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2018版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率直线的方程模拟演练理


2018 版高考数学一轮总复习 第 8 章 平面解析几何 8.1 直线的倾斜 角与斜率、直线的方程模拟演练 理
[A 级 基础达标](时间:40 分钟) 1.[2017?安徽模拟]直线 l:xsin30°+ycos150°+1=0 的斜率是( A. 3 3 B. 3 D.- 3 3 )

C.- 3 答案 A

sin30° 3 解析 设直线 l 的斜率为 k,则 k=- = . cos150° 3 3π 2.若经过两点 A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 ,则 y 等于( 4 A.-1 C.0 答案 B -3-2y-1 3π 解析 由 k= =tan =-1,得-4-2y=2,所以 y=-3. 2-4 4 3.[2017?沈阳模拟]直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a,b, B.-3 D.2 )

c 应满足(

) B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0

A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 答案 A

解析 由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形 为 y=- x- .易知- <0 且- >0,故 ab>0,bc<0. 4.若直线 ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在 x 轴,y 轴上的截距之和的最 小值为( A.1 C.4 答案 C 解析 ∵直线 ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1), 1 1 ∴a+b=ab,即 + =1, ) B.2 D.8

a b

c b

a b

c b

a b

b a ?1 1? ∴a+b=(a+b)? + ?=2+ + ≥2+2

?a b?

a b

b a ? =4, a b

当且仅当 a=b=2 时上式等号成立. ∴直线在 x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为 4. 5.直线(1-a )x+y+1=0 的倾斜角的取值范围是(
2

)
1

A.?

?π ,π ? ? ?4 2?

? 3 ? B.?0, π ? ? 4 ? ? π ? ?3 ? C.?0, ?∪? π ,π ? 2 ? ?4 ? ? ? π ? ?π 3 ? D.?0, ?∪? , π ? 4? ?2 4 ? ?
答案 C

解析 直线的斜率 k=-(1-a )=a -1, ∵a ≥0,∴k=a -1≥-1. 由倾斜角和斜率的关系(如图所示),该直线倾斜角的取值范围为
2 2

2

2

?0,π ?∪?3π ,π ?.故选 C. ? ? ? ? 2 ? ?4 ? ?
6.过点 M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________. 5 答案 y=- x 或 x-y+8=0 3 5 解析 (1)当直线过原点时,直线方程为 y=- x; 3 (2)当直线不过原点时,设直线方程为 + =1,即 x-y=a,代入点(-3,5),得 a= a -a -8,即直线方程为 x-y+8=0. 7.[2017?厦门模拟]设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是________. 答案 [-2,2]

x

y

2

解析

b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距如图, 当直线 y=-2x+b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0)
时,b 分别取得最小值和最大值,∴b 的取值范围是[-2,2]. 8.一条直线经过点 A(2,- 3),并且它的倾斜角等于直线 y= 则这条直线的一般式方程是_______________. 答案 3x-y-3 3=0 1 3 1 3

x 的倾斜角的 2 倍,

解析 直线 y=

x 的倾斜角为 30°,

所以所求直线的倾斜角为 60°, 即斜率 k=tan60°= 3. 又该直线过点 A(2,- 3),故所求直线为 y-(- 3)= 3(x-2),即 3x-y-3 3= 0. 9.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的方 程: (1)过定点 A(-3,4); 1 (2)斜率为 . 6 解 +4, 4 (1)设直线 l 的方程为 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴上的截距分别是- -3,3k

k

?4 ? 由已知,得(3k+4)? +3?=±6, ?k ?
2 8 解得 k1=- 或 k2=- . 3 3 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. 1 (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b, 则直线 l 的方程是 y= x+b, 它在 x 轴上的截距是- 6 6b, 由已知,得|-6b?b|=6,∴b=±1, ∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 10.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与线段

PQ 有交点,求 m 的取值范围.

3



解法一:直线 x+my+m=0 恒过点 A(0,-1), -1-1 -1-2 3 =-2,kAQ= = ,当 m≠0 时, 0+1 0-2 2

kAP=

1 3 1 则- ≥ 或- ≤-2. m 2 m 2 1 ∴- ≤m≤ 且 m≠0. 3 2 又 m=0 时,直线 x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,

? 2 1? ∴所求 m 的取值范围是?- , ?. ? 3 2?
解法二:过 P、Q 两点的直线方程为 2-1 1 4 7m (x+1),即 y= x+ ,代入 x+my+m=0,整理得 x=- , 2+1 3 3 m+3 7m 2 1 ≤2,解得- ≤m≤ , m+3 3 2

y-1=

由已知-1≤-

? 2 1? 即 m 的取值范围是?- , ?. ? 3 2?
[B 级 知能提升](时间:20 分钟) 11.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直 线 AB 的方程为( ) B.y-1=-3(x-3) D.y-3=-3(x-1) A.y-1=3(x-3) C.y-3=3(x-1) 答案 D 解析 因为 AO=AB,所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数,所以 kAB=-kOA =-3,所以直线 AB 的点斜式方程为:y-3=-3(x-1). 12. [2017?大庆模拟]两直线 - =a 与 - =a(其中 a 为不为零的常数)的图象可能是 ( )

x y m n

x y n m

4

答案 B 解析 直线方程 - =a 可化为 y= x-na,直线 - =a 可化为 y= x-ma,由此可知 两条直线的斜率同号. 13.若 ab>0,且 A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________. 答案 16 解析 根据 A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为 + =1,又 C(-2,-2)在该直线上, 故 -2 -2 + =1,所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0.

x y m n

n m

x y n m

m n

x y a b

a

b

根据基本 ( 均值 ) 不等式 ab =- 2(a + b)≥4 ab ,从而 ab ≤0(舍去 ) 或 ab ≥4,故

ab≥16,当且仅当 a=b=-4 时取等号,即 ab 的最小值为 16.
14.过点 P(2,1)作直线 l,与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,求: (1)△AOB 面积的最小值及此时直线 l 的方程; (2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l 的方程; (3)求|PA|?|PB|的最小值及此直线 l 的方程. 解 (1)解法一:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2),

则可得 A?

?2k-1,0?,B(0,1-2k). ? ? k ?

∵与 x 轴,y 轴正半轴分别交于 A,B 两点, 2k-1 ? ? >0, ∴? k ? ?1-2k>0 ? k<0.于是

S



AOB



1 1 2k- 1 1 ? 1 1 4- -4k? ?|OA|?|OB| = ? ?(1 - 2k) = ≥ ? ? 2 2 k 2 ? k 2 ?

? ?4+2 ?

?-1???-4k?? ?=4. ? k? ? ? ?

1 1 当且仅当- =-4k,即 k=- 时,△AOB 面积有最小值为 4,此时,直线 l 的方程为 y k 2 1 -1=- (x-2),即 x+2y-4=0. 2

5

解法二:设所求直线 l 的方程为 + =1(a>0,b>0), 2 1 则 + =1.

x y a b

a b

2 1 又∵ + ≥2

a b

? ab≥4,当且仅当 = = ,即 a=4,b=2 时,△AOB 面积 S= ab ab 2 a b 2 2

2

1

2

1 1

1

有最小值为 4. 此时,直线 l 的方程是 + =1,即 x+2y-4=0. 4 2 (2)解法一:∵A? ∴截距之和为 2k-1 1 +1-2k=3-2k- ≥3+2

x y

?2k-1,0?,B(0,1-2k)(k<0), ? ? k ? ? 1? ?-2k???- ?=3+2 2. ? k?

k

k

1 2 当且仅当-2k=- ,即 k=- 时,等号成立. k 2 故截距之和最小值为 3+2 2, 此时 l 的方程为 y-1=- =0. 2 1 解法二:∵ + =1, 2 (x-2), 即 2x+2y-2-2 2 2

a b

2b a ?2 1? ∴截距之和 a+b=(a+b)? + ?=3+ + ≥3+2

?a b?

a

b

2b a ? =3+2 2.

a

b

2b a 此时 = ,求得 b= 2+1,a=2+ 2.

a

b

此时,直线 l 的方程为 + =1, 2+ 2 2+1 即 2x+2y-2-2 2=0. (3)解法一:∵A? ∴|PA|?|PB|=

x

y

?2k-1,0?,B(0,1-2k)(k<0), ? ? k ?
1

k

2

+1? 4+4k =

2

4

k

2

+4k +8≥

2

2?

4

k2

?4k +8=4.

2

4 2 当且仅当 2=4k ,即 k=-1 时上式等号成立,故|PA|?|PB|最小值为 4,此时,直线 l

k

的方程为 x+y-3=0. 1 解法二:设∠OAB=θ ,则|PA|= , sinθ |PB|= 2 2 = , sin?90°-θ ? cosθ 2 4 π = ,当 sin2θ =1,θ = 时,|PA|?|PB| 取得最小 sinθ cosθ sin2θ 4

∴|PA|?|PB|=

6

值 4,此时直线 l 的斜率为-1,又过定点(2,1), ∴其方程为 x+y-3=0.

7


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