,

y1 ) , Q( x2 ,

y 2 ) ,PQ 为直径的圆过 D(? 1, 0) ,则 PD ? QD ,即

( x1 ? 1,

y1 ) ? ( x2 ? 1,

y2 ) ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ,又 y1 ? kx1 ? 2 , y 2 ? kx2 ? 2 ,得

? 12 k ? 14 ? 0 .………………14 分 3k 2 ? 1 7 7 解得 k ? ,此时(*)方程 ? ? 0 ,? 存在 k ? ,满足题设条件.…………16 分 6 6 (k 2 ? 1) x1 x 2 ? (2k ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 5 ?

10 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1中心为 O ,右顶点为 M ,过定点 D(t , 0)(t ? ?2) 作直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点. 4

(1)若直线 l 与 x 轴垂直,求三角形 OAB 面积的最大值; (2)若 t ?

6 o ,直线 l 的斜率为 1 ,求证: ?AMB ? 90 ; 5

(3)直线 AM 和 BM 的斜率的乘积是否为非零常数?请说明理由. .解:设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) . (1)把 x ? t 代入

1 x2 4 ? t2 , ? y 2 ? 1可得: y ? ? 2 4

(2 分)

则 S ?OAB ? OD ? AD ?

1 ? t ? 4 ? t 2 ? 1 ,当且仅当 t ? ? 2 时取等号 2

(4 分)

6 ? ?y ? x ? 5 44 48 ? 2 (2)由 ? 2 得 125x ? 240 x ? 44 ? 0 , x1 x2 ? , x1 ? x2 ? (6 分) 125 25 x 2 ? ? y ?1 ?4 ?

所以 k AM k BM

6 ?? 6? ? 6 36 ? x1 ? ?? x2 ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? y1 y2 5 ?? 5? 5 25 ? ? ?? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?

44 6 48 36 ? ? ? ?64 ? ?1 ? ?AMB ? 90o ? 125 5 25 25 ? 44 48 64 ? 2? ? 4 125 5 (3)直线 AM 和 BM 的斜率的乘积是一个非零常数.
当直线 l 与 x 轴不垂直时,可设直线方程为: y ? k ( x ? t ) ,

(9 分)

(11 分)

? y ? k(x ? t) ? 2 2 2 2 2 由 ? x2 消去 y 整理得 (4k ? 1) x ? 8k tx ? 4k t ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
? ?? ? 0 ? 8k 2 t ? 则 ? x1 ? x2 ? 4k 2 ? 1 ? ? 4k 2t 2 ? 4 x1 x2 ? ? 4k 2 ? 1 ?
所以 k AM kBM



又 ?

? y1 ? k ( x1 ? t ) ? y2 ? k ( x2 ? t )

② (13 分)

y1 y2 k 2 ( x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? t 2 ) t?2 ? ? ? (常数) (15 分) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4(t ? 2)

?x ? t 1 1 ? 4 ? t 2 ), B(t , ? 4 ? t2 ) , 当直线 l 与 x 轴垂直时,由 ? x 2 得两交点 A(t , 2 2 2 ? ? y ?1 ?4
显然 k AM k BM ?

t?2 .所以直线 AM 和 BM 的斜率的乘积是一个非零常数.(16 分) 4(t ? 2)
1 ,且椭圆 E 上一点到两个焦点距离之和为 4; l1 , l2 是过 2

11 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为

点 P(0,2)且互相垂直的两条直线, l1 交 E 于 A,B 两点, l2 交 E 交 C,D 两点,AB,CD 的中点分别为 M,N。 1)求椭圆 E 的方程; (2)求 l1的斜率 k 的取值范围; (3)求证直线 OM 与直线 ON 的斜率乘积为定值(O 为坐标原 点) 12 如图,已知圆 G : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及上顶点 B ,过椭圆外一点 ? m, 0 ? a 2 b2 ??? ??? ? ? 5 (I)求椭 圆的方程; (Ⅱ若 FC ? FD ? 0, 求 m 的值. ? m ? a ? 且倾斜角为 ? 的直线 l 交椭圆于 C , D 两点. 6
解: (I)∵圆 G : x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F,B, ∴F(2,0) ,B(0 2 ) , ∴ c ? 2, b ?
2

[来源:Zx

y B D
C

2,
.…………………5 分

∴ a ? 6. 故椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 2

O

F

( m, 0) x

(Ⅱ)由题意得直线 l 的方程为 y ? ?

3 ( x ? m)(m ? 6 ). 3

? x2 y2 ?1 ? ? ?6 2 由? 消去y得2 x 2 ? 2m x ? m 2 ? 6 ? 0. ? y ? ? 3 ( x ? m) ? 3 ? 2 由△ ? 4m ? 8(m 2 ? 6) ? 0, 解得 ? 2 3 ? m ? 2 3.
又 m ? 6,? 6 ? m ? 2 3. 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ), 则 x1 ? x 2 ? m, x1 x 2 ? ……………………8 分
2

m ?6 , 2 ? ? ? ? 1 3 3 m m2 ( x1 ? m)? ? ?? ( x 2 ? m)? ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? . ∴ y1 y 2 ? ?? 3 3 ? 3 ? ? 3 ? 3
[来源:]

∵ FC ? ( x1 ? 2, y1 ), FD ? ( x2 ? 2, y2 ),

…… …………………10 分

4 m?6 m2 2m(m ? 3) ? FC ? FD ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ?4? .∵ 3 3 3 3 2m(m ? 3) FC ? FD ? 0,即 ? 0, 3
解得 m ? 0或m ? 3,又 6 ? m ? 2 3,? m ? 3.


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