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北京市石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学(理科)


石景山区 2013—2014 学年第一学期期末考试试卷
高三数学(理科)
本试卷共 6 页,满分为 150 分,考试时间为 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考 试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 M ? x ? R x 2 ? 2 x ? 3 ? 0? , N ? x ? R x ? 1 ? 0? ,那么 M ? N ? () A. { ? 1,, 0 1} C. {x ?1 ? x ? 1} 2.复数 B. { ? 3 , ? 2, ? 1} D. {x ?3 ? x ? ?1}

?

?

i ? () 1? i 1 i A. ? 2 2

B.

1 i ? 2 2

C. ?

1 i ? 2 2

D. ?

1 i ? 2 2

3.已知向量 a ? ( x , 1) , b ? (4 , x) ,则“ x ? 2 ”是“ a ∥ b ”的() A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 开始 输入 x

4.已知数列为等差数列, ,那么数列通项公式为() A. C. B. D. 否

x ? 2x ? 1

5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 2 , 则输出的 x 的值为( A. 3 C. 127 ) B. 126 D. 128

x ? 126
是 输出 x 结束

6.在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好落在正方形与曲线 y ? 的概率为()

x 围成的区域内(阴影部分)

y
2 B. 3 4 D. 5
C

1 A. 2 3 C. 4

y?

x

B

O

A

x

7.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为() A. 324 B. 328 C. 360 D. 648

8.已知函数满足,当时, ,若在区间上方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是() A. B. C. D.

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知圆 C 的参数方程为 ?

共 110 分)

? x=1 ? 2 cos ? , (? 为参数 ) ,则圆 C 的直角坐标方程为_______________,圆心 C 到 ? y ? 2sin ? ,

直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的距离为______. 10.在 ?ABC 中,角 A , B, C 的对边分别为 a ,, b c ,若 a =6 , c ? 4 , cos B =

1 ,则 b ? ______. 3

? x ? 1, ? 11.若 x , y 满足约束条件 ? y ? 0 , 则 z ? x ? y 的最大值为. ?x ? y ? 2 ? 0 , ?
12.如图,已知在 ?ABC 中, ?B ? 90o , O 是 AB 上一点, 以 O 为圆心, OB 为半径的圆与 AB 交于点 E ,与 AC 切 于点 D , AD ? 2 , AE ? 1 ,则 AB 的长为,

C
D
A


E

O

B

CD 的长为.
13.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为直线 l ,过抛物线上一点 P 作 PE ? l 于 E ,若直线 EF 的倾斜角
2

为 150o ,则 | PF |? ______.

A1
14. 已知四边形是边长为的正方形,且平面,为上动点,过且垂直于的平面交于,那 么异面直线 PC 与 BD 所成的角的度数为,当三棱锥的体积取得最大值时, 四棱 锥 P ? ABCD 的高 PA 的长为.

P

E
三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

A B
C

D

15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 1 . (Ⅰ)求函数的单调递增区间; (Ⅱ)求函数在上的最小值,并写出取最小值时相应的值.

16. (本小题满分 13 分) 北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试” ,测试总成绩满分为 100 分,规定测试成绩在

[85 , 100] 之间为体质优秀;在 [75 , 85) 之间为体质良好;在 [60 , 75) 之间为体质合格;在 [0 , 60) 之间为体质不
合格. 现从某校高三年级的 300 名学生中随机抽取 30 名学生体质健康测试成绩,其茎叶图如下: 9 8 7 6 5 1 0 0 4 6 3 1 5 5 5 1 6 8 6 2 6 2 7 3 9 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9

(Ⅰ)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数; (Ⅱ) 根据以上 30 名学生体质健康测试成绩, 现采用分层抽样的方法, 从体质为优秀和良好的学生中抽取 5 名学生,再从这 5 名学生中选出 3 人. (ⅰ)求在选出的 3 名学生中至少有1 名体质为优秀的概率; (ⅱ)记 X 为在选出的 3 名学生中体质为良好的人数,求 X 的分布列及数学期望.

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形,

?ABC ? 90o , AD ∥ BC ,且 PA ? AD ? 2 , AB ? BC ? 1 , E 为 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: CD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (Ⅲ)在线段 AB 上是否存在一点 F (不与 A , ,使得 AE ∥平面 PCF ?若存在,求出 AF 的 B 两点重合) 长;若不存在,请说明理由.

P
E

18. (本小题满分 13 分)

A B

D

C

已知函数 f ( x) ? e ? ax ( e 为自然对数的底数).
x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)已知函数 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值,不等式 f ( x) ? mx 的解集为 P ,若 M ? {x |

M ? P ? ? ,求实数 m 的取值范围.

1 ? x ? 2} ,且 2

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆: ()过点 (2 , 0) ,且椭圆的离心率为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且 MP ? PN ,再过作直线.证明:直线恒过定点,并求 出该定点的坐标.

????

??? ?

20. (本小题满分 13 分) 已知集合,对于数列中. ( Ⅰ ) 若 50 项 数 列 {an } 满 足
n

? ai ? ?9 , ? (ai ? 1)2 ? 107 , 则 数 列 {an } 中 有 多 少 项 取 值 为 零 ?
i ?1 i ?1

50

50

(

?a
i ?1

i

? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? N? )

(Ⅱ)若各项非零数列 {an } 和新数列 {bn } 满足 bi ? bi ?1 ? ai ?1 () . (ⅰ)若首项 b1 ? 0 ,末项 bn ? n ? 1 ,求证数列 {bn } 是等差数列; (ⅱ)若首项 b1 ? 0 ,末项 bn ? 0 ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求 S n 的最大值和最小值.

石景山区 2013—2014 学年第一学期期末考试
高三数学(理科)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 A 5 C 6 B 7 B 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10
6

11

12

13

14

( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 , 2

4

4 ,3

4 3

90? , 2

(两空的题目第一空 2 分,第二空 3 分) 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2x ? cos 2x+1 ????2 分

? 2sin (2x ? ) +1 , 6
2k? ?

?

?????4 分

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k ? ?

?
2

, k ?Z ,

k? ?

?

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?

, k? ? ] (k ? Z) .?????7 分 3 6 ? ? ? ? 2? (Ⅱ)因为 ? ? x ? , ? ? 2x ? ? , ?????9 分 4 4 3 6 3 3 ? ? ? ? sin(2x ? ) ? 1 , ? 3 ? 1 ? 2sin (2x ? ) +1 ? 3 , ?????11 分 2 6 6

?

?

3

? x ? k? ?

?
6

, k ?Z ,

???6 分

所以当 2x ?

?
6

=?

?
3

,即 x = ?

?
4

时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 3 ? 1.???13 分

16. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)根据抽样,估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有

10 ? 300=100 人.????3 分 30 (Ⅱ)依题意,体质为良好和优秀的学生人数之比为 15:10 ? 3: 2 .
3 5 2 ? 5 ? 2 .?6 分 5

所以,从体质为良好的学生中抽取的人数为 ? 5 ? 3 ,从体质为优秀的学生中抽取的人数为 (ⅰ)设“在选出的 3 名学生中至少有名体质为优秀”为事件 A , 则 P ( A) ? 1 ?

C3 9 9 3 ? .故在选出的 3 名学生中至少有名体质为优秀的概率为 .??9 分 3 C5 10 10
2 C1 3 3 ? C2 ? , 3 C5 10

(ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 1, 2, 3 . P ( X ? 1) ?

2 C3 ? C1 C3 6 1 2 3 P ( X ? 2) ? ? , P ( X ? 3) ? 3 ? .????12 分 3 C5 10 C5 10

所以,随机变量 X 的分布列为:

X

1

2

3
1 10

P

3 10

6 10

EX ? 1?

3 6 1 9 ? 2 ? ? 3 ? ? .?????13 分 10 10 10 5
P E
A

17. (本小题共 14 分) (Ⅰ)证明: 因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? CD . 取 AD 的中点 G ,连结 GC , 因为底面 ABCD 为直角梯形, AD ∥ BC , ?ABC ? 90o ,且 AB ? BC ? 1 , 所以四边形 ABCG 为正方形,所以 CG ? AD ,且 CG = 所以 ?ACD=90o ,即 AC ? CD .?????3 分 又 PA ? AC ? A ,所以 CD ? 平面 PAC . ?????1 分

G

D

B

C

1 AD , 2

?????4 分

(Ⅱ) 解: 如图, 以 A 为坐标原点, ??? AB , AD , AP 所在直线分别为 x , y, z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz . 5分 则 A(0 , 0, 0) , C (1,, 1 0) , E (0 ,, 1 1) , P(0 , 0, 2) , 所以 AP ? (0 , 0, 2) , AC ? (1 ,, 1 0) , AE ? (0 ,, 1 1) . 因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 AP ? (0 , 0, 2) 为平面 ACD 的一个法向量.

??? ?

????

??? ?

??? ?

??6 分

?? y, z) , 设平面 EAC 的法向量为 n1 ? ( x ,
由 n1 ? AC ? 0 , n1 ? AE ? 0 得 ? 令 x ? 1 ,则 y ? ?1 , z ? 1,

z

P E

?? ????

?? ??? ?

?x ? y ? 0 , ?y ? z ? 0,
A
???8 分

D

y

? 1, 1) 是平面 EAC 的一个法向量. 所以 n1 ? (1 ,
AP ?? 所以 cos ? n1 , ?? ??? ? 1? 0 ? ( ?1) ? 0 ? 1? 2 1 ? (?1) ? 1 ? 2
2 2 2

??

x

B

C

?

3 3

因为二面角 E ? AC ? D 为锐角,

所以二面角 E ? AC ? D 的余弦值为

3 . 3

???9 分

(Ⅲ)解:假设在线段 AB 上存在点 F (不与 A , ,使得 AE ∥平面 PCF . B 两点重合)

? 1, 0) , CP ? (?1, ? 1, 2) . 设 F (a , 0, 0) ,则 CF ? (a ? 1,

??? ?

??? ?

z

?? ? y, z) , 设平面 PCF 的法向量为 n2 ? ( x ,
?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?(a ? 1) x ? y ? 0 , 由 n2 ? CF ? 0 , n2 ? CP ? 0 得 ? ?? x ? y ? 2 z ? 0 ,

P E

A a F 令 x ? 1 ,则 y ? a ? 1 , z ? , 2 B ?? ? a x 所以 n2 ? (1 , a ? 1, ) 是平面 PCF 的一个法向量.?12 分 2 ??? ? ?? ? a 因为 AE ∥平面 PCF ,所以 AE ? n2 ? 0 ,即 (a ? 1) ? ? 0 ,?????13 分 2 2 解得 a ? , 3
所以在线段 AB 上存在一点 F (不与 A , ,使得 AE ∥平面 PCF ,且 AF = B 两点重合)

D

y

C

2 .??14 分 3

18.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? e ? 2 x , f (0) ? 1 , f ?( x) ? e ? 2 ,得 f ?(0) ? ?1 ,???2 分
x x

所以曲线 f ( x) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为 y ? ? x ? 1 .
x (Ⅱ) f ?( x) ? e ? a .

?????3 分

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 的单调递增区间为 (?? , ? ?) ,无单调递减区间;???5 分 当 a ? 0 时, x ? (?? , ln a) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (ln a , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , 此时 f ( x) 的单调递增区间为 (ln a , ? ?) ,单调递减区间为 (?? , ln a) .??7 分 (Ⅲ)由题意知 f ?(0) ? 0 得 a ? 1 ,经检验此时 f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值.???8 分 因为 M ? P ? ? ,所以 f ( x) ? mx 在 [ , 2] 上有解,即 ?x ? [ , 2] 使 f ( x) ? mx 成立,?9 分 即 ?x ? [ , 2] 使 m ?

1 2

1 2

1 2

ex ? x 成立,????10 分 x

所以 m ? (

ex ? x ) min . x

令 g ( x) ?

ex ( x ? 1)e x 1 ? 1 , g ?( x) ? ,所以 g ( x) 在 [ , 2] 上单调递增, 1] 上单调递减,在 [1, 2 x x 2

则 g ( x) min ? g (1) ? e ? 1 ,?????12 分 所以 m ? (e ? 1,+? ) . 19. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)因为点 (2 , 0) 在椭圆 C 上,所以 ?????13 分

4 0 ? 2 ? 1 ,所以 a 2 ? 4 , ????1 分 2 a b

因为椭圆 C 的离心率为 解得 b2 ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为

a 2 ? b2 1 c 1 1 ? ,????2 分 ,所以 ? ,即 2 a2 4 a 2
?????4 分

x2 y 2 ? ? 1 .?????5 分 4 3
3 3 2 2

y0 ) , y0 ? (? , ) , (Ⅱ)设 P(?1,

y1 ) , N ( x2 , y2 ) , ①当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? 1) , M ( x1 ,

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 , 2 由? 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? (8ky0 ? 8k 2 ) x ? (4 y0 ? 8ky0 ? 4k 2 ? 12) ? 0 , ???7 分 ? y ? y0 ? k ( x ? 1) ,
8ky0 ? 8k 2 所以 x1 +x2 ? ? , 3 ? 4k 2
因为 MP ? PN ,即 P 为 MN 中点,所以 ?????8 分

????

??? ?

8ky0 ? 8k 2 x1 ? x2 = ? 2. = ? 1 ,即 ? 3 ? 4k 2 2
?????9 分

所以 kMN ?

3 ( y0 ? 0) , 4 y0
所以 kl ? ?

4 y0 4y ,所以直线 l 的方程为 y ? y0 ? ? 0 ( x ? 1) , 3 3 4 y0 1 1 即y?? ?????11 分 0) . ( x ? ) ,显然直线 l 恒过定点 (? , 4 3 4
因为直线 l ? MN , ②当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? ?1 , 此时直线 l 为 x 轴,也过点 (? 综上所述直线 l 恒过定点 (? 20. (本小题共 13 分)

1 , 0) . 4

?????13 分 ?????14 分

1 , 0) . 4

? x ? y ? z ? 50 , ? 解: (Ⅰ)设数列 {an } 中项为 1, ? 1, 0 分别有 x , y, z 项.由题意知 ? x ? y ? ?9 , ? z ? 4 y ? 107 , ?
解得 z ? 11 .所以数列 {an } 中有 11项取值为零.??3 分 (Ⅱ)

1} 且 bi ? bi ?1 ? ai ?1 ,得到 bi ? a1 ? a2 ? ? ? ai ?1 (i ? 2 ,, 3 ?, n) , (ⅰ) ai ? {?1 , 2, ?, n ? 1) ,则满足 bn ? n ? 1 .此时 bi ? bi ?1 ? 1 ,数列 {bn } 是等差数列; 若 ai ? 1(i ? 1, a2 , ?, an?1 中有 p( p ? 0 , p ? N ) 个 ?1 ,则 bn ? n ? 1 ? 2 p ? n ? 1 不满足题意; 若 a1 ,
*

所以数列 {bn } 是等差数列.?????7 分

3 ?, n) , (ⅱ)因为数列 {bn } 满足 bi ? bi ?1 ? ai ?1 ,所以 bi ? a1 ? a2 ? ? ? ai ?1 (i ? 2 ,,
根据题意有末项 bn ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 0 .

1} ,于是 n 为正奇数,且 a1 , a2 , ?, an?1 中有 而 ai ? {?1 ,

n ?1 n ?1 个1和 个 ?1 . 2 2

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1 ? (a1 ? a2 ) ? ? ? (a1 ? a2 ? ? ? an?1 ) ? (n ? 1)a1 ? (n ? 2)a2 ? ? ? an?1 a2 , ?, an?1 前 要求 S n 的最大值,则只需 a1 ,
所以 ( Sn ) max

n ?1 n ?1 项取1 ,后 项取 ?1 , 2 2

(n ? 1) 2 ( n 为正奇数) . ? (n ? 2) ? (n ? 4) ? ? ? 1 ? 4
n ?1 n ?1 项取 ?1 ,后 项取1 , 2 2

a2 , ?, an?1 前 要求 S n 的最小值,则只需 a1 ,
则 ( Sn ) min ? ?(n ? 2) ? (n ? 4) ? ? ? 1 ? ?

(n ? 1) 2 ( n 为正奇数) .????13 分 4

【注:若有其它解法,请酌情给分. 】


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