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高三一轮复习均值不等式


均值不等式复习导学案
使用说明 1、先仔细阅读教材相关内容,构建知识体系. 2、独立规范完成问题探究,并及时总结使用均值不等式的方法和规律。 学习目标:能熟练掌握均值不等式及其变式的应用;能够借助均值不等式求函数的最值。 重点:均值不等式及其变式的应用 难点:均值不等式求最值的适用条件 ▲自我建构 一、基础知识建构: 1. 均值不等式是什么?

__

________________________________
2.算术平均数与几何平均数设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数是 _______ 基本不等式可以叙述为____________________________ 3.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当 且仅当 和定积最大) 4.均值不等式常用的变式: 时,x+y 有 时,xy 有 值是 值是 .(简 .(简记: 几何平均数是

?1? a 2 ? b2
? 3?
a 2 ? b2 2

2ab

? 2?
2

ab

? a?b ? ? ? ? 2 ?

2

? a?b ? ? ? 2 ? ?

? 4?

b a ? ? a b

? a, b同号且不为零 ?

二、构建反馈

1.已知a, b ? R ? , 且ab ? 3,则a ? b ? 2.已知a, b ? R ? , 且a ? b ? 4,则ab ? 3.已知a ? R ? , 则a ? 1 ? a ;

; ;

4.已知a, b ? R ? , 且a ? b ? 1 ,则(a +1)(b+1) ? 5.函数y=x-1+ 4 (x>1)的最小值为 x ?1
1 2 ? 的最小值为 ________ m n

;



4.函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1( a ? 0 , a ? 1 )的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则
2

, 2) 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 ____________ 5.当 x ? (1
1 1 6.已知 x ? 0, y ? 0, lg 2 x ? lg 8 y ? lg 2 ,则 ? 的最小值是_________ x 3y

▲课内探究
探究一、利用均值不等式求最值 例 1.已知 x>2,求函数 y=x+

4 的最小值; x-2

拓展 1、已知 x<2,求 y=x+

4 的最大值; x-2

拓展 2、已知 x≥6,求 y=x+

4 的最小值;(改一下形式) x-2

规律方法总结: __________________________________

探究二、利用基本不等式求二元函数的最值 例 2、已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值.

1 9 x y

拓展 1、已知 x>0,y>0,且 + =1,求 xy 的最小值.

1 9 x y

拓展 2、已知 x>0,y>0,且 xy-y-9x=7,求 x+y 的最小值.

规律方法总结: __________________________________ ▲巩固提高 1 3 1.已知 a>0,b>0,a+b=1,则 a+2b 的最小值为( A.7+2 6 C.7+2 3 B. 2 3 D.14 ) )

2.已知 x+3y-2=0,则 3x+27y+1 的最小值为( A.7 C.1+2 2 3 B. 3 9 D.5

3.下列函数中, y 的最小值为 4 的是

A. y ? x ?

4 x

B. y ?

2( x 2 ? 3) x2 ? 2

C. y ? ex ? 4e? x

D. y ? sin x ?

4 (0 ? x ? ? ) sin x

4. 已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为_____
5.已知:

x 、 y ? R? , 2 x ? 8 y ? xy ? 0 ,求 x ? y 的最小值

6.

在下列条件下,求 y=4x-2+ 5 (1)x< 时,求最大值; 4 5 (2)x> 时,求最小值; 4 (3)x≥2 时,求最小值.

1 的最值. 4x-5

▲总结提升
1.知识方面:__________________________________ 2.数学思想方法:__________________________________


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