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陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第64课时 计数原理 理


课题:计数原理
考纲要求:1. 理解分类加法计数原理、分步计数原理; 2. 会用分类加法计数原理或分步计 数原理分析和解决一些简单的应用问题. 教材复习

1. 分类计数原理(加法原理):做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1
种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同 的方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ?
王新敞
奎屯 新疆

? mn

种不同的方法.

2. 分步计数原理(乘法原理):
做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种 不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事有:

3. ?1? 正确区分和使用两个原理是学好本章的关键.区分 “分类与分步” 的依据在于能否 “一
次性”完成. 若能“一次性”完成,则不需“分步” ,只需分类;否则就分步处理. ? 2 ? 有 些较复杂的问题,既要“分类” ,又要“分步” ,应明确按什么标准“分类” , “分步” ,不 分清是允许重复,还是不允许重复. 基本知识方法 同的标准,可以有不同的解法,解题时应择优而行. ? 3? 在应用计数原理时,要仔细审题,

N ? m1 ? m2 ?

? mn 种不同的方法.

1. 两个原理的联系与区别:两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的.区别在于:

,分步乘法计数原理是“分步” ; ? 2 ? 分类加法计数原理 ?1? 分类加法计数原理是“分类”

中每类方法的每一种方法都能独立完成这件事,分步乘法计数原理中每步中每种方法都做 这件事的一步,不能独立完成这件事. 2. 对于较复杂的问题有时要两个原理综合使用,即先分类再分步或先分步再分类.

3. 使用的工具:列举、列表,树形图. 4. 分类要做到“不重不漏” ,分步要做到“步骤完整”.
典例分析: 考点一 分类加法计数原理 问题 1. ?1? ( 2012 浙江)若从 1, 2,3 ,?, 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为 偶数,则不同的取法共有

A. 60 种

B. 63 种

C. 65 种

D. 66 种

493

? 2 ? ( 2011 北京)用数字 2, 3 组成四位数,且数字 2, 3 至少都出现一次,这样的四位数共
有__________个.(用数字作答)

? 3? 三人传球,由甲开始发球,并作第一次传球,经过 5 次传球后,球仍回到甲手中,则
不同的传球方式共有

A. 6 种

B. 8 种

C. 10 种

D. 12 种

考点二 分步乘法计数原理 问题 2. ?1? ( 05 广州综合测试)某文艺团下基层进行宣传演出,原准备的节目表有

6 个节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,在它们之间再插入 2 个小品节目,并且这 2 个小品节目在节目表中既不排头,也不排尾,那么不同的插入方法有 A. 20 种 B. 30 种 C. 42 种 D. 56 种

? 2 ? 用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图),要求在①、②、③、④四个区域中相
邻(有公共边界)的区域不用 同一种颜色. ① ③ ② ④ ② 乙广告牌 ① ③ ④
494

(Ⅰ)若 n ? 6 ,为甲着色时 共有多少种不同等方法? (Ⅱ)若为乙着色时共有 120 种不同方法,求 n .

甲广告牌

? 3? 正整数 2520 的正约数有

个.

考点三 分类和分步原理的综合使用 问题 3. ?1? 某外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,其中 7 人会英语, 3 人会 日语,从中选出会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?

? 2 ? ( 2012 山东)现有16 张不同的卡片,其中红色、黄 色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从
中任取 3 张,要求这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为

A. 232

B. 252

C. 472

D. 484

495

课后作业:

1. 所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

2. 有一项活动,需在 3 名老师、 8 名男生和 5 名女生中选人参加. ?1? 若只需1 人参加,有多少种不同的选法? ? 2 ? 若需老师、男生、女生各1 人参加,有多少种不同的选法? ? 3? 若需1 名老师、1 名学生参加,有多少种不同的选法?

3. 三边长均为正整数,且最大边长为 11 的三角形的个数为 A. 25 B. 26 C. 36 D. 37

4. 若 y ? f ( x) 是定义域为 A ? {x 1≤ x ≤ 7 , x ? N *} ,值域为 B ? ?0,1? 的函数,
则这样的函数共有

A. 128 个

B. 126 个

C. 14 个

D. 12 个

496

5. ?1? 3 名高中毕业生报考其中的 5 所重点院校,每人只报一所院校,则有多少种不同的
报名方法? ? 2 ? 3 名高中毕业生报考其中的 5 所重点院校,每人只报一所院校,每个院校 仅允许报一名,有多少种不同的报名方法?

6. 从 1, 2,3 ,?,9 九个正整数中任取两个不同的数字分别作为对数和真数,共可以得到多
少个不同的对数值?

7. 从 ??3, ?2, ?1,0,1, 2,3? 中任取 3 个不同的数作为抛物线方程 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )
的系数,如果抛物线过原点,且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条?

8. 将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有 A. 53 种 B. 35 种 C. 3 种 D. 15 种 9. 3 个学生在 4 本不同的参考书中各挑选一本,不同选法种数是 3 3 A. C4 B. A4 C. D. 43 34

走向高考:

10.( 05 湖北文)把一同排 6 张座位编号为 1, 2,3, 4,5,6 的电影票全部分给 4 个人,每人至 少分 1 张,至多分 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 A. 168 B. 96 C. 72 D. 144
497

11. ( 05 天津)从集合 ?1,2,3, ???,11? 中任选两个元素作为椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 中的 m 、 n , m2 n2

则能组成落在矩形区域 B ? {? x, y ? x ? 11 ,且 y ? 9} 内的椭圆个数为

A. 43

B. 72

C. 86

D. 90

12. ( 07 全国Ⅰ文)甲、乙、丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中,甲选修 2 门,乙、丙 B. 48 种 C. 96 种 D. 192 种 各选修 3 门,则不同的选修方案共有 A. 36 种

13.( 07 全国Ⅱ文)5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组, A. 10 种 B. 20 种 C. 25 种 D. 32 种 则不同的报名方法共有

14. ( 2012 全国大纲)将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每 列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36

498


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