kl800.com省心范文网

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


嘉峪关市一中 2015-2016 学年第一学期期末考试 高 二数学(理)试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.若向量 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 a∥b,则( A.x=1,y=1 C.x= B.x= )

???? ? ???? ? 2 ???? ?? ? ?? ,点 ? 为 ?C 中点,则 ?? 等于( 3

r />1? 2? 1? a? b? c 2 3 2 2? 1? 1? B. ? a ? b ? c 3 2 2 1? 1? 1? C. a ? b ? c 2 2 2 ? 2? 2 1? D. a ? b ? c 3 3 2
A.



1 3 ,y=- 6 2

1 1 ,y=- 2 2 1 3 D.x=- ,y= 6 2


2.已知复数 z ?

i 2014 ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( 1? i

9.F1,F2 是椭圆

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、 则 是 c, b、 C 所对应的边分别为 a 、 “a ? b” “sin A ? sin B” 的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,A 为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则三角 9 7
) C. D. 到平面 D. 的距离是( )

形 AF1F2 的面积为( A.7 10.设正方体 A. B. B.

1 4.若复数 z 满足 i ? z ? ? (1 ? i ) ,则 z 的共轭复数的虚部是( 2 1 1 1 A. ? i B. i C. ? 2 2 2
2 5.抛物线 y ? ax 的准线方程是 (

的棱长为 2,则点 C.

) D.

1 2

) C. y ? ? ).

11.已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线

A. y ? ?

a 2
2

B. y ? ?

a 4

1 2a

D. y ? ?

1 4a

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B 两点,且 a2 b2
) D. y ? ?

AB 的中点为 M (1,3) ,则双曲线的渐近线方程为(

6.下列有关命题的说法正确的是 (

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” . 2 B. “ x ? ?1 ” 是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. D.命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” . 7.已知椭圆

A. y ? ?3 x

B. y ? ? 3 x

C. y ? ?

1 x 3

3 x 3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 12.如图,F1 、F2 是双曲线 a 的左、
右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A 、
B .若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为

x2 y 2 x2 y 2 与双曲线 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意 a 2 b2 16 9

一点到其两个焦点的距离之和为 20 ,则椭圆的离心率 e 的值为( ) A、

1 2

B、

7 10

C、

7 5

D、

4 5
A.4 B. 7

? ? ???? ? ??? ? ? ??? 8.如图,空间四边形 ???C 中, ?? ? a , ?? ? b , ?C ? c ,点 ? 在 ?? 上,且

2 3 C. 3

D. 3

1

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a ? (1,1,0), b ? (?1,0,2) ,且 k a ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k ? _____. 14.已知命题 p: x ? 2 ? 1 ,命题 q: x ? a ,且﹁q 是﹁p 的必要不充分条件,则 a 的取 值范围是___________。 15.如右图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D 为 BB1 的中点,则异面直线 C1D 与 A1C 所成角的余弦值为________. 16.下面有四个命题:

19. (12 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是 正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AB ? 2 , 点 M 是 SD 的 中点, AN ? SC ,且交 SC 于点 N . (Ⅰ)求证: SB // 平面 ACM ; (Ⅱ)求证:直线 SC ? 平面 AMN ; (Ⅲ)求直线 CM 与平面 AMN 所成角的余弦值.

20. (12 分)设抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 C 于 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 两点, 且 y1 y 2 ? ?4 . (Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程;

①椭圆

的短轴 长为 1;

②双曲线 ③设定点

的焦点在 轴上; 、 ,则动点 ,动点 满足条件

(Ⅱ)已知点 P ? ?1, k ? ,且 ?PAB 的面积为 6 3 ,求 k 的值.

21 . ( 12 分 ) 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 的轨迹是椭圆; .

?ACB ? 90? , E 是 棱 CC1 上 的 动 点 , F 是 AB 中 点 ,
AC ? BC ? 2 , AA1 ? 4 .
(Ⅰ)求证: CF ? 平面 ABB1 ;

④抛物线

的焦点坐标是

其中真命题的个数为:__________. 三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)已知双曲线 C 的方程为: (1)求双曲线 C 的离心率; (2)求与双曲线 C 有公共的渐近线,且经过点 A( ?3, 2 3 )的双曲线的方程。

x2 y 2 ? ?1 9 16

(Ⅱ)若二面角 A ? EB1 ? B 的大小是 45? ,求 CE 的长.

22.(12 分)已知椭圆

x2 y2 3 2 + 2 =1( a > b > 0 )的离心率为 ,且过点( 2 , ). 2 a b 2 2

18 . ( 10 分)已知命题 p : “存在 x ? R,2 x 2 ? (m ? 1) x ?

1 ,命题 q :“曲线 ?0” 2

(1)求椭圆方程; (2) 设不过原点 O 的直线 l :y ? kx ? m (k ? 0) , 与该椭圆交于 P 、Q 两点, 直线 OP 、

x2 y2 C1 : 2 ? ?1 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ” , 命 题 s: “ 曲 线 2m ? 8 m

OQ 的斜率依次为 k1 、 k2 ,满足 4k ? k1 ? k2 ,试问:当 k 变化时, m 2 是否为定值?
若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.

x2 y2 C2 : ? ? 1 表示双曲线” m ? t m ? t ?1
(1)若“ p 且 q ”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围。
2

参考答案 1.C 【解析】由 2.B 【解析】 试题分析: z ?

1 2x 3 1 3 = = ,得 x= ,y=- . 1 6 2 ?2 y 9

i 2014 i 2 (1 ? i ) ?(1 ? i ) 1 1 ? ? ? ? ? i , z 点在第二象限.故应选 B. 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2 2

考点:复数的运算. 3.A 【解析】 试题分析:由正弦定理得

a b ,则 ? ? 2 R ( 其 中 R 为 ?ABC 外 接 圆 的 半 径 ) sin A sin B

因此 a ? 2 R sin A ,b ? 2 R sin B ,a ? b ? 2 R sin A ? 2 R sin B ? sin A ? sin B , “a ? b” 是 的充分必要必要条件,故选 A. “sin A ? sin B” 考点:本题考查正弦定理与充分必要条件的判定,属于中等题. 4.C 【解析】

1 试题分析: 由 i ? z ? ? (1 ? i ) ? z ? 2
复数的是

1 1 ? (1 ? i) ? (1 ? i) 1 2 ? 2 i ? ? ?1 ? i ? ,则 z 的共轭 i i ?i 2

z?

1 ? ?1 ? i ? ,其虚部是 ? 1 2 2

考点:复数的运算,共轭复数 5.D 【解析】 试题分析:首先将方程化为标准方程 x 2 ? 时, y ? ?

1 。 4a 2 1 所以抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? ? 。故选 D。 4a

1 1 1 ;当 a ? 0 y ? 2? y .当 a ? 0 时, y ? ? 4a a 2a

考点:求抛物线的准线方程。 6.C 【解析】 2 试题分析:对于A 根 据 否 命 题 的 定 义 可 知 命 题“ 若 x =1 ,则 x=1 ”的 否 命 题 为“ 若 2 x ≠ 1, 则 x≠ 1” ,所以A错误. 2 2 对于 B 由 x -5x-6=0 得 x=-1 或 x=6 , 所 以 B “ x=-1 ” 是 “ x -5x-6=0 ” 的 充 分 不 必要条件,所以B错误. 对于C 根 据 逆 否 命 题 和 原 命 题 为 等 价 命 题 可 知 原 命 题 正 确 , 所 以 命 题 “ 若 x=y ,

则 sinx=siny ” 的 逆 否 命 题 为 真 命 题 , 所 以 C 正 确 . 2 对于D 根 据 特 称 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题 得 命 题 “ ? x ∈ R , 使 得 x +x-1 < 0 ” 的 否 2 定是: “ ? x ∈ R , 均 有 x +x-1 ≥ 0 ” ,所以D错误.故选:C. 考点:1.命 题 的 真 假 判 断 及 四 种 命 题 的 真 假 关 系 的 判 断 ; 2 . 特 称 命 题 . 7.A 【解析】 试题分析:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 中 a 2 ? 16, b2 ? 9 ? c 2 ? 25 ,焦点为 ? ?5, 0 ? ,所以椭圆焦点 16 9

为 ? ?5, 0 ? ,即椭圆中 a 2 ? b 2 ? 25 ,由椭圆定义可知椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之 和为 2a ? 20 ? a ? 10

?e ?

c 5 1 ? ? ,故选 A a 10 2

考点:椭圆双曲线方程及性质 8.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意

? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? OB ? OA ? BC 3 2 ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? 2 1 1 2 1 1 ? ? OA ? OB ? OC ? OB ? ? OA ? OB ? OC ; 又 ?? ? a , ?? ? b , 3 2 2 3 2 2 ??? ? ? ???? ? 2? 1? 1? ?C ? c ,? MN ? ? a ? b ? c .故选 B. 3 2 2

???? ? ???? ??? ? ???? MN ? MA ? AB ? BN

考点:平面向量的基本定理. 9.C 【解析】 试题分析:由已知 a ? 3 , c ? 9?7 ?

2 , 设 AF1 ? m , 则 AF2 ? 6 ? m , 所 以


(6 ? m)2 ? m2 ? (2 2)2 ? 2m ? 2 2 cos 45?

m?

7 2







6?m ?

5 2



1 7 7 S ? ? ? 2 2 sin 45? ? ,故选 C. 2 2 2
考点:椭圆的性质. 【名师点晴】 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形,与焦点三角 形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到 a、c 的关系.

(2)对△F1PF2 的处理方法

? 2 2 ?( PF1 ? PF2 ) ? (2a ) ? 2 2 ? ? 4c 2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ? ? ? S ?PF F ? 1 PF1 PF2 sin ? 1 2 ? 2

10.D 【解析】

如图,建立空间直角坐标系, 则 ∴ (0,0,2), (2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0), =(2,0,2), =(2,2,0),

=(2,0,0),

设平面 A1BD 的法向量 n=(x,y,z), 则

令 x=1,则 n=(1,-1,-1), ∴点 D1 到平面 A1BD 的距离 11.B 【解析】 .选 D.

? x12 y12 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 试 题 分 析 : 设 A( x 两 式 相 减 可 得 : , B( x , y 1, y 1) 2 2) , 则 ? 2 2 x y ? 2 ? 2 ?1 ? ? a 2 b2
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0 , ∵ 斜 率 为 1 的 直 线 l 与 双 曲 线 a2 b2

b2 x2 y 2 相交于 两点, 的中点为 , ∴ k ? k ? ? 3, A , B A 、 B M (1 , 3 ) ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) OM a2 a 2 b2
∴y??

b x ? ? 3x .故选:B. a

考点:双曲线的简单性质. 12.B 【解析】 试题分析:设正三角形的边长为 m ,即 AB ? AF2 ? BF2 ? m ,结合双曲线的定义,可知

BF1 ? 2a, BF2 ? 4a, F1F2 ? 2c ,根据等边三角形,可知 ?F1 BF2 ? 120? ,应用余弦定理,
可知 4a 2 ? 16a 2 ? 2 ? 2a ? 4a ?

c 1 ? 4c 2 ,整理得 ? 7 ,故选 B. a 2

考点:双曲线的定义,双曲线的离心率.

13.

7 5

【解析】由题意可得: k a ? b ? (k ? 1, k ,2),2a ? b ? (3,2,?2)

? k a ? b 与 2a ? b 互相垂直,? (k a ? b) ? (2a ? b) ? 0
即 3(k ? 1) ? 2k ? 2 ? (?2) ? 0 ,所以, k ? 14. ?? ?,?3? 【解析】 试题分析:丨 x +2 丨>1 即 x+2<-1 或 x+2>1 得 x<-3 或 x>-1,因为,非 q 是非 p 的必要不充 分条件,所以,q 是 p 的充分不必要,故{x|x<a}是{x|x<-3 或 x>-1}的真子集,借助数 轴,得 a≤-3. 考点:必要条件、充分条件 与充要条件的判断. 15.

7 . 5

15 15

【解析】 以 A 为原点建立空间直角坐标系, 如图 A1(0,0,2), C(0,1,0), D(1,0,1), C1(0,1,2),

则 C1 D =(1,-1,-1), A1C =(0,1,-2),| C1 D |= 3 ,| A1C |= 5 ,

???? ?

????

???? ?

????

???? ? ???? C1 D · A1C =1,

???? ? ???? ???? ? ???? C1 D ? A1C 15 cos〈 C1 D , A1C 〉= ???? , ? ???? = 15 C1 D ? A1C
故异面直线 C1D 与 A1C 所成角的余弦值为

15 . 15

16.1 【解析】

试题分析:由椭圆



,所以短轴长为

,故①为假命题; 由双曲线

的方程知焦点在 时,动点

轴上,②为真命题;当动点 的轨迹是椭圆,当

满足条件 时,

时,轨迹不存在,当

轨迹是线段,所以③为假命题;抛物线

先化为标准方程

,所以焦点坐标是

,所以④为假命题;因此只有一个真命题. 考点:1、椭圆的性质;2、双曲线的性质;3、抛物线的性质. 【易错点晴】本题以命题的真假判断为载体,考查了圆锥曲线的定义、性质及方程,是一道 综合性比较强的题,属于中档题;熟练掌握圆锥曲线的定义和性质,标准方程是解答正确该 题的关键;③是易错选项,根据题目所给条件判断不出轨迹是椭圆,一定要分类讨论,当 、 、 三种取值范围不同时,动点 的轨迹也不相同. 17. (1) e ? 【解析】 试题分析: (1)根据双曲线方程可得 a 2 , b 2 ,再根据 c 2 ? a 2 ? b 2 求得 c 2 .根据离心率公式可

5 3

(2)

4x2 y2 ? ?1 9 4

得其离心率. (2) 根据两双曲线有相同的渐近线可设所求双曲线方程为 将点 A ?3, 2 3 代入求 ? 即可.

x2 y 2 ? ? ?, ? ? ? 0? , 9 16

?

?

试题解析:解: (1)由双曲线方程

x2 y 2 ? ? 1 可知 a 2 ? 9, b 2 ? 16 ,? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 25 , 9 16

? a ? 3, b ? 5 ,? e ?

c 5 ? . a 3

(2)依题意设所求双曲线方程为

x2 y 2 ? ? ?, ? ? ? 0? , 9 16

2 ? ?3? ? 2 3 将点 A ?3, 2 3 代入可得 9 16

?

?

?

?

2

? ? ,解得 ? ?

1 , 4

所以所求双曲线方程为

x2 y 2 1 4x2 y2 ? ? ,即 ? ? 1. 9 4 9 16 4

考点:1 双曲线方程;2 双曲线的简单几何意义. 18.(1) ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 ;(2) ? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4 【解析】 试题分析:(1)依题意说明命题 p 和命题 q 都是真命题。命题 p 为真,因二次函数图像开 口向上,则判别式应大于等于 0;命题 q 为真,则两分母均大于 0,且 x 2 下的分母较大。 (2) 命题 s 是真命题,则两分母异号,因 q 是 s 的必要不充分条件,命题 s 解集是命题 q 解集的 真子集。 试题解析:解: (1)若 p 为真: ? ? ( m ? 1) 2 ? 4 ? 2 ? 解得 m ? ?1 或 m ? 3 若 q 为真:则 ?

1 ?0 2
2分 3分 4分

1分

?m 2 ? 2 m ? 8 ?2 m ? 8 ? 0

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 若“ p 且 q ”是真命题,则 ?

?m ? ?1或m ? 3 ?? 4 ? m ? ?2或m ? 4

6分 7分 8分 9分

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 (2)若 s 为真,则 (m ? t )(m ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? m ? t ? 1 由 q 是 s 的必要不充分条件, 则可得 {m | t ? m ? t ? 1} ? ? {m | ?4 ? m ? ?2 或 m ? 4}

即?

?t ? ?4 或t ? 4 ?t ? 1 ? ?2

11 分 12 分

解得 ? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4

考点:1 命题的真假判断;2 充分必要条件。 31. (Ⅰ) (Ⅱ)详见解析; (Ⅲ)

3 3

【解析】 试题分析:法一:用几何关系证明和求值.(Ⅰ)连结 BD 交 AC 于 E ,证 ME // SB 即可; (Ⅱ)先证 AM ? 平面 SDC ,再证 SC ? 平面 AMN 即可; (Ⅲ)由三垂线定理先作出二面 角 D ? AC ? M 的平面角 ?FQM ,根据数据关系求之即可. 法二:建立空间直角坐标系,用空间向量证明求解. 试题解析:方法一: (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于 E ,连结 ME .

Q ABCD 是正方形,∴ E 是 BD 的中点. Q M 是 SD 的中点,∴ ME 是△ DSB 的中位线. ∴ ME // SB . 2分 又∵ ME ? 平面 ACM , SB ? 平面 ACM , ∴ SB // 平面 ACM . 4分 (Ⅱ)证明:由条件有 DC ? SA, DC ? DA, ∴ DC ? 平面 SAD ,∴ AM ? DC. 6分 又∵ SA ? AD, M 是 SD 的中点,∴ AM ? SD. ∴ AM ? 平面 SDC. ∴ SC ? AM . 由已知 SC ? AN ,∴ SC ? 平面 AMN . 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 CN ? 面 AMN ,则直线 CM 在面 AMN 内的射影为 NM , ∴ ?CMN 为所求的直线 CM 与面 AMN 所成的角. 10 分
又 SA ? AB ? 2 ,∴在 Rt ?CDM 中 CD ? 2, MD ? 又 SC ?

2

∴ CM ?

6

SA2 ? AC 2 ? 2 3

由 ?SNM ∽?SDC 可得

MN SM MN 1 6 ∴ MN ? .∴ cos ?CMN ? ? ? CD SC CM 3 3
1 . 3
12 分

∴直线 CM 与平面 AMN 所成角的余弦值为 考点:空间直线与平面平行、垂直的性质与判定. 20. (Ⅰ) y 2 ? 4 x (Ⅱ) k ? ?

2 2

【解析】 试题分析:第一问将直线的方程与抛物线的方程联立,消去 x ,得到关于 y 的方程,利用韦 达定理,可知 y1 ? y2 ? ? p 2 ,从而求得 p 的值,进而确定出抛物线 C 的标准方程,第二问在 第一问的基础上,确定出焦点的坐标,直线的方程可以确定,联立方程组,应用弦长公式求 得弦长,应用点到直线的距离公式,求得点 P 到直线 AB 的距离,根据三角形的面积公式, 从而求得 k 的值. 试题解析: (Ⅰ) F (

p p ,0) ,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? ) , 2 2

p ? ? y ? k(x ? ) 联立 ? 2 ,消 x ,得: ky 2 ? 2 py ? kp 2 ? 0 , ? y 2 ? 2 px ?
? y1 y 2 ? ? p 2 ? ?4 ,从而 p ? 2 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x .
(Ⅱ)由已知, F (1,0) ,直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

4 ? ? y ? kx ? k ? y1 ? y2 ? , 2 联立 ? 2 ,消 x ,得 ky ? 4 y ? 4k ? 0 ,所以 ? k y ? 4 x ? ? y y ? ? 4. ? 1 2
| AB |? 1 ? 1 16 1 ? ? 2 ? 4 ? (?4) ? 4 ?1 ? 2 2 k k ? k ? ?. ?

又? P 到直线 AB 的距离 d ?

3k k 2 ?1



故 S ?OAB ?

1 1 ? AB ? d ? 6 1 ? 2 . 2 k
2 . 2

故得 k ? ?

考点:抛物线的方程,直线与抛物线的综合问题.

5 21. (Ⅰ)证明过程详见试题解析; (Ⅱ) CE 的长为 2 .
【解析】 试题分析: (Ⅰ)因为三棱柱

ABC ? A1B1C1 是直棱柱得 BB1 ? 平面 ABC ,从而 CF ? BB1 ;

? 又 ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 2 , F 是 AB 中点,∴ CF ? AB ,从而可以证明 CF ? 平面

ABB1 ;
(Ⅱ)以 C 为坐标原点,射线

CA, CB, CC1 为 x, y, z 轴正半轴,建立空间直角坐标系,

? C (0, 0, 0) , A(2, 0, 0) , B1 (0, 2, 4) ,利用向量关系求出平面 AEB1 的法向量 n ? (m, m ? 4, 2) ,
平面

EBB1



??? ? ? A ? EB1 ? B 法向量 CA ? (2, 0, 0) ,而二面角 的大小是 45 ,代入

uur r CA ? n cos 45 ? uur r CA n
0

中,解得

CE ?

5 2.
ABC ? A1B1C1 是直棱柱,∴ BB1 ? 平面 ABC .

试题解析: (Ⅰ)证明:∵三棱柱

? BB1 . 又∵ CF ? 平面 ABC ,∴ CF
? ∵ ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 2 , F 是 AB 中点,∴ CF ? AB .

又∵

BB1 ∩ AB ? B , ∴ CF ? 平面 ABB1 .

(Ⅱ)以 C 为坐标原点,射线 标系 C ? xyz , 则 C (0, 0, 0) , A(2, 0, 0) ,

CA, CB, CC1 为 x, y, z 轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐

B1 (0, 2, 4)



? AEB E (0, 0, m ) n 1 设 ,平面 的法向量 ? ( x, y, z ) ,

???? ??? ? AB1 ? (?2, 2, 4) AE ? (?2, 0, m) 则 , .

uuu r r ???? ? ??? ? ? ? AB ? AB1 ? n , AE ? n .于是 1 ? n ? ?2 x ? 2 y ? 4 z ? 0, 且 r r ? uuu ? ? AE ? n ? ?2 x ? 0 y ? mz ? 0.
mz ? x? , ? ? 2 ? ? y ? mz ? 4 z . ? ? n ? 2 z ? 2 所以 取 ,则 ? (m, m ? 4, 2)
∵ 三棱柱

ABC ? A1B1C1 是直棱柱,∴ BB1 ? 平面 ABC .

? ? BB1 又∵ AC ? 平面 ABC ,∴ AC .∵ ?ACB ? 90 ,

BB1 ∩ BC ? B , ∴ AC ? BC .∵

??? ? ??? ? ECBB1 .∴ CA 是平面 EBB1 的法向量, CA ? (2, 0, 0) . ∴ AC ? 平面
∵二面角

A ? EB1 ? B 的大小是 45? ,

5 5 uur r m? CE ? CA ? n 2 m 2 2 .∴ 2. ∴ cos 450 ? uur r ? .解得 ? 2 2 2 2 CA n 2 ? m ? ? m ? 4 ? ? 2
考点:1、线面垂直的判定定理;2、二面角的求法.

x2 1 22. (1) (2) m 2 ? ,证明过程详见解析. ? y2 ? 1; 4 2
【解析】 试题分析: (1)由离心率及过一定点可进行椭圆基本两运算,从而求出椭圆方程. (2)将直线方程代入椭圆方程,设出点 P ( x1 , y1 ) ,Q ( x2 , y2 ) ,并由韦达定理的的出 x1 , x2 的 关系. 注意设而不求代入 4k ? k1 ? k2 , 整理即可得出 m 2 ? 试题解析: (1)
2 ? ? 2? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ?1 ? 2 依题意可得 ? 解得 a ? 2, b ? 1. b2 ? a , ?c 3 ? ? a 2 ? ? ? 2 2 2 ?a ? b ? c

1 为定值, 同时经验证复合题意. 2

? ?

所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)当 k 变化时, m 2 为定值,证明如下:

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 得, ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4(m 2 ? 1) ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
设 P ( x1 , y1 ) ,Q ( x2 , y2 ) .

4 ? m 2 ? 1? 8km 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , ????? ?*? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
? 直线 OP、OQ 的斜率依次为 k1 , k2 ,且 4k ? k1 ? k2 , ? 4k ?

y1 y2 kx1 ? m kx2 ? m ,得 2kx1 x2 ? m x1 ? x2 , ? ? ? x1 x2 x1 x2

?

?

将 ?*? 代入得: m 2 ?

1 , 2

经检验满 足 ? ? 0 . 考点:?椭圆方程的求法?直线与椭圆的综合问题.


甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 _数学_高中教育_教育专区。嘉峪关市一中 2015-2016 学年第一学期期末考试 高 二数学()试卷...

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文_数学_高中教育_教育专区。嘉峪关市一中 2015-2016 学年第一学期期末考试 高二数学(文科)试卷...

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二生物上学期期末考试试题 理

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二生物上学期期末考试试题 _理化生_...嘉峪关市一中 2015—2016 学年第一学期期末考试 高二生物()试卷 错误的是 A...

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高一地理上学期期末考试试题

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高一地理上学期期末考试试题_政史地_高中教育_教育专区。嘉峪关市一中 2015—2016 学年第一学期期末考试 高一地理试卷总分 100...

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二语文上学期期末考试试题

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二语文上学期期末考试试题_语文_高中教育...言之成也可酌情给分) 9.①首联直抒胸臆,写出了岁月流逝、年华老大、几经...

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二政治上学期期末考试试题 文

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二政治上学期期末考试试题 文_政史地_高中教育_教育专区。嘉峪关市一中 2015-2016 学年第一学期期末考试 高二文科政治试卷...

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高一政治上学期期末考试试题

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高一政治上学期期末考试试题_政史地_高中教育_教育专区。嘉峪关市一中 2015-2016 学年第一学期期末考试 高一政治试题一、单项...

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二物理上学期期末考试试题

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二物理上学期期末考试试题_理化生_高中...嘉峪关市一中 2015—2016 学年第一学期期末考试 高二物理试卷一、选择题(本题 ...

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高一英语上学期期末考试试题

嘉峪关市一中 2015-2016 学年第一学期期末考试 高一英语试题考试时间:100 分钟 第 I 卷(选择题) 第一部分:阅读理解(共两节, 满分 40 分) 第一节(共 15 ...

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二英语上学期期末考试试题

甘肃省嘉峪关市第一中学2015-2016学年高二英语上学期期末考试试题_英语_高中教育_教育专区。嘉峪关市一中 2015—2016 学年第一学期期末考试 高二英语试题第一部分: ...

嘉峪关市第一中学 | 嘉峪关市第一中学官网 | 嘉峪关市第一中学网站 | 甘肃省嘉峪关市 | 甘肃省嘉峪关市地图 | 甘肃省嘉峪关市双拥路 | 甘肃省嘉峪关市长城区 | 甘肃省嘉峪关市雄关区 |