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2014届高考数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座:函数的奇偶性与周期性(人教A版)


2014 届数学一轮知识点讲座:函数的奇偶性与周期性
一、考纲目标 1.结合具体函数, 了解函数奇偶性的含义; 2.运用函数图像, 理解和研究函数的奇偶性; 3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性; 二、知识梳理 (一)函数的奇偶性 1.定义: 如果对于函数 f (x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x

)),那么这 个函数就是偶(奇)函数; 2.性质及一些结论: (1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于轴对称,奇函数的图象关于原点对称; (3) f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) (4)若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 因此, “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非 充分非必要条件; (5)判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须 注意使定义域不受影响; (6)断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:

f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

(7)设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇 (8)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单 调性相反 (二)函数的周期性 1.定义: 若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则 f(x)叫做周 期函数,T 叫做这个函数的一个周期

2.简单理解: 一般所说的周期是指函数的最小正周期, 周期函数的定义域一定是无限集, 但是我们可 能只研究定义域的某个子集 三、考点逐个突破 1.奇偶性辨析 例 1.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③ 偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R), 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误 奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确 若 y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,如例 1 中的(3), 故④错误,选 A 说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 例 2.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x|(x +1); 1 (2)f(x)= x+ ; x (3)f(x)= x-2+ 2-x; (4)f(x)= 1-x + x -1; (5)f(x)=(x-1) 1+x . 1-x
2 2 2

解析 (1)此函数的定义域为 R. ∵f(-x)=|-x|[(-x) +1]=|x|(x +1)=f(x), ∴f(-x)=f (x),即 f(x)是偶函数. (2)此函数的定义域为 x>0,由于定义域关于原点不对称,故 f(x)既不是奇函数也不是偶函 数. (3)此函数的定义域为{2},由于定义域关于原点不对称,故 f(x)既不是奇函数也不是偶函 数. (4)此函数的定义域为{1,- 1},且 f(x)=0,可知图像既关于原点对称,又关于 y 轴对称, 故此函数既是奇函数又是偶函数.
2 2

1-x≠0 ? ? (5)定义域:?1+x ≥0 ? ?1-x 2.奇偶性的应用

?-1≤x<1 是关于原点不对称区间,故此函数为非奇非偶函数.

例 3.已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) , (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用表示 f (12) 解: (1)显然 f ( x) 的定义域是,它关于原点对称.在 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 中, 令 y ? ? x ,得 f (0) ? f ( x) ? f ( ? x) ,令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) , ∴ f (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 是奇函数 (2)由 f (?3) ? a , f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 及 f ( x) 是奇函数, 得 f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f ( ?3) ? ?4a 例 4.(1)已知 f ( x) 是上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ?
3 ? ? x(1 ? x ), x ? 0 则 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? 3 ? ? x(1 ? x ), x ? 0
3

x) ,

( 2 )已知 f ( x) 是偶函数, x ? R ,当 x ? 0 时, f ( x) 为增函数,若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且

| x1 |?| x2 | ,则 () f (? x1 ) ? f (? x2 ) f (? x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? f (? x2 )
2

C ? f ( x1 ) ? f (? x2 )

例 5 设为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值 解: (1)当 a ? 0 时, f (? x) ? (? x )? | ? x | ?1 ? f ( x) ,此时 f ( x) 为偶函数;
2

当 a ? 0 时, f (a ) ? a ? 1 , f (? a ) ? a ? 2 | a | ?1 ,
2 2

∴ f (? a ) ? f (a ), f ( ?a ) ? ? f (a ), 此时函数 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数

(2)①当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? 若a?

1 2

3 , 4

1 ,则函 数 f ( x) 在 (??, a ] 上单调递减,∴函 数 f ( x) 在 (??, a ] 上的最小值 为 2

f (a) ? a 2 ? 1 ;
1 1 3 1 ,函数 f ( x) 在 (??, a ] 上的最小值为 f ( ) ? ? a ,且 f ( ) ? f ( a ) 2 2 4 2 1 3 ②当 x ? a 时,函数 f ( x) ? x 2 ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? , 2 4 1 1 3 1 若 a ? ? ,则函数 f ( x) 在 [a, ??) 上的最小值为 f (? ) ? ? a ,且 f (? ) ? f ( a ) ; 2 2 4 2 1 若 a ? ? , 则 函 数 f ( x) 在 [a, ??) 上 单 调 递 增 , ∴ 函 数 f ( x) 在 [a, ??) 上 的 最 小 值 2
若a ?

f (a) ? a 2 ? 1
综上,当 a ? ? 是 a2 ? 1 , 当a ?

1 3 1 1 时,函数 f ( x) 的最小值是 ? a ,当 ? ? a ? 时,函数 f ( x) 的最小值 2 4 2 2

1 3 ,函数 f ( x) 的最小值是 a ? 2 4

3.函数周期性的应用 例 6. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x). 当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-x . (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011). 解 (1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x) =-2x-x , 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x , ∴f(x)=x +2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4) +2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4) +2(x-4)=x -6x+8.
2 2 2 2 2 2 2 2

从而求得 x∈[2,4]时,f(x)=x -6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴ f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = f(4) + f(5) + f(6) + f(7) =?= f(2 008) + f(2 009) + f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 011)=0. 4.单调性与奇偶性的交叉应用 -2 +b 例 7.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a ①求 a、b 的值; ②若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 解:①∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0, b-1 1-2 即 =0,∴b=1,∴f(x)= x+1, a+2 a+2 1 1- 2 1-2 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. a+4 a+1 1-2 1 1 ②由①知 f(x)= , x+1=- + x 2+2 2 2 +1 易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 又∵f(x)是奇函数,从而不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 等价于 f(t -2t)<-f(2t -k)= f(k-2t ), ∵f(x)为减函数,∴由上式得 t -2t>k-2t , 1 2 即对任意的 t∈R 恒有:3t -2t-k>0,从而 Δ =4+12k<0,∴k<- . 3
2 2 2 2 2 2 2 x x 2 2 x

2

一、选择题 1.(2012· 高考陕西卷)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) 3 A.y=x+1 B.y=-x 1 C.y= D.y=x|x| x 解析:选 D.由函数的奇偶性排除 A,由函数的单调性排除 B、C,由 y=x|x|的图象可知 当 x>0 时此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选 D. 2.已知 y=f(x+1)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象的对称轴是( ) A.x=1 B.x=-1

1 1 C.x= D.x=- 2 2 解析:选 A.∵y=f(x+1)是偶函数,∴f(1+x)=f(1-x),故 f(x)关于直线 x=1 对称. 3.函数 f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析:选 B.f(a)=a3+sina+1,① f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-a3-sina+1,② ①+②得 f(a)+f(-a)=2, ∴f(-a)=2-f(a)=2-2=0. 2 4.函数 f(x)=1- (x∈R)( ) 1+2x A.既不是奇函数又不是偶函数 B.既是奇函数又是偶函数 C.是偶函数但不是奇函数 D.是奇函数但不是偶函数 2x-1 2 解析:选 D.∵f(x)=1- , x= x 1+2 2 +1 - 2 x-1 1-2x 2x-1 ∴f(-x)= -x = =-f(x). x=- x 2 +1 1+2 2 +1 又其定义域为 R,∴f(x)是奇函数. 5.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈(0,1]时单调递增,则( ) 1? ?5? A.f? ?3?<f(-5)<f?2? 1? ?5? B.f? ?3?<f?2?<f(-5) 5? ?1? C.f? ?2?<f?3?<f(-5) 1? ?5? D.f(-5)<f? ?3?<f?2? 解析:选 B.∵f(x+2)=f(x),∴f(x)是以 2 为周期的函数, 5? ?1 ? ?1? 又 f(x)是偶函数,∴f? ?2?=f?2+2?=f?2?, f(-5)=f(5)=f(4+1)=f(1), ∵函数 f(x)在(0,1]上单调递增, 1? ?1? ?1? ?5? ∴f? ?3?<f?2?<f(1),即 f?3?<f?2?<f(-5). 二、填空题 - 6.设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. - - 解析:因为 f(x)是偶函数,所以恒有 f(-x)=f(x),即-x(e x+aex)=x(ex+ae x),化简得 - x(e x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数 x 都成立,所以 a=-1. 答案:-1 7.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x <0 时,f(x)=________. 解析:∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0, f(x)=-f(-x)=-( -x+1), 即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 答案:- -x-1 8.(2013· 大连质检)设 f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且 f(x+3)· f(x)=- 1,f(-4)=2,则 f(2014)=________.

1 解析:由已知 f(x+3)=- , fx 1 ∴f(x+6)=- =f(x), fx+ ∴f(x)的周期为 6. ∴f(2014)=f(335× 6+4)=f(4)=-f(-4)=-2. 答案:-2 三、解答题 9.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= x2-1+ 1-x2; x -2x+3 ? ? (2)f(x)=? x= , ? ?-x2-2x-
2

x x



解:(1)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称. 又 f(-1)=f(1)=0. ∴f(-1)=f(1)且 f(-1)=-f(1), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)①当 x=0 时,-x=0, f(x)=f(0)=0,f(-x)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x). ②当 x>0 时,-x<0, ∴f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3 =-(x2-2x+3)=-f(x). ③当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)2-2(-x)+3 =-(-x2-2x-3)=-f(x). 由①②③可知,当 x∈R 时,都有 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 10.已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1 -m2)<0 的实数 m 的取值范围. 解:∵f(x)的定义域为[-2,2], ? ?-2≤1-m≤2 ∴有? , 2 ?-2≤1-m ≤2 ? 解得-1≤m≤ 3.① 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)? 1-m>m2-1, 即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1.

一、选择题 1.(2012· 高考天津卷)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A.y=cos 2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 - ex-e x C.y= ,x∈R D.y=x3+1,x∈R 2 解析:选 B.由函数是偶函数可以排除 C 和 D,又函数在区间(1,2)内为增函数,而此时 y =log2|x|=log2x 为增函数,所以选择 B. 2.(2011· 高考山东卷)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)

=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:选 B.令 f(x)=x3-x=0, 即 x(x+1)(x-1)=0, 所以 x=0,1,-1, 因为 0≤x<2,所以此时函数的零点有两个,即与 x 轴的交点个数为 2. 因为 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 所以 2≤x<4,4≤x<6 上也分别有两个零点, 由 f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0, 知 x=6 也是函数的零点, 所以函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 二、填空题 1 3.若 f(x)= x +a 是奇函数,则 a=________. 2 -1 -1 1 1 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 -x +a= x -a,得:2a=1,a= . 2 2 -1 2 -1 1 答案: 2 4.(2013· 长春质检)设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x),下面关于 f(x) 的判定:其中正确命题的序号为________. ①f(4)=0; ②f(x)是以 4 为周期的函数; ③f(x)的图象关于 x=1 对称; ④f(x)的图象关于 x=2 对称. 解析:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4), 即 f(x)的周期为 4,②正确. ∵f(x)为奇函数,∴f(4)=f(0)=0,即①正确. 又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x), ∴f(x)的图象关于 x=1 对称,∴③正确, 又∵f(1)=-f(3),当 f(1)≠0 时,显然 f(x)的图象不关于 x=2 对称,∴④错误. 答案:①②③ 三、解答题 5.已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. (1)试判断 f(x)的奇偶性; 1 1 (2)若- ≤a≤ ,求 f(x)的最小值. 2 2 解:(1)当 a=0 时, 函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数. 当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a), 此时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 1?2 3 (2)当 x≤a 时,f(x)=x2-x+a+1=? ?x-2? +a+4, 1 ∵a≤ ,故函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减, 2 从而函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f(a)=a2+1. 1?2 3 当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=? ?x+2? -a+4,

1 ∵a≥- ,故函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增, 2 从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f(a)=a2+1. 1 1 综上得,当- ≤a≤ 时,函数 f(x)的最小值为 a2+1. 2 2