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1.7.1 定积分在几何中的简单应用


1.7.1定积分在几何中的简单应用
定 积 分 的 简 单 应 用

一、复习回顾 1、定积分的几何意义:
当 f(x )? 0 时 , 积 分

?a f ( x ) dx

b

在 几 何 上 表 示 由 y = f (x )、

x?a、x?b与 x轴

所围成的曲边梯形的面积。
y y?f (x) O a b y

x
b

?a
O a

b

f (x )d x ? ? f (x )d x ??
a

c

b

?a

b

f (x )d x ?-S f (x )d x ?? ??
a

c

f

c

f (x )d x 。

c

y?f (x)

b x

当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成
的曲边梯形位于 x 轴的下方,

一、复习回顾

2、牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b b a

?

b

f ( x )dx ? F( b) - F(a )

a

或? f ( x )dx ? F ( x ) |a ? F (b) - F (a )

(F(x)叫 做 f(x)的 原 函 数 ,f(x)就 是 F(x)的 导 函 数 )

二、热身练习
1 定 解: 如图由几何意义 积 1 分 4 - x dx ? ? ? 的 2 简 ? 单 2 计算:? -? sinxdx 应 用 解:如图由几何意义
2 2 -2

计算: ?

2 -2

4 - x dx
2

? 2

2

y

y ? sin x

?

?
-?

sinxdx ? 0

?

0

?

x

二、热身练习
3. 计算由
定 积 分 的 简 单 应 用 4.用定积分表示阴影部分面积
s ?
y ? 2x
2

与x轴及x=-1,x=1所围成的面积
y A

y ? f1 ( x )

D

B
M O a

C

y ? f 2 ( x)
b

N x

?

b a

f1 ( x ) d x -

?

b a

f2 ( x )dx

三、问题探究 曲边形面积的求解思路
y

定 积 A 分 的 简 0 a 单 应 曲边形 用

1

A2
bX a b a b

曲边梯形(三条直边,一条曲边)

面积 A=A1-A2

四、例题实践求曲边形面积
1.计算由曲线
y ? x
2



y

2

? x

所围图形的面积

定 解:作出草图,所求面积为阴影部分的面积 积 ?y ? x ? 分 解方程组 ? 得交点横坐标为 x ? 0 及 x ? 1 ?y ? x 的 ? 简 y 2 单 S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OABD y ? x 2 应 y ? x 1 B 1 1 C 用 D = ? 0 x dx - ? 0 x 2 dx
2 2

-1

O

1A

x

-1



2 3

3

1

x

2

0

1 3

x

3

1 0



2 3

-

1 3



1 3

归纳
定 积 分 的 简 单 应 用

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤:
(1)画草图,求出曲线的交点坐标
(2)将曲边形面积转化为曲边梯形面积 (3)确定被积函数及积分区间 (4)计算定积分,求出面积

四、例题实践求曲边形面积
2.计算由曲线 定 积 分 的 简 单 应 用
y 4 2 4

y ?

2x

直线
y

y ? x-4

以及x轴

所围图形的面积S
y ? x-4

y ?

2x

S1
2 4

S2 A
8

2 O

S1 S2
2
4

O

B

8

x

A: s

? s1 ? s 2 ?

?

4 0

? 8 2 x dx ? ? ? 4 ?
8 0

? 2 x dx - ? 4 ? 4 ? 2 ? 1

B: s ? s 1 - s 2 ?

?

2 x dx -

1 2

?4?4

五、巩固练习书本P58练习
定 积 所围成平面图形的面积 分 y ? cos x 的 解题要点: 简 单 S ? S1 ? S 2 应 ? ? 用 S 1 ? ? 4 cos x dx - ? 4 sin x dx
0

求曲线

y ? sin x ,

y ? cos x 与直线 x ? 0 , x ?
y

?
2

1

y ? sin x

S1
O

S2
?
4
?
2
x

?
2

0

?
2

S2 ?

?? sin
4

x dx -

?? cos
4

x dx

S1=S2 有其他
方法吗?

六、小结
1.本节课我们做了什么探究活动呢?

2.如何用定积分解决曲边形面积问题呢?
3.解题时应注意些什么呢?

4.体会到什么样的数学研究思路及方法呢?

思考
如图, 一桥拱的形状为抛 定 积 物线, 已知该抛物线拱的高为 分 常数h, 宽为常数b. 的 2 简 求证: 抛物线拱的面积 S ? bh 3 单 应 用 建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
h b

求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤

定 积 分 的 简 单 应 用

证明:如图建立平面直角坐标系,可设抛物线方程为 2 y ? - ax (a ? 0) 代抛物线上一点入方程 则有 - h ?
-a( b 2 )
2



a ?

4h b
2

y
0

所以抛物线方程为

y ? -

4h b
2

x

2

x

hS b
( b 2 ,- h )

于是,抛物线拱的面积为 2S
?b 2s ? 2? h ? ?2
b

?

2

(-

4h b
2

0

? x ) dx ? ?
2

4h 3 ?b ? 2 ? h ? (x ) 2 3b ?2

b 2 0

2 ? ? ? 3 bh ?


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