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上海市各区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷合集


上海市浦东新区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},则 A∪B=________.

2.“若

,则

”是(真或假)命题________.

3.函数

的定义域为________.

4.命题“若 x≠3 且 x≠4,则 x ﹣7x+12≠0”的逆否命题是________. 5.已知 f(x)=x ,g(x)= ,则 f(x)?g(x)=________.

2

6.若幂函数 f(x)的图象经过点

,则 f(x)=________.

7.若函数 f(x)=( ) +m 的图象不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是________.

x

8.设函数 y=f(x)在区间[﹣2,a]上是奇函数,若 f(﹣2)=11,则 f(a)=________. 9.设 x>0,则 x+ 的最小值为________.

10. 已知 y=f (x) 是 R 上的偶函数, 且f (x) 在 (﹣∞, 0]上是增函数, 若f (a) ≥f (2) , 则 a 的取值范围是________. 11. 已知关于 x 不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|1<x<2}, 则不等式 c (2x+1)+b (2x+1) +a>0 的解集为________. 12.近几年,每年 11 月初,黄浦江上漂浮在大片的水葫芦,严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观.为 了解决这个环境问题,科研人员进行科研攻关.如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关 系图象.假设其函数关系为指数函数,并给出下列说法: ①此指数函数的底数为 2; ②在第 5 个月时,水葫芦的面积会超过 30m ; 2 2 ③水葫芦从 4m 蔓延到 12m 只需 1.5 个月; 2 2 2 ④设水葫芦蔓延至 2m 、3m 、6m 所需的时间分别为 t1、t2、t3,则有 t1+t2=t3; 其中正确的说法有________. (请把正确的说法的序号都填在横线上) .
2 2 2

二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一 个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 3 分,不选、错选或者选出的代号超过一个 (不论代号是否都写在圆括号内) ,一律得零分. 13.下列命题中正确的是() 2 2 A.若 ac>bc,则 a>b B. 若 a >b ,则 a>b

C. 若

,则 a>b

D.若

,则 a>b

14.设命题甲为:0<x<5,命题乙为:|x﹣2|<3,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 15.若集合 M={y|y=2 },P={y|y= A.{y|y>1} B.{y|y≥1}
﹣x

},则 M∩P=() C.{y|y>0} D.{y|y≥0}

16.函数

的图象是()

A.

B.

C.

D.

三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤.

17.解不等式组



18.已知函数

,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由.

19.设集合 A={x|x +4x=0,x∈R},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0,x∈R}, (1)若 A∩B=A∪B,求实数 a 的值; (2)若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 20.将长为 12 米的钢筋截成 12 段,做成底面为正方形的长方体水箱骨架,设水箱的高 h,底面边长 x,水箱的表 面积(各个面的面积之和)为 S. (1)将 S 表示成 x 的函数; (2)根据实际需要,底面边长不小于 0.25,不大于 1.25,当底面边长为多少时,这个水箱表面积最小值,并求出 最小面积.

2

2

2

21.已知函数 f(x)=x+ +b(x≠0) ,其中 a、b 为实常数. (1)若方程 f(x)=3x+1 有且仅有一个实数解 x=2,求 a、b 的值; (2)设 a>0,x∈(0,+∞) ,写出 f(x)的单调区间,并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明; (3)若对任意的 a∈[ ,2],不等式 f(x)≤10 在 x∈[ ,1]上恒成立,求实数 b 的取值范围.

上海市闸北区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一.填空题(本大题共 8 题,每题 5 分,满分 40 分) 1.函数 y=(a ﹣3a+1)?a 是指数函数,则 a 等于________.
2 x

2.已知 ab>0,下面四个等式中①lg(ab)=lga+lgb;②lg =lga﹣lgb;③ lg( ) =lg ;④lg(ab)= 正确的命题为________. 3.若函数 f(x)=ax ﹣(a+2)x+1 在区间(﹣2,﹣1)上恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是________.
2

2



4. 已知函数 y=2|x|. 若给出下列四个区间: ①; ②; ③ (0, +∞) ; ④ (﹣∞, 0) , 则存在反函数的区间是________. (将 所有符合的序号都填上) 5.函数 y=log0.5(﹣x +6x﹣5)在区间(a,a+1)上递减,则实数 a 的取值范围是________. 6.若函数 f(x)= 的值域是,则函数 f (x)的值域为________.
﹣1

2

7.已知函数 f(x)=lg

, (x∈R 且 x≠0)有下列命题:

①y=f(x)的图象关于 y 轴对称; ②当 x>0 时,当 x<0 时,y=f(x)是减函数; ③y=f(x)的最小值是 lg2.

其中正确的命题是________. 8.如图所示,某池塘中浮萍蔓延的面积 y(m )与时间 t(月)的关系 y=a ,有以下几种说法: ①这个指数函数的底数为 2; 2 ②第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30m ; 2 2 ③浮萍从 4m 蔓延到 12m 需要经过 1.5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等. 其中正确的命题序号是________.
2 t

二.解答题(本大题共 5 题,满分 60 分) , 9.设集合 A={x|y=lg(x ﹣x﹣2)},集合 B={y|y=3﹣|x|}. (1)求 A∩B 和 A ∪B; (2)若 C={x|4x+p<0},C?A,求实数 p 的取值范围.
2

10.若 2 +4 ﹣4=0,z=4 ﹣2?4 +5,求 z 的取值范围.

x

y

x

y

11.已知函数 f(x)=|lgx|. (Ⅰ)画出函数 y=f(x)的草图,并根据草图求出满足 f(x)>1 的 x 的集合; (Ⅱ)若 0<a<b,且 f(a)>f(b) ,求证:ab<1.

12.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等 风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元 (如图) .

(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系; (2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益为多少 万元?

13.已知函数

(a>0,a≠1) .

(1)若 m=﹣1 时,判断函数 f(x)在 上的单调性,并说明理由; (2)若对于定义域内一切 x,f(1+x)+f(1﹣x)=0 恒成立,求实数 m 的值; (3)在(2)的条件下,当 时,f(x)的取值恰为 ,求实数 a,b 的值.

上海市金山区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填 对得 3 分,否则一律得零分) 1.已知全集 U=R,A={x|x≥2},则?UA=__________. 2.函数 y=lg 的定义域是__________.

3.函数 y=x+ (x>0)的最小值为__________.
2

4.若集合 A={﹣1,0,1},集合 B={x|x=t ,t∈A},用列举法表示 B=__________. 5.若 4 ﹣2
x x+1

=0,则 x=__________.
2

6.已知关于 x 的不等式 x ﹣(a﹣1)x+(a﹣1)>0 的解集是 R,则实数 a 取值范围是__________. 7.已知函数 y=a
x﹣1

+1(a>0,a≠1)的图象经过一个定点,则顶点坐标是__________.

8.已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在

12.设 a+b=3,b>0,则当 a= -

2 时, 3

取得最小值__________.

二、选择题(本大题满分 18 分)本大题共 6 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将 代表答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分. 2 13.下列命题中,与命题“如果 x +3x﹣4=0,那么 x=﹣4 或 x=1”等价的命题是() 2 A.如果 x +3x﹣4≠0,那么 x≠﹣4 或 x≠1 2 B. 如果 x≠﹣4 或 x≠1,那么 x +3x﹣4≠0

C. 如果 x≠﹣4 且 x≠1,那么 x +3x﹣4≠0 2 D.如果 x=﹣4 或 x=1,那么 x +3x﹣4=0 14.己知实数 a,b 满足 ab>0,则“ < 成立”是“a>b 成立”的() A.充分非必要条件 C. 充要条件 B. 必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

2

15.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是() A.a +b >2ab
2 2

B.

C.

D.

16.如图所示曲线是幂函数 y=x 在第一象限内的图象,其中 a=± ,a=±2,则曲线 C1,C2,C3,C4 对应 a 的值依 次是()

a

A. 、2、﹣2、﹣

B.2、 、﹣ 、﹣2

C.﹣ 、﹣2、2、

D.2、 、﹣2、﹣

17.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() A.y=﹣|x|(x∈R) C. B. y=﹣x ﹣x(x∈R) D.
x 3

18.对于函数 f(x) ,若在定义域内存在实数 x,满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,称 f(x)为“局部奇函数”,若 f(x)=4 x+1 2 ﹣m2 +m ﹣3 为定义域 R 上的“局部奇函数”,则实数的取值范围是() A.1﹣ ≤m≤1+ B.1﹣ ≤m≤2 C.﹣2 ≤m≤2 D.﹣2 ≤m≤1﹣

三、解答题(本大题满分 46 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤. 19.本题共有 2 题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 2 分 已知集合 A={x||x﹣1|≤1},B={x|x≥a}. (1)当 a=1 时,求集合 A∩B; (2)若 A?B,求实数 a 的取值范围.

20.已知 a≠0,试讨论函数 f(x)=

在区间(0,1)上单调性,并加以证明.

21.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物总额: (1)如果不超过 500 元,那么不予优惠; (2)如果超过 500 元但不超过 1000 元,那么按标价给予 8 折优惠; (3)如果超过 1000 元,那么其中 1000 元给予 8 折优惠,超过 1000 元部分按 5 折优惠.设一次购物总额为 x 元,优惠后实际付款额为 y 元. (1)试写出用 x(元)表示 y(元)的函数关系式; (2)某顾客实际付款 1600 元,在这次优惠活动中他实际付款比购物总额少支出多少元?

22.已知函数 f(x)=3 +k(k 为常数) ,A(﹣2k,2)是函数 y=f (x)图象上的点. 1 (1)求实数 k 的值及函数 y=f (x)的解析式: 1 1 (2)将 y=f (x)的图象向右平移 3 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,若 2f (x+ ﹣3})﹣g(x)≥1 对任意 的 x>0 恒成立,试求实数 m 的取值范围.

x

1

23.已知集合 H 是满足下列条件的函数 f(x)的全体:在定义域内存在实数 x0,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1)成 立. (1)幂函数 f(x)=x
﹣1

是否属于集合 H?请说明理由; ∈H,求实数 a 的取值范围;
x 2

(2)若函数 g(x)=lg

(3)证明:函数 h(x)=2 +x ∈H.

上海市嘉定区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一.填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每题填对得 3 分,否则一律得零分. 1. (3 分)函数
﹣2

的定义域是________.

2. (3 分)函数 y=x

的单调增区间是________.

3. (3 分)已知 lg2=a,lg3=b,试用 a,b 表示 lg6=________. 4. (3 分)若函数 f(x)=(a﹣1) 是指数函数,则实数 a 的取值范围是________. 5. (3 分)若函数 f(x)= (x>0)是减函数,则实数 m 的取值范围是________.
﹣1 ﹣1

x

6. (3 分)已知函数 f(x)= 7. (3 分)若函数 f(x)=x +
2

(x≥0) ,记 y=f (x)为其反函数,则 f (2)=________. (a 是常数)是偶函数,则 a=________.

8. (3 分)已知函数 y=x ﹣2ax 在区间上的最大值比最小值大 ,则 a= ________.

2

11. (3 分)若函数

在区间(a,b)上的值域是(2,+∞) ,则 logab=________.

12. (3 分)若函数 y=|a ﹣1|(a>0,且 a≠1)的图象与函数 y= 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是________.

x

二.选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须 把正确结论的代号写在题后的圆括号内,每题选对得 3 分,否则一律得零分. 13. (3 分)下列四组函数中,函数 f(x)与 g(x)表示同一个函数的是() A. B.

C. f(x)=x ,g(x)=1

0

D.

14. (3 分)函数 f(x)= A.是奇函数 C. 是非奇非偶函数
x 2

() B. 是偶函数 D.既是奇函数,又是偶函数

15. (3 分)若关于 x 的方程 2 =a 有负实数根,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣1,1) B.(﹣∞,0)∪(0,+∞) C. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

(﹣1,0)∪(0,1)

D.

16. (3 分)已知函数 f(x)对于任意的 x∈R 都有 f(x)<f(x+1) ,则 f(x)在 R 上() A.是单调增函数 B. 没有单调减区间 C. 可能存在单调增区间,也可能不存在单调增区间 D.没有单调增区间

三.解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (8 分)已知集合
2

,集合 B={x||x﹣1|≤4},求 A∩B.
a+2

18. (10 分)已知函数 f(x)=(a ﹣a+1)x 为幂函数,且为奇函数,设函数 g(x)=f(x)+x. (1)求实数 a 的值及函数 g(x)的零点; (2)是否存在自然数 n,使 g(n)=900?若存在,请求出 n 的值;若不存在,请说明理由. 19. (12 分)某科技公司生产一种产品的固定成本是 20000 元,每生产一台产品需要增加投入 100 元.已知年总收 益 R(元)与年产量 x(台)的关系式是 R(x)= (1)把该科技公司的年利润 y(元)表示为年产量 x(台)的函数; (2) 当年产量为多少台时, 该科技公司所获得的年利润最大?最大年利润为多少元? (注: 利润=总收益﹣总成本)

20. (10 分)已知函数 f(x)=k?2 +2 (k 是常数) . (1)若函数 f(x)是 R 上的奇函数,求 k 的值; (2)若对于任意 x∈,不等式 f(x)<1 都成立,求 k 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)= ﹣ (x∈(0,+∞) ) . (1)求证:函数 f(x)是增函数; (2)若函数 f(x)在上的值域是(0<a<b) ,求实数 m 的取值范围; (3)若存在 x∈(1,+∞) ,使不等式 f(x﹣1)>4x 成立,求实数 m 的取值范围.

x

﹣x

上海市宝山区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. (3 分)函数 y=log2(x﹣1)的定义域是________. 2. (3 分)设全集 U=R,集合 S={x|x≥﹣1},则?US=_______. 3. (3 分)设关于 x 的函数 y=(k﹣2)x+1 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是_______. 4. (3 分)已知 x=log75,用含 x 的式子表示 log7625,则 log7625=_______. 5. (3 分)函数 y= 的最大值为_______.

6. (3 分)若函数 f(x)=

﹣a 是奇函数,则实数 a 的值为_______.

7. (3 分)若不等式 x ﹣mx+n<0(m,n∈R)的解集为(2,3) ,则 m﹣n=_______. 8. (3 分)设 α:0≤x≤1,β:m≤x≤2m+5,若 α 是 β 的充分条件,则实数 m 的取值范围是_______. 9. (3 分)设 a,b 均为正数,则函数 f(x)=(a +b )x+ab 的零点的最小值为_______. 10. (3 分)给出下列命题: ①直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象至少有两个公共点; ②函数 y=x 在(0 ,+∞)上是单调递减函数; ③幂函数的图象一定经过坐标原点; ④函数 f(x)=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,1) . ﹣1 ⑤设函数 y=f(x)存在反函数,且 y=f(x)的图象过点(1,2) ,则函数 y=f (x)﹣1 的图象一定过点(2,0) . 其中,真命题的序号为_______.
x﹣2
﹣2

2

2

2

11. (3 分)设函数 f(x) (x∈R)满足|f(x)+(

) |≤ ,且|f(x)﹣(

2

) |≤ .则 f(0)=_______.

2

12. (3 分)若 F(x)=a?f(x)g(x)+b?+c(a,b,c 均为常数) ,则称 F(x)是由函数 f(x)与函数 g(x)所确 定的“a→b→c”型函数.设函数 f1(x)=x+1 与函数 f2(x)=x ﹣3x+6,若 f(x)是由函数 f1 (x)+1 与函数 f2(x) 所确定的“1→0→5”型函数,且实数 m,n 满足 f(m)= f(n)=6,则 m+n 的值为_______. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 12 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表 答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分. 13. (3 分)“a>1”是“a>0”的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分又非必要条件 14. (3 分)函数 y=x+ (x>0)的递减区间为() A.(0,4] B. C.
2
﹣1

15. (3 分)如图为函数 f(x)=t+logax 的图象(a,t 均为实常数) ,则下列结论正确的是()

A.0<a<1,t<0

B.0<a<1,t>0

C.a>1,t<0

D.a>1,t>0

16. (3 分)设 g(x)=|f(x+2m)﹣x|,f(t)为不超过实数 t 的最大整数,若函数 g(x)存在最大值,则正实数 m 的最小值为() A. B. C. D.

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 52 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17. (8 分)解不等式组:



18. (8 分)某“农家乐”接待中心有客房 200 间,每间日租金为 40 元,每天都客满.根据实际需要,该中心需提高 租金.如果每间客房日租金每增加 4 元,客房出租就会减少 10 间. (不考虑其他因素) + (1)设每间客房日租金提高 4x 元(x∈N ,x<20) ,记该中心客房的日租金总收入为 y,试用 x 表示 y; (2)在(1)的条件下,每间客房日租金为多少时,该中心客房的日租金总收入最高? 19. (10 分)已知 f(x)=|x+a|(a>﹣2)的图象过点(2,1) . (1)求实数 a 的值;

(2)如图所示的平面直 角坐标系中,每一个小方格的边长均为 1.试在该坐标系中作出函数 y= 图,并写出(不需要证明)它的定义域、值域、奇偶性、单调区间.

的简

20. (12 分)设函数 f(x)=logm(1+mx)﹣logm(1﹣mx) (m>0,且 m≠1) . (1)判断 f(x)的奇偶性; x (2)当 m=2 时,解方程 f(6 )=1; 2 (3)如果 f(u)=u﹣1,那么,函数 g(x)=x ﹣ux 的图象是否总在函数 h(x)=ux﹣1 的图象的上方?请说明理 由. 21. (14 分)对于四个正数 x,y,z,w,如果 xw<yz,那么称(x,y)是(z,w)的“下位序对”. (1)对于 2,3,7,11,试求(2,7)的“下位序对”; (2)设 a,b,c,d 均为正数,且(a,b)是(c,d)的“下位序对”,试判断 , ,
+ +

之间的大小关系;

(3)设正整数 n 满足条件:对集合{t|0<t<2014}内的每个 m∈N ,总存在 k∈N ,使得(m,2014)是(k,n)的“下 位序对”,且 (k,n)是(m+1,2015)的“下位序对”.求正整数 n 的最小值.

上海市浦东新区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. (3 分)已知集合 A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2},则 A∪B={﹣1,0,1,2,4}. 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算,即可. 解答: 解:∵A={﹣1,1,2,4},B={﹣1,0,2}, ∴A∪B={﹣1,0,1,2,4}, 故答案为:{﹣1,0,1,2,4},

点评: 本题主要考查集合的基本运算比较基础.

2. (3 分)“若

,则

”是真(真或假)命题.

考点: 四种命题. 专题: 不等式的解法及应用;简易逻辑. 分析: 根据不等式的基本性质,结合已知中 ,分析 中两个不等式是否成立,可得答案.

解答: 解:若若 则 x+y>2, xy>1, 故 为真命题,



故答案为:真; 点评: 题考查的知识点是命题的真假判断与应用,说明一个命题为真,需要经过严谨的论证,但要说明一个命题 为假命题,只需要举出一个反例.

3. (3 分)函数

的定义域为[﹣2,1)∪(1,2].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 根据题目中所给函数结构,求使函数有意义的 x 的值,再求它们的交集即可. 解答: 解:要使函数有意义,需满足 ,解得:﹣2≤x≤2 且 x≠1,

所以函数的定义域为:[﹣2,1)∪(1,2]. 故答案为:[﹣2,1)∪(1,2]. 点评: 本题属于以函数的定义为平台,求集合的交集的基础题,也是高考常会考的题型. 4. (3 分)命题“若 x≠3 且 x≠4,则 x ﹣7x+12≠0”的逆否命题是若 x ﹣7x+12=0,则 x=3 或 x=4. 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据四种命题之间的关系写出命题的逆否命题即可. 2 解答: 解:逆否命题是:若 x ﹣7x+12=0,则 x=3 或 x=4; 2 故答案为:若 x ﹣7x+12=0,则 x=3 或 x=4. 点评: 本题考查了四种命题之间的关系,是一道基础题. 5. (3 分)已知 f(x)=x ,g(x)= ,则 f(x)?g(x)=x ﹣2x, (x≥2) .
2 2 2

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,x﹣2≥0,从而化简 f(x)?g(x)即可. 解答: 解:由题意,x﹣2≥0, 故 x≥2; 2 f(x)?g(x)=x(x﹣2)=x ﹣2x, 2 故答案为:x ﹣2x, (x≥2) . 点评: 本题考查了函数的解析式的求法及应用,属于基础题.

6. (3 分)若幂函数 f(x)的图象经过点

,则 f(x)=



考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设幂函数 f(x)=x (α 为常数) ,可得 解答: 解:设幂函数 f(x)=x (α 为常数) , ∵ ,
α α

,解出即可.

解得 α=﹣ . ∴f(x)= 故答案为: . .

点评: 本题考查了幂函数的定义,属于基础题. 7. (3 分)若函数 f(x)=( ) +m 的图象不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣1].
x

考点: 专题: 分析: 解答:

指数函数的图像变换. 函数的性质及应用. 根据指数函数的图象和性质即可得到结论. 解:∵函数 f(x)为减函数,
x

∴若函数 f(x)=( ) +m 的图象不经过第一象限, 则满足 f(0)=1+m≤0,即 m≤﹣1; 故答案为: (﹣∞,﹣1] 点评: 本题主要考查指数函数的图象和性质,比较基础. 8. (3 分)设函数 y=f(x)在区间[﹣2,a]上是奇函数,若 f(﹣2)=11,则 f(a)=﹣11. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数 y=f(x)在区间[﹣2,a]上是奇函数知 a=2;从而解得. 解答: 解:∵函数 y=f(x)在区间[﹣2,a]上是奇函数, ∴a=2; 又∵f(﹣2)=11, ∴f(2)=﹣f(﹣2)=﹣11;

故答案为:﹣11. 点评: 本题考查了函数的性质的应用,属于基础题.

9. (3 分)设 x>0,则 x+

的最小值为



考点: 专题: 分析: 解答: ∴x+

基本不等式. 不等式的解法及应用. 变形利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵x>0, =x+1+ ﹣1 ﹣1= ﹣1,当且仅当 x= ﹣1 时取等号.

故答案为: . 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 10. (3 分)已知 y=f(x)是 R 上的偶函数,且 f(x)在(﹣∞,0]上是增函数,若 f(a)≥f(2) ,则 a 的取值范围 是[﹣2,2]. 考点: 函数单调性的性质;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用偶函数在对称区间上的单调性相反得到 f(x)的单调性,利用单调性去掉抽象不等式的对应 f,解不 等式得到解集. 解答: 解:∵y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数 ∴y=f(x)在[0,+∞)是减函数 ∵f(a)≥f(2) , ∴|a|≤2 ∴a∈[﹣2,2] 故答案为:[﹣2,2] 点评: 本题考查偶函数的单调性:对称区间上的单调性相反;利用单调性解抽象不等式. 11. (3 分)已知关于 x 不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|1<x<2},则不等式 c(2x+1) +b(2x+1)+a>0 的解集为 (﹣ ,0) .
2 2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2 分析: 由题意可得 1,2 是方程 ax +bx+c=0(a<0)的两根,运用韦达定理得到 b=﹣3a,c=2a,代入所求不等式, 再由一元二次不等式的解法,即可得到解集. 2 解答: 解:关于 x 不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|1<x<2}, 2 即有 1,2 是方程 ax +bx+c=0(a<0)的两根, 则 1+2=﹣ ,1×2= , 即有 b=﹣3a,c=2a, 2 不等式 c(2x+1) +b(2x+1)+a>0 即为 2 2a(2x+1) ﹣3a(2x+1)+a>0, 2 即 2(2x+1) ﹣3(2x+1)+1<0, 即有 <2x+1<1,

解得,﹣ <x<0. 则解集为(﹣ ,0) . 故答案为: (﹣ ,0) . 点评: 本题考查一元二次不等式的解法,考查二次方程的韦达定理,考查运算能力,属于基础题和易错题. 12. (3 分)近几年,每年 11 月初,黄浦江上漂浮在大片的水葫芦,严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容 景观.为了解决这个环境问题,科研人员进行科研攻关.如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间 的函数关系图象.假设其函数关系为指数函数,并给出下列说法: ①此指数函数的底数为 2; ②在第 5 个月时,水葫芦的面积会超过 30m ; 2 2 ③水葫芦从 4m 蔓延到 12m 只需 1.5 个月; 2 2 2 ④设水葫芦蔓延至 2m 、3m 、6m 所需的时间分别为 t1、t2、t3,则有 t1+t2=t3; 其中正确的说法有①②④. (请把正确的说法的序号都填在横线上) .
2

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据其关系为指数函数,图象过(4,16)点,得到指数函数的底数为 2,当 t=5 时,s=32>30,利用指对 互化做出三个时间的值,结果相等,根据图形的变化趋势得出命题③错误. 解答: 解:∵其关系为指数函数, 图象过(4,16)点, ∴指数函数的底数为 2,故①正确, 当 t=5 时,s=32>30,故②正确 3.5 4 对应的 t=2,经过 1.5 月后面积是 2 <12,故③不正确; 3 6 ∵t1=1,t2,=log2 ,t3=log2 , ∴有 t1+t2=t3,故④正确, 综上可知①②④正确. 故答案为:①②④. 点评: 本题考查指数函数的变化趋势,解题的关键是题目中有所给的点,根据所给的点做出函数的解析式,从解 析式上看出函数的性质. 二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且只有一 个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 3 分,不选、错选或者选出的代号超过一个 (不论代号是否都写在圆括号内) ,一律得零分. 13. (3 分)下列命题中正确的是() 2 2 A.若 ac>bc,则 a>b B. 若 a >b ,则 a>b C. 若 ,则 a>b D.若 ,则 a>b

考点: 命题的真假判断与应用. 分析: 对于 A,c>0 时,结论成立;对于 B,a=﹣2,b=﹣1,满足 a >b ,但 a<b;对于 C,利用不等式的性质, 可得结论成立; 对于 D,a=﹣1,b=2,满足
2 2 2

,但 a<b,由此可得结论.
2

解答: 解:对于 A,c>0 时,结论成立,故 A 不正确; 对于 B,a=﹣2,b=﹣1,满足 a >b ,但 a<b,故 B 不正确; 对于 C,利用不等式的性质,可得结论成立; 对于 D,a=﹣1,b=2,满足 ,但 a<b,故 D 不正确.

故选 C. 点评: 本题考查命题真假的判断,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 14. (3 分)设命题甲为:0<x<5,命题乙为:|x﹣2|<3,则甲是乙的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 如果能从命题甲推出命题乙,且能从命题乙推出命题甲,那么条件乙与条件甲互为充分必要条件,简称充 要条件,如果只是其中之一,则是充分不必要条件或是必要不充分条件. 解答: 解:∵:|x﹣2|<3, ∴﹣1<x<5, 显然,甲?乙,但乙不能?甲, 故甲是乙的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题主要考查了充要条件,以及绝对值不等式的解法,属于基础题.如果能从命题 p 推出命题 q,且能从 命题 q 推出命题 p,那么条件 q 与条件 p 互为充分必要条件,简称充要条件. 15. (3 分)若集合 M={y|y=2 },P={y|y= A.{y|y>1} B.{y|y≥1}
﹣x

},则 M∩P=() C.{y|y>0} D.{y|y≥0}

考点: 交集及其运算;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先化简这两个集合,利用两个集合的交集的定义求出 M∩P. 解答: 解:∵M={y|y=2 }={y|y>0},P={y|y=
﹣x

}={y|y≥0},

∴M∩P={y|y>0}, 故选 C. 点评: 本题考查函数的值域的求法,两个集合的交集的定义,化简这两个集合是解题的关键.

16. (3 分)函数

的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 证明题. 分析: 先利用函数图象过点(0,1) ,排除选项 CD,再利用当 x=1 时,函数值小于 1 的特点,排除 A,从而选 B 解答: 解:令 x=0,则 =1,即图象过(0,1)点,排除 C、D;

令 x=1,则

= <1,故排除 A

故选 B 点评: 本题主要考查了指数函数的图象和性质, 利用特殊性质、 特殊值, 通过排除法解图象选择题的方法和技巧, 属基础题 三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤.

17. (8 分)解不等式组



考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 分别解不等式 解答: 解:由
2

≤2 与 x ﹣6x﹣8<0,最后取其交集即可. ≥0,解得 x<﹣1 或 x≥1;

2

≤2 得:

由 x ﹣6x﹣8<0 得:3﹣ <x<3+ , ∴不等式组得解集为(3﹣ ,﹣1)∪[1,3+ ) . 点评: 本题考查分式不等式与一元二次不等式的解法,考查集合的交并补运算,属于中档题.

18. (8 分)已知函数

,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由.

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求出函数的定义域,再求出 f(﹣x)并与 f(x)进行比较,根据函数奇偶性的定义判断.

解答: 解:由题意知,函数的定义域是 R, 又∵ ,

∴f(x)为奇函数. 点评: 本题考查了函数奇偶性的判断方法:定义域法,先求出定义域判断是否关于原点对称,再求出 f(﹣x)并 与 f(x)进行比较,再结合定义下结论. 19. (10 分)设集合 A={x|x +4x=0,x∈R},B={x|x +2(a+1)x+a ﹣1=0,x∈R}, (1)若 A∩B=A∪B,求实数 a 的值; (2)若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: (1)解 x +4x=0 可得集合 A,又由 A∩B=A∪B 可得 A=B,即方程 x +2(a+1)x+a ﹣1=0 的两根为 0、 ﹣4,由根与系数的关系可得关于 a 的方程,解可得答案; (2)根据题意,由 A∩B=B 可得 B?A,进而可得 B=?或{0}或{﹣4}或{0,﹣4},分别求出 a 的值,综合可得答案. 2 解答: 解: (1)A={x|x +4x=0,x∈R}={0,﹣4} 若 A∩B=A∪B,则 A=B, 则有 a+1=2 且 a ﹣1=0, 解可得 a=1 (2)若 A∩B=B,则 B?A ∴B=?或{0}或{﹣4}或{0,﹣4}; 2 ①当 B=?时,△ =[2(a+1)]2﹣4?(a ﹣1)<0?a<﹣1 ②当 B={0}时, ?a=﹣1
2 2 2 2 2 2 2

③当 B={﹣4}时,

?a 不存在

④当 B={0,﹣4}时,

?a=1

∴a 的取值范围为(﹣∞,﹣1]∪{1}. 点评: 本题考查集合间的相互关系,涉及参数的取值问题,解(2)时,注意分析 B=?的情况. 20. (12 分)将长为 12 米的钢筋截成 12 段,做成底面为正方形的长方体水箱骨架,设水箱的高 h,底面边长 x,水 箱的表面积(各个面的面积之和)为 S. (1)将 S 表示成 x 的函数; (2)根据实际需要,底面边长不小于 0.25,不大于 1.25,当底面边长为多少时,这个水箱表面积最小值,并求出 最小面积.

考点: 函数模型的选择与应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据长方体的表面积公式即可将 S 表示成 x 的函数; (2)根据表面积对应的函数,结合一元二次函数的性质即可得到结论. 解答: 解: (1)由题得 8x+4h=12…(2 分) 水箱的表面积 S=4xh+2x …(4 分) , ∴S=x(12﹣8x)+2x =﹣6x +12x(5 分) ,
2 2 2 2

…(6 分)

(2)S=﹣6(x﹣1) +6(8 分) x∈[0.25,1.25]…(9 分) , ∴当 …(11 分) 平方米…(12 分)

∴当水箱的高与底面边长都为 0.25 米时,这个水箱的表面积最小,为

点评: 本题主要考查函数的应用问题,根据条件建立函数关系结合一元二次函数的性质是解决本题的关键.

21. (14 分)已知函数 f(x)=x+ +b(x≠0) ,其中 a、b 为实常数. (1)若方程 f(x)=3x+1 有且仅有一个实数解 x=2,求 a、b 的值; (2)设 a>0,x∈(0,+∞) ,写出 f(x)的单调区间,并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明; (3)若对任意的 a∈[ ,2],不等式 f(x)≤10 在 x∈[ ,1]上恒成立,求实数 b 的取值范围.

考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)依题意,原方程可化为 2x +(1﹣b)x﹣a=0,由
2

即可解得 a、b 的值;

(2)当 a>0,x>0 时,f(x)在区间(0, )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数;利用定义证明时,先 设 x1,x2∈( ,+∞) ,且 x1<x2,再作差 f(x2)﹣f(x1)后化积讨论即可; (3)依题意得 ,可解得到 b≤ ,从而可得实数 b 的取值范围.

解答: 解: (1)由已知,方程)=x+ +b=3x+1 有且仅有一个解 x=2, 因为 x≠0,故原方程可化为 2x +(1﹣b)x﹣a=0,…(1 分) 所以 ,…(3 分)解得 a=﹣8,b=9.…(5 分) )上是减函数,在( ,+∞)上是增函数.…(7 分)
2

(2)当 a>0,x>0 时,f(x)在区间(0, 证明:设 x1,x2∈( ,+∞) ,且 x1<x2, f(x2)﹣f(x1)=x2+ ﹣x1﹣

=(x2﹣x1)?



因为 x1,x2∈( ,+∞) ,且 x1<x2, 所以 x2﹣x1>0,x1x2>a, 所以 f(x2)﹣f(x1)>0.…(10 分) 所以 f(x)在( ,+∞)上是增函数.…(11 分)

(3)因为 f(x)≤10,故 x∈[ ,1]时有 f(x)max≤10,…(12 分) 由(2) ,知 f(x)在区间[ ,1]的最大值为 f( )与 f(1)中的较大者.…(13 分)

所以,对于任意的 a∈[ ,2],不等式 f(x)≤10 在 x∈[ ,1]上恒成立,当且仅当





对任意的 a∈[ ,2]成立.…(15 分)

从而得到 b≤ .…(17 分) 所以满足条件的 b 的取值范围是(﹣∞, ].…(18 分) 点评: 本题考查函数恒成立问题,考查函数单调性的判断与证明,考查方程思想与等价转化思想的综合运用,属 于难题.

上海市宝山区 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分. 1. (3 分)函数 y=log2(x﹣1)的定义域是(1,+∞) . 考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 由函数的解析式知,令真数 x﹣1>0 即可解出函数的定义域. 解答: 解:∵y=log2(x﹣1) ,∴x﹣1>0,x>1 函数 y=log2(x﹣1)的定义域是(1,+∞) 故答案为(1,+∞) 点评: 本题考查求对数函数的定义域,熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键. 2. (3 分)设全集 U=R,集合 S={x|x≥﹣1},则?US={x|x<1}. 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 U=R,以及 S,求出 S 的补集即可. 解答: 解:∵全集 U=R,集合 S={x|x≥﹣1}, ∴?US={x|x<1}, 故答案为:{x|x<1}. 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 3. (3 分)设关于 x 的函数 y=(k﹣2)x+1 是 R 上的增函数,则实数 k 的取值范围是(2,+∞) .

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用一次函数时单调递增函数求出参数 k 的范围. 解答: 解:关于 x 的函数 y=(k﹣2)x+1 是 R 上的增函数 所以:k﹣2>0 解得:k>2 所以实数 k 的取值范围为: (2,+∞) 故答案为: (2,+∞) 点评: 本题考查的知识要点:一次函数单调性的应用.属于基础题型. 4. (3 分)已知 x=log75,用含 x 的式子表示 log7625,则 log7625=4x. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质即可得出. 解答: 解:∵x=log75, ∴log7625= =4x,

故答案为:4x. 点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题. 5. (3 分)函数 y= 的最大值为 2.

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先把二次函数转化成标准型,进一步利用定义域求出函数的最值. 解答: 解:函数 =

函数的定义域{x|0<x<4} 所以:当 x=2 时,函数取最小值 所以:ymin=2 故答案为:2 点评: 本题考查的知识要点:二次函数的性质的应用,属于基础题型.

6. (3 分)若函数 f(x)=

﹣a 是奇函数,则实数 a 的值为 1.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数的结论:f(0)=0 列出方程,求出 a 的值即可. 解答: 解:因为奇函数 f(x)= ﹣a 的定义域是 R,

所以 f(0)=

﹣a=0,解得 a=1,

故答案为:1. 点评: 本题考查奇函数的性质的应用,属于基础题. 7. (3 分)若不等式 x ﹣mx+n<0(m,n∈R)的解集为(2,3) ,则 m﹣n=﹣1. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据一元二次不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系,求出 m、n 的值即可. 2 解答: 解:∵不等式 x ﹣mx+n<0(m,n∈R)的解集为(2,3) , 2 ∴对应方程 x ﹣mx+n=0 的两个实数根 2 和 3, 由根与系数的关系, 得 ,
2

∴m﹣n=5﹣6=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了不等式的解法与应用问题,也考查了根与系数的应用问题,是基础题目. 8. (3 分)设 α:0≤x≤1,β:m≤x≤2m+5,若 α 是 β 的充分条件,则实数 m 的取值范围是. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系,进行判断即可. 解答: 解:∵α: 0≤x≤1, β:m≤x≤2m+5, ∴α 是 β 的充分条件, 则 ,





解得﹣2≤m≤0, 故答案为: . 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系是解 决本题的关键.
2 2

9. (3 分)设 a,b 均为正数,则函数 f(x)=(a +b )x+ab 的零点的最小值为﹣ .

考点: 专题: 分析: 解答: x=﹣

函数零点的判定定理. 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2 2 2 2 函数 f(x)=(a +b )x+ab 的零点即方程(a +b )x+ab=0 的解,由基本不等式求最值. 2 2 2 2 解:函数 f(x)=(a +b )x+ab 的零点即方程(a +b )x+ab=0 的解, ≥﹣ ;

当且仅当 a=b 时,等号成立; 故答案为:﹣ .

点评: 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及基本不等式的应用,属于基础题. 10. (3 分)给出下列命题: ①直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象至少有两个公共点; ②函数 y=x 在(0,+∞)上是单调递减函数; ③幂函数的图象一定经过坐标原点; ④函数 f(x)=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,1) . ﹣1 ⑤设函数 y=f(x)存在反函数,且 y=f(x)的图象过点(1,2) ,则函数 y=f (x)﹣1 的图象一定过点(2,0) . 其中,真命题的序号为②④⑤. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①,利用函数的概念(自变量与函数值一一对应)可判断①; ②,利用幂函数的性质可知 y=x 在(0,+∞)上是单调递减函数,可判断②; ﹣1 ③,幂函数 y=x 的图象不经过坐标原点,可判断③; ④,利用指数函数的图象与性质,可判断④; ⑤,依题意,可知函数 y=f (x)的图象过点(2,1) ,从而可判断⑤. 解答: 解:对于①,直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象至多有 1 个公共点; ,故①错误; 对于②,由于﹣2<0,由幂函数的性质可知,函数 y=x 在(0,+∞)上是单调递减函数,故②正确; ﹣1 对于③,幂函数 y=x 的图象不经过坐标原点,故③错误; x﹣2 对于④,函数 f(x)=a (a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,1) ,故④正确; ﹣1 对于⑤,设函数 y=f(x)存在反函数,且 y=f(x)的图象过点(1,2) ,则函数 y=f (x)的图象过点(2,1) , ﹣1 y=f (x)﹣1 的图象一定过点(2,0) ,故⑤正确. 综上所述,真命题的序号为②④⑤. 故答案为:②④⑤. 点评: 本题考查命题的真假判断及应用,综合考查函数的概念、幂函数的单调性质、指数函数的图象与性质及反 函数的概念及应用,属于中档题.
﹣2 ﹣1 ﹣2 ﹣2

x﹣2

11. (3 分)设函数 f(x) (x∈R)满足|f(x)+(

) |≤ ,且|f(x)﹣(

2

) |≤ .则 f(0)=

2



考点: 专题: 分析: 解答:

函数的值. 函数的性质及应用. 利用赋值法求解,最后用不等式的交集求出结果. 解:利用赋值法,

令 x=0,则|f(0)﹣1| 解得: 同理:令 x=0,则|f(0)| 解得: 所以: 即 f(0)=

故答案为: 点评: 本题考查的知识要点:赋值法在函数求值中的应用.属于基础题型. 12. (3 分)若 F(x)=a?f(x)g(x)+b?+c(a,b,c 均为常数) ,则称 F(x)是由函数 f(x)与函数 g(x)所确 定的“a→b→c”型函数.设函数 f1(x)=x+1 与函数 f2(x)=x ﹣3x+6,若 f(x)是由函数 f1 (x)+1 与函数 f2(x) 所确定的“1→0→5”型函数,且实数 m,n 满足 f(m)= f(n)=6,则 m+n 的值为 2.
2
﹣1

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 由新定义,确定 f(x)=x(x ﹣3x+6)+5,利用 f(m)= f(n)=6,可得 m(m ﹣3m+6)=1,n(n ﹣ 3n+6)=7,设 m+n=t,则 m=t﹣n,代入 m(m ﹣3m+6)=1,可得(t﹣n)=1,即 n ﹣(3t﹣3)n +(3t ﹣6t+6)n 3 2 2 ﹣t +3t ﹣6t+1=0,对照 n 的系数,可得 3t﹣3=﹣3,即可得出结论. ﹣1 解答: 解:∵f1(x)=x+1,∴f1 (x)=x﹣1, ﹣1 即 f1 (x)+1=x﹣1+1=x, ﹣1 ∵f(x)是由函数 f1 (x)+1 与函数 f2(x)所确定的“1→0→5”型函数, 2 ∴f(x)=x(x ﹣3x+6)+5, 由 f(m)= f(n)=6 可得 f(m)=6,f(n)=12, 即 m(m ﹣3m+6)=1,n(n ﹣3n+6)=7, 设 m+n=t,则 m=t﹣n, 2 代入 m(m ﹣3m+6)=1,可得(t﹣n)=1, 3 2 2 3 2 即 n ﹣(3t﹣3)n +(3t ﹣6t+6)n﹣t +3t ﹣6t+1=0, 2 对照 n 的系数,可得 3t﹣3=﹣3, ∴t=2 故答案为:2. 点评: 本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,正确换元是关键. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 12 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表 答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分. 13. (3 分)“a>1”是“a>0”的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分又非必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解:若 a>1,则 a>0 成立,
2 2 2 3 2 2 2 2 2

若 a= ,满足 a>0,但 a>1 不成立, 故“a>1”是“a>0”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.

14. (3 分)函数 y=x+ (x>0)的递减区间为() A.(0,4] B. C.

考点: 函数的单调性及单调区间. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 首先根据函数的关系式求出函数的导数,进一步利用 y′<0,求出函数的单调递减区间. 解答: 解:函数 y= 则: 解得:0<x<2 所以函数的递减区间为: (0,2) 故选:D 点评: 本题考查的知识要点:函数的导数的应用,利用函数的导数求函数的单调区间.属于基础题型. 15. (3 分)如图为函数 f(x)=t+logax 的图象(a,t 均为实常数) ,则下列结论正确的是() (x>0)

A.0<a<1,t<0

B.0<a<1,t>0

C.a>1,t<0

D.a>1,t>0

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的图象和性质即可得到答案 解答: 解:因为对数函数 y=t+logax 的图象在定义域内是增函数,可知其底数大于 1, 由图象可知当 x=1 时,y=t<0, 故选:C 点评: 本题考查了对数函数的图象与性质,是基础的概念题. 16. (3 分)设 g(x)=|f(x+2m)﹣x|,f(t)为不超过实数 t 的最大整数,若函数 g(x)存在最大值,则正实数 m 的最小值为() A. B. C. D.

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意知,当 n﹣1≤x+2m<n, (n∈Z)时,f(x+2m)=n﹣1;从而可化简得 2m﹣1<f(x+2m)﹣x≤2m, 再由最值可得 2m≥|2m﹣1|;从而求得. 解答: 解:∵f(t)为不超过实数 t 的最大整数, ∴当 n﹣1≤x+2m<n, (n∈Z)时,f(x+2m)=n﹣1; 故 n﹣1﹣2m≤x<n﹣2m; 故 2m﹣1<f(x+2m)﹣x≤2m; 又∵m>0; 故若函数 g(x)存在最大值,

则 2m≥|2m﹣1|; 故 m≥ ; 故选 D. 点评: 本题考查了绝对值函数与分段函数的应用,属于中档题. 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 52 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17. (8 分)解不等式组:



考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 运用二次不等式和分式不等式的解法,分别求出它们,再求交集即可. 解答: 解:原不等式组可化为 ,

解得



从而有 0<x<2, 所以,原不等式的解集为(0,2) . 点评: 本题考查二次不等式和分式不等式的解法,考查运算能力,属于基础题. 18. (8 分)某“农家乐”接待中心有客房 200 间,每间日租金为 40 元,每天都客满.根据实际需要,该中心需提高 租金.如果每间客房日租金每增加 4 元,客房出租就会减少 10 间. (不考虑其他因素) (1)设每间客房日租金提高 4x 元(x∈N ,x<20) ,记该中心客房的日租金总收入为 y,试用 x 表示 y; (2)在(1)的条件下,每间客房日租金为多少时,该中心客房的日租金总收入最高? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. + 分析: (1)设每间客房日租金提高 4x 元(x∈N ,x<20) ,记该中心客房的日租金总收入为 y,根据条件即可求 出 y 的表达式; (2)利用基本不等式或者一元二次函数的性质求最值即可. 解答: 解: (1)若每间客房日租金提高 4x 元,则将有 10x 间客房空出, ? 故该中心客房的日租金总收入为 y=(40+4x)=40(10+x) , (这里 x∈N 且 x<20) . (2)∵y=40(10+x)≤40( =40×225=9000,
+

当且仅当 10+x=20﹣x,即 x=5 时,y 的最大值为 9000, 即每间客房日租金为 40+4×5=60(元)时,该中心客房的日租金总收入最高,其值为 9000 元. 点评: 本题主要考查函数的应用问题,根据条件建立函数关系,利用基本不等式的性质求最值是解决本题的关 键.本题也可以使用一元二次函数的最值性质解决. 19. (10 分)已知 f(x)=|x+a|(a>﹣2)的图象过点(2,1) . (1)求实数 a 的值; (2)如图所示的平面直角坐标系中,每一个小方格的边长均为 1.试在该坐标系中作出函数 y= 图,并写出(不需要证明)它的定义域、值域、奇偶性、单调区间. 的简

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据图象过点(2,1) ,代入求出 a 的值, (2)根据分段函数分段画的原则,根据函数的图象,我们可以分析出自变量,函数值的取值范围,从而得到定义 域和值域,分析出从左到右函数图象上升和下降的区间,即可得到函数的单调区间 解答: 解: (1)依题意得 f(2)=1, 即|2+a|=1, ∵a>﹣2, ∴2+a=1,解得 a=﹣1,

(2)由(1)可得 f(x)=|x﹣1|,故 y=

=

,即 y=



定义域: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , 值域: , 奇偶性:非奇非偶函数, 单调(递减)区间: (﹣∞,0]. 点评: 本题考查的知识点是分段函数的解析式求法及其图象的作法,函数的定义域及其求法,函数的值域,函数 的图象,其中利用零点分段法求出函数的解析式是解答本题的关键. 20. (12 分)设函数 f(x)=logm(1+mx)﹣logm(1﹣mx) (m>0,且 m≠1) . (1)判断 f(x)的奇偶性; x (2)当 m=2 时,解方程 f(6 )=1; 2 (3)如果 f(u)=u﹣1,那么,函数 g(x)=x ﹣ux 的图象是否总在函数 h(x)=ux﹣1 的图象的上方?请说明理 由.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用;对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)先求出函数 f(x)的定义域为(﹣ , ) ,再确定 f(﹣x)=logm(1﹣mx)﹣logm(1+mx)﹣f(x) 即可; (2)当 m=2 时,f(x)=log2(1+2x)﹣log2(1﹣2x) ,由 f(6 )=1 得 log2(1+2?6 )﹣log2(1﹣2?6 )=1,从 而求解; (3)方法一:注意到 f(x)的定义域为(﹣ , ) .若 m>1,则﹣ <u< ,即 u <1;若 0<m<1,则考虑函 数 F(x)=f(x)﹣x+1,也可得到 u <1;则 g(x)﹣h(x)=(x ﹣ux)﹣(ux﹣1)=(x﹣u) +1﹣u ≥1﹣u > 0,从而证明; 方法二:如同方法一讨论,也可构造函数 G(x)= 即可. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域为(﹣ , ) ,关于原点对称; 又 f(﹣x)=logm(1﹣mx)﹣logm(1+mx)﹣f(x) , 即 f(﹣x)=﹣f(x) , 故 f(x)为定义域(﹣ , )上的奇函数. (2)当 m=2 时,f(x)=log2(1+2x)﹣log2(1﹣2x) , x x x 由 f(6 )=1 得 log2(1+2?6 )﹣log2(1﹣2?6 )=1, x x 去对数得 1+2?6 =2(1﹣2?6 ) , 解得 6 = ,从而 x=﹣1. 经检验,x=﹣1 为原方程的解. (3)方法一:注意到 f(x)的定义域为(﹣ , ) . 若 m>1,则﹣ <u< ,即 u <1; 若 0<m<1,则考虑函数 F(x)=f(x)﹣x+1. 因 logm(1+mx)在(﹣ , )上递减,而 logm(1﹣mx)在(﹣ , )上递增, 故 f(x)在(﹣ , )上递减,又﹣x 在(﹣ , )上递减,所以 F(x)在(﹣ , )上也递减; 注意到 F(0)=1>0,F(1)=f(1)<0, 所以函数 F(x)在(0,1)上存在唯一零点, 即满足 f(u)=u﹣1 的 u∈(0,1) (且 u 唯一) , 2 故 u <1. 2 综上所述,u <1. 2 于是 g(x)﹣h(x)=(x ﹣ux)﹣(ux﹣1) 2 2 2 =(x﹣u) +1﹣u ≥1﹣u >0, 即 g(x)﹣h(x)>0, 即对于任一 x∈R,均有 g(x)>h(x) , 2 故函数 g(x)=x ﹣ux 的图象总在函数 h(x)=ux﹣1 图象的上方. 方法二:注意到 f(x)的定义域为(﹣ , ) .
2 x 2 2 2 2 2 2 x x x

=

﹣m

x﹣1

﹣1,从而同方法一中的方法证明

若 m>1,则﹣ <u< ,即 u <1; 若 0<m<1,设函数 G(x)= 注意到 在(﹣ , )上递增,m
x﹣1

2

=

﹣m

x﹣1

﹣1,

在(﹣ , )上递减,故 G(x)在(﹣ , )上递增,

又 G(0) =1﹣ <0,G(1)=

﹣1>0,

所以函数 G(x)在(0,1)上存在唯一零点,又 G(x)=0, 即 f(x)=x﹣1, 于是,满足 f(u)=u﹣1 的 u∈(0,1) (且 u 唯一) , 故 u <1. 2 综上所述,u <1. 2 于是 g(x)﹣h(x)=(x ﹣ux)﹣(ux﹣1) 2 2 2 =(x﹣u) +1﹣u ≥1﹣u >0, 即 g(x)﹣h(x)>0, 即对于任一 x∈R,均有 g(x)>h(x) , 2 故函数 g(x)=x ﹣ux 的图象总在函数 h(x)=ux﹣1 图象的上方. 点评: 本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题,同时考查了分类讨论的数学思想应用,属于中档题. 21. (14 分)对于四个正数 x,y,z,w,如果 xw<yz,那么称(x,y)是(z,w)的“下位序对”. (1)对于 2,3,7,11,试求(2,7)的“下位序对”; (2)设 a,b,c,d 均为正数,且(a,b)是(c,d)的“下位序对”,试判断 , ,
+ + 2

之间的大小关系;

(3)设正整数 n 满足条件:对集合{t|0 <t<2014}内的每个 m∈N ,总存在 k∈N ,使得(m,2014)是(k,n)的 “下位序对”,且(k,n)是(m+1,2015)的“下位序对”.求正整数 n 的最小值. 考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式. 分析: (1)据新定义,代入计算判断即可; (2)根据新定义得到 ad<bc,再利用不等式的性质,即可判断; (3)由题意得到 ,继而求出 n≥4029,再验证该式对集合{t|0<t<2014}内的每个 m∈N 的每个
+

正整数 m 都成立,继而求出最小值 解答: 解: (1)∵3×7<11×2, ∴(2,7)的下位序对是(3,11) . (2)∵(a,b)是(c,d)的“下位序对”, ∴ad<bc, ∵a,b,c,d 均为正数,故 同理 < . < . ﹣ = >0,即 ﹣ >0,所以 > ;

综上所述, <

(3)依题意,得



注意到 m,n,l 整数,故



于是 2014(mn+n﹣1)≥2014×2015k≥2015(mn+1) , ∴n≥ ,
+

该式对集合{t|0<t<2014}内的每个 m∈N 的每个正整数 m 都成立 ∴n≥ ∵ ∴ ∴ < < < < < =4029, , < ,
+ +



∴对集合{t|0<t<2014}内的每个 m∈N ,总存在 k∈N ,使得(m,2014)是(k,n)的“下位序对”,且(k,n)是 (m+1,2015)的“下位序对”. 正整数 n 的最小值为 4029 点评: 本题考查了新定义的学习和利用,关键掌握读懂新定义,属于难题


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