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2012年华约自主招生全真模拟数学试题及详解


2012 年高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟 Advanced Assessment for Admission(AAA) 数学 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求 的。 1. 已知 P 为三角形 ABC 内部任一点(不包括边界) ,且满足 ( PB ? PA)( PB ? PA ? 2PC) ? 0 , 则△ABC 一定为( ) A.直角三角形;B. 等边三角形;C. 等腰直角三角形;D. 等腰三角形 2.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点,动点 P 在圆锥底面内(包 括圆周) 。若 AM⊥MP,则 P 点形成的轨迹的长度为______ A. 7 B. 7 2 C. 3 D. 3 2 3.设有一个体积为 54 的正四面体, 若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体, 则所作四面体的体积为______ A.1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为 0~n?1 中的任意一个数。如果初始时显示 2011,反复按这个按键使得最终显示 0,那么这个过程中,9、99、999 都 出现的概率是 A. 5.已知 ? , ? ? R ,直线 B. C. D. x y x y ? ? 1与 ? ?1 sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? 的交点在直线 y ? ? x 上,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 。 A.0 B.1. C-1 D.2 6.设 f ( x) ? A1 1 1 1 1 ? ? ,则 f ( x) ? f ( ) ? _________ 。 lg x lg x lg x 1? 2 1? 4 1? 8 x D4 . D -4/5 B2 C3 1 7. 已知 cos 4? ? ,则 sin 4 ? ? cos4 ? ? 5 A 4/5 B 3/5 C1 ,AA? ? 2 ,则 A,C 两点间的球面距离为 8.顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD ? A? B?C?D? 中, AB ? 1 ( ) A. ? ? B. ? ? C. 2 ? 4 D. 2 ? 2 9. 在平面直角坐标系内,将适合 x ? y, x ? 3, y ? 3, 且使关于 t 的方程 ( x3 ? y 3 )t 4 ? (3x ? y )t 2 ? 1 ? 0没 x? y 有实数根的点 ( x, y ) 所成的集合记为 N,则由点集 N 所成区域的面积为 。 A 81/4 B 83/4 C 81/5 D 83/5 x2 y2 ? 1 的左、 10. 已知椭圆 ? 右焦点分别为 F1、 F2, 过椭圆的右焦点作一条直线 l 交椭圆于点 P、 Q, 则△F1PQ 4 3 内切圆面积的最大值是 . A B C D 二、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 一.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值. x2 y 2 4 25 二、已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,其离心率为 ,两准线之间的距离为 。 (1)求

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