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8.16 极坐标4--极坐标与参数方程


极坐标系与参数方程
1 .参数方程 ?

?x ? 2 ? t, (为参数)与极坐标方程 ? ? sin ? 所表示的图形分别是 ? y ? ?1 ? 2t
B.直线、圆 C.圆、圆 D.圆、直线





A.直线、直线

2 .下列直线中,平行于极轴且与

圆 ? ? 2cos ? 相切的是

( D. ? sin ? ? 2



A. ? cos ? ? 1
3 .若直线 ? cos ? ?

B. ? sin ? ? 1

C. ? cos ? ? 2

A.

? 3

1 与曲线 ? ? 2cos ? 相交于 A, B 两点, O 为极点,则 ?AOB 的大小为 ( 2 ? ?? ?? B. C. D. 2 3 6
2



4 .在极坐标系下,圆 C : ?

? 4 ? sin ? ? 3 ? 0 的圆心坐标为

( D. (2,?



A. (2,0)

B. ( 2,

?
2

)

C. (2, ? )

?
2

)
( )

5 .在极坐标系中, 曲线 ? ? 4cos ? 围成的图形面积为

A. π

B. 4

C. 4π

D. 16

6 .在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin??

?? 2 ? 3? ? ,则点 A? 2, ? ?? 4? 2 ? 4 ?
C. 2 ?

? ? 到直线 l 的距离为 ( ? 2 2




A. 2

B.

2 2

2 2

D. 2 ?

7 .在极坐标系中,圆 ? ? 2sin ? 的圆心到直线 ? cos? ? 2? sin ? ? 1 ? 0 的距离为



A. 5 5

B. 2 5 5

C. 3 5 5

D. 4 5 5 ( D. ? ? ?2cos ? ( ) )

8 .在极坐标系中,圆心为 (1,

? ) ,且过极点的圆的方程是 2
C. ? ? 2cos ?

A. ? ? 2sin ?

B. ? ? ?2sin ?

9 .已知圆的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ,那么该圆的直角坐标方程是

A. ( x ?1) ? y ? 1
2 2

B. x ? ( y ?1) ? 1
2 2

C. ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

D. x ? y ? 2
2 2

10.直线 2p sin ? =1 与圆 ? =2 cos ? 相交弦的长度为_________________. 11.圆 ? ? 2cos ? 的半径是________. 12.在极坐标系中,极点到直线

? cos? ? 2 的距离为_______.

极坐标系与参数方程
1.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为 A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆 ( )

2. 在极坐标系中,已知曲线 C1 : ? cos(? ? 的位置关系是 A.相切 B.相交

?
3

) ? m和C 2 : ? ? 4 cos ? .若m ? (?1,3) ,则曲线 C1 与 C2
( C.相离 D.不确定 ( C. (1,0) D.(1, ? ) ( ) ) )

3.在极坐标系中,圆 ? ? ?2 sin ? 的圆心的极坐标是

( 1, ) A. 2

?

( 1, ? B.

?
2



4.极坐标方程 ( ? ? 1)(? ? ? ) ? 0( ? ? 0) 表示的图形是 A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线

D.一条直线和一条射线 ( )

5. 极坐标方程 ? ? cos? 和参数方程 ? A.圆.直线

? x ? ?1 ? t (t为参数) 所表示的图形分别是 ? y ? 2 ? 3t
C.圆.圆 D.直线.直线

B.直线.圆

6 . 在极坐标系中, 直线 l 的方程为 ? sin (? ?

?
4

) ?

3? 2 ) ,则点 A(2, 到直线 l 的距离为 4 2
.

.

7.在极坐标系中,直线 ? sin ?? ?

? ?

??

? ? 2 被圆 ? ? 4 截得的弦长为__ 4?
_.

8.设 A(2,

2? ? ) ,B(3, )是极坐标系上两点,则|AB|= 3 3

9.若曲线的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? 4 cos? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则 该曲线的直角坐标方程为 . .

10. 在极坐标系 ( ? ,? )(0 ? ? ? 2? ) 中, 曲线 ? ? 2 sin ?与? cos? ? ?1 的交点的极坐标为

11.以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,若直线的 极坐标方程为 ? ?

?

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? ? R) , 它与曲线 ? ( ? 为参数) 相交于两点 A 和 B, 则|AB|= 4 ? y ? 2 ? 2 sin ?



12.设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? (θ 为参数) ,若以原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极 ? y ? sin ?

坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为__________________. 13. 直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 设点 A, B 分别在曲线 C1 :

? x ? 3 ? cos? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 | AB | 的最小值为 ? ? y ? 4 ? sin ?
(2, ) 14.在极坐标系中,点 到圆 ? ? 2 cos? 的圆心的距离为 3
15. 已知某圆锥曲线 C 的极坐标方程是 ? ?
2



?

. .

225 ,则曲线 C 的离心率为 9 ? 16 cos 2 ?

y2 ? 1 的右焦点 F 的直线 l 交双曲线于 A,B 两点,若实数 ? 使得 AB ? ? 的直线恰好 18.过双曲线 x ? 2
2

有 3 条,求 ? .

19.已知椭圆

x y x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ? 1 ,P 是 l 上一点,射线 OP 交椭圆与 R,又点 Q 在射线 OP 12 8 24 16
2

上,且 OQ ? OP ? OR ,当点 P 在直线 l 上移动时,求 Q 点的轨迹方程.

20.如图,已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴上,抛物线上的点 A 到 F 的距离为 2,且 A 的横 坐标为 1. 过 A 点作抛物线 C 的两条动弦 AD、AE,且 AD、AE 的斜率满足 k AD ? k AE ? 2. ⑴求抛物线 C 的方程; ⑵直线 DE 是否过某定点?若过某定点,请求出该点坐标;若不过某定点,请说明理由.

◆ 高考链接 6. (2010 江苏)在极坐标系中,已知圆 ? ? 2 cos?与直线3? cos? ? 4? sin ? ? a ? 0 相切,且实数 a 的 值.

第二部分:参数方程

3 ? x?? t?2 ? ? 5 6.已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin ? ,设直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . ?y ? 4 t ? 5 ?
(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 为曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值.

7.设 P( x,y)是曲线 C: ?

? x ? ?2 ? cos? , (θ 为参数,0≤θ<2π)上任意一点, ? y ? sin ?
y 的取值范围. x

(1)将曲线化为普通方程;(2)求

8. 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos( ? ? ) ? 2 . 4 ? y ? sin ?

(1)将曲线 C1 和 C2 化为普通方程; (2)设 C1 和 C2 的交点分别为 A,B,求线段 AB 的中垂线的参数方程.

◆ 高考链接

1 ? x? t? ? ? t 5.(2009 江苏)已知曲线 C 的参数方程为 ? ( 为参数, ? y ? 3(t ? 1) ? t ?

),求曲线 C 的普通方程.

第八讲 极坐标系与参数方程
◆ 知识梳理 一、极坐标 1、 极坐标定义: M 是平面上一点,? 表示 OM 的长度, 则有序实数实数对 ( ? , ? ) , ? ? 是 ?MOx , 叫极径, ? 叫极角;一般地, ? ? [0, 2? ) , ? ? 0 。
?? ? x ? y ? x ? ? cos? ? ? 2、极坐标和直角坐标互化公式: y ? ? sin ? 或 ?tan ? ? y ( x ? 0) ,θ 的象限由点(x,y)所在象 ? ? x ?
2 2 2

限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为 R 的圆的极坐标方程是 ; ; 。

(2)圆心在极轴上的点 ( a,0) 处,且过极点 O 的圆的极坐标方程是

? (3)圆心在点 ( a , ) 处且过极点的圆 O 的极坐标方程是 2
2、直线的极坐标方程 (1)过极点且极角为 k 的直线的极坐标方程是 ;

(2)过点 ( a,0) ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 (3)过点 (a,0)(a ? 0) ,且与极轴所成的角为 ? 的直线的极坐标方程是 (4)过点 ( ?1 , ?1 ) ,且与极轴所成的角为 ? 的直线的极坐标方程 是 三、常见曲线的参数方程 直线 圆 椭圆 双曲线 。

; ;

抛物线

过点 ( x0 , y0 ) , 倾斜 圆心在点 ( x0 , y0 ) , 中心在原点,长、 中心在原点,长、 角为 ? 半径为 R
2b 短轴分别为 2a、 2b 短轴分别为 2a、

y 2 ? 2 px( p ? 0)

◆ 随堂练习 第一部分:极坐标系 1、点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( ) C . (2,
2? ) 3

? A . (2, ) 3 ? D. (2, 2k? ? ), ( k ? Z ) 3

? B . (2, ? ) 3

2、极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 个圆 B.两条直线

) C.一条直线和一个圆 D.一

?? ? 3、在极坐标系中,直线 ? sin ?? ? ? ? 2 被圆 ? ? 4 截得的弦长为__ 4? ?
2? ? ) ,B(3, )是极坐标系上两点,则|AB|= _. 3 3 225 5、 已知某圆锥曲线 C 的极坐标方程是 ? 2 ? ,则曲线 C 的离心率为( 9 ? 16 cos 2 ? 3 5 4 5 A. B. C. D. 5 3 5 4

.

4、设 A(2,



6、 在极坐标系中,已知曲线 C1 : ? cos(? ? 与 C2 的位置关系是

?

3

) ? m和C 2 : ? ? 4 cos ? .若m ? (?1,3) ,则曲线 C1

A.相切

B.相交

C.相离

D.不确定

7、以坐标原点为极点,横轴的正半轴为极轴的极坐标系下,有曲线 C: ? ? 4cos ? ,过极点 的直线 ? ? ? ( ? ? R 且 ? 是参数)交曲线 C 于两点 0,A,令 OA 的中点为 M. (1)求点 M 在此极坐标下的轨迹方程(极坐标形式).(2)当 ? ? 标.
5? 时,求 M 点的直角坐 3

8、已知直线 l : ? sin(? ? 的最小距离等于 2。

?
4

) ? 4和圆 C : ? ? 2k ? cos( ? ?

?
4

)( k ? 0), 若直线 l 上的点到圆 C 上的点

(I)求圆心 C 的直角坐标; (II)求实数 k 的值。

◆ 高考链接
(2, )到圆 ? ? 2 cos ? 3 1、 (2011 安徽)在极坐标系中,点 的圆心的距离为(

?



(A)2

(B)

4?

?2
9
(C)

1?

?2
9
(D) 3 ) D.(1, ? )

2、 (2011 北京)在极坐标系中,圆 ρ=-2sinθ 的圆心的极坐标是(
(1, ) A. 2

?

B.

(1, ?

?
2

)

C. (1,0)

3、(2011 江西) (坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为 ? =2sin ? ? 4cos ? , 以极 点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程 为 。 ) D、一条直线和一条射

4、(2010 北京)极坐标方程 ( ? ? 1)(? ? ? ) ? 0( ? ? 0) 表示的图形是( A、两个圆 线 B、两条直线 C、一个圆和一条射线

5、 (2010 广东) (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? ,? )(0 ? ? ? 2? ) 中,曲线

? ? 2 sin ?与? cos? ? ?1 的交点的极坐标为



6、 (2010 江苏)在极坐标系中,已知圆 ? ? 2 cos?与直线3? cos? ? 4? sin ? ? a ? 0 相切,且实 数 a 的值。

第二部分:参数方程

?x ? 1? t 1、设直线 l1 的参数方程为 ? (t 为参数) ,直线 l2 的方程为 y=3x+4 则 l1 与 l2 的距离为 ? y ? 1 ? 3t
_______。

? x ? 1 ? 2t , ? x ? s, 2、若直线 l1 : ? ( s 为参数)垂直,则 k ? (t为参数) 与直线 l2 : ? ? y ? 2 ? kt. ? y ? 1 ? 2s.



3、 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 已知直线的极坐标方程为 ? ? A 和 B,则|AB|=________

?

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? ? R ) ,它与曲线 ? , ( ? 为参数)相交于两点 4 ? y ? 2 ? 2 sin ?

? x ? ?2 ? 4t ? x ? 2 ? 5 cos? 4、直线 ? ,被圆 ? , ( ? 为参数)所截得的弦长为 ,( t 为参数) ? y ? ?1 ? 3t ? y ? 1 ? 5 sin ?



? x ? 1 ? cos ? 5、设曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数) ,若以原点为极点,以 x 轴的正半轴为 ? y ? sin ?
极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为__________________.
3 ? x?? t?2 ? ? 5 6、已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin ? ,设直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) 。 ?y ? 4 t ? 5 ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 为曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值。

? x ? ?2 ? cos? , 7、设 P( x,y)是曲线 C: ? (θ 为参数,0≤θ <2π)上任意一点, y ? sin ? ?

(1)将曲线化为普通方程;(2)求

y 的取值范围. x

? x ? 2 cos? ? 8、 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? cos( ? ? ) ? 2 . 4 ? y ? sin ?
(1)将曲线 C1 和 C2 化为普通方程; (2)设 C1 和 C2 的交点分别为 A,B,求线段 AB 的中垂线的参数方程。

◆ 高考链接

? x ? ?1 ? t 1、(2010 湖南)极坐标方程 ? ? cos? 和参数方程 ? (t为参数) 所表示的图形分别是 ? y ? 2 ? 3t
( ) B、直线、圆 C、圆、圆 D、直线、直线

A、圆、直线

2、 (2011 陕西) (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点, x 轴的正半

? x ? 3 ? cos ? C1 : ? ? y ? 4 ? sin ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线
上, 则

AB

的最小值为



? x ? 5 cos? (0 ? ? ? ? ) 3、 (2011 广东) (坐标系与参数方程选做题) 已知两曲线参数方程分别为 ? ? y ? sin ?

5 2 ? ?x ? t 和? 4 (t ? R) ,它们的交点坐标为___________. ? ?y ? t

? x ? 1 ? 2t 4、( 2009 广 东 卷 理 ) (坐标系与参数方程选做题)若直线 l1 : ? (t为参数) 与直线 ? y ? 2 ? kt ?x ? s l2 : ? (s为参数) 垂直,则 k ? ? y ? 1 ? 2s


1 ? x? t? ? ? t 5、(2009 江苏)已知曲线 C 的参数方程为 ? ( 为参数, ? y ? 3(t ? 1) ? t ?

),求曲线 C 的普

通方程。

? x ? 2 cos? 6、 (2011 全国新课标)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (?为参数) , ? y ? y ? 2 sin ? ??? ? ???? ? C OP ? 2 OM 1 M 为 上的动点,P 点满足 ,点 P 的轨迹为曲线 C2 .
(I)求 C2 的方程; (II)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|.

?
3

与 C1 的异于极点的交点

7、 (2011 福建)在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为
? x ? 3 cos? (?为参数) 。 ? ? y ? sin ?

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半 轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

? x ? cos? 8、 (2010 辽宁)已知 P 为半圆 C: ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为 ? y ? sin ?
(1,0) ,O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 的长度均为

? 。 3

(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。


8.16 极坐标4--极坐标与参数方程

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