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上海师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题


上师大附中 2015 学年第一学期期中考试 高二年级 数学学科 满分:150 分)

(考试时间:120 分钟

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 直线 2 x ? y ? 3 ? 0 关于 x 轴对称的直线方程为________. 2. 向量 a ?

(3, 4) 在向量 b ? (1,0) 方向上的投影为____ __. 3. 已知向量 a ? (1, ?2), b ? ( x, 2) ,若 a ? b ,则 b =________.
1 ?1 2 ? x ? y ? _______. 4. 已知一个关于 x , y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ? ? ? ,则 ?0 1 2?

?

?

?

?

?

?

?

5. 若 ?

? 2 0 ?? x ? ? ?2 ? ?? ? ? ? ? ,则 x ? y ? ? ?1 3 ?? y ? ? 10 ?



6. 若 a 、 b 、 c 是两两不等的三个实数,则经过 P(b, b ? c) 、 Q(a, c ? a) 两点的直线的倾斜 角 为__ 7. 若行列式 1
1

____.(用弧度制表示)
x x 2 ? 0 ,则 1 ?3 9 2 4

x?



8. 直线 Ax+3y+C=0 与直线 2x-3y+4=0 的交点在 y 轴上,则 C 的值为________. 9. 已知平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点, AM ? mAB , AN ? nAD ( m ? n ? 0 ), 若 MN / / BE ,则
???? ? ??? ?
???? ? ??? ? ???? ????

n =______________. m

10. 已知直线 2 x ? y ? 2 ? 0 和 m x ? y ? 1 ? 0 的夹角为 11. 下面结论中,正确命题的个数为_____________.

? ,则 m 的值为 4

.

①当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2? l1∥l2. ②如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1. ③已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数),若 直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0. |kx0+b| ④点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 . 2 1+k ⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. 1 ⑥若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于- ,且线段 AB 的中

k

点在直线 l 上. 12. 直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的取值范围是_____________. 13. 如图,△ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,AC=3,BC= 7, → → 则AO·BC=________. 14.设 A 是平面向量的集合, a 是定向量,对 x ? A , 定义 f ( x ) ? x ? 2(a ? x ) ? a .现给出如下四个向量:

?

?

?

?

? ?

?

? 1 3 ?. 2 2 ? ,④ ? ? ? ? 2 2 ? ,③ ? ? ① a ? (0 , 0) ,② a ?? , ? ? ? ? a ? a ? , ?? , ? 2 2 ? ? 2 ? 4 2 ? 4 ? ? ? ? ? ? ?
那么对于任意 x 、 y ? A ,使 f ( x ) ? f ( y) ? x ? y 恒成立的向量 a 的序号是_______(写出满足 条件的所有向量 a 的序号) . 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15. “ a ? 2 ”是“直线 2 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 平行”的【 (A)充要条件 (B)充分不必要条件 】

?

?

?

?

? ?

?

?

(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

a1 b1 c1 ? 16.已知关于 x、 y 的二元一次线性方程组的增广矩阵为 ? ? ?, a b c ? 2 2 2?
记 a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ), c ? (c1, c2 ) ,则此线性方程组有无穷多组解 的充要条件是【 】

?

?

?

(A) a ? b ? c ? 0 (C) a / /b

?

? ? ?

?

(B) a、、 b c 两两平行 (D) a、、 b c 方向都相同 】

? ? ?

?

? ? ?

17.如图所示是一个循环结构的算法,下列说法不正确的是【 ( A )①是循环变量初始化,循环就要开始 ( B )②为循环体 ( C )③是判断是否继续循环的终止条件 ( D )输出的 S 值为 2,4,6,8,10,12,14,16,18.

18.如图,由四个边长为 1 的等边三角形拼成一个边长为 2 的等边三角形,各顶点依次为 ( i, j ?{1,2,3,?,6} )的值组成的集合为【 A1, A2 , A3 ,?, A6 ,则 A1 A2 ? Ai A j , 】

( A)

?? 2、 ? 1、 0、 1、 2?

1 1 ? ? ( B ) ? ? 2、 ? 1、 ? 、 0、 、 1、 2? 2 2 ? ? 3 1 1 3 ? ? ( D) ?? 2、 ? 、 ? 1、 ? 、 0、 、 1、 、 2? 2 2 2 2 ? ?

1 1 3? ? 3 (C ) ? ? 、 ? 1、 ? 、 0、 、 1、 ? 2 2 2? ? 2

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题 务必写在答题纸上规定位置. 19. (本题满分 12 分) 中秋节前几天,小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会,热心的小毛受班级同学委托,去一 家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物:中国结、记事本和笔袋(每种礼物的品种和 单价都相同) . 三个小组给他的采购计划各不相同,各种礼物的采购数量及价格如下表所示:

为了结账,小毛特意计算了各小组的采购总价(见上表合计栏) ,可是粗心的小毛却不慎抄错 了其中一个数字.第二天,当他按照自己的记录去向各小组报销的时候,有同学很快发现其 中有错.发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价,那么他是如何作出判断的呢?请你用 所学的行列式的知识对此加以说明.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知 ?ABC 的顶点 A(1,3) , AB 边上的中线所在的直线方程是 y ? 1 ,AC 边上的高所在的 直线方程是 x ? 2 y ? 1 ? 0 .

求: (1)AC 边所在的直线方程; (2)AB 边所在的直线方程. 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 在 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 两 点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ; x1 , x2 是 一 元 二 次 方 程

2 x 2 ? 2ax ? a 2 ? 4 ? 0 两个不等实根,且 A 、 B 两点都在直线 y ? ? x ? a 上.
(1)求 OA? OB ; (2) a 为何值时 OA 与 OB 夹角为

??? ? ??? ?

? . 3

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第,3 小题满 分 6 分. 已知 O 为 ?ABC 的外心,以线段 OA 、OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为 D ,再 以 OC 、OD 为邻边作平行四边形,它的第四个顶点为 H . (1) 若 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OH ? h ,试用 a 、 b 、 c 表示 h ; (2) 证明: AH ? BC ; (3) 若 ?ABC 的 ?A ? 60 , ?B ? 45 ,外接圆的半径为 R ,用 R 表示 h .
? ?

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

? ????

?

?

?

?

?

????

??? ?

?

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,每小题满分 6 分. 如图, 射线 OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为 d1 点 P 在 ?AOB 内, PM ? OA 于 M , PN ? OB 于 N .

? (1, k ) 、d2 ? (1,?k ) ( k ? 0 ) ,
y M A

?3 1? (1)若 k ? 1 , P? , ? ,求 | OM | 的值; ?2 2?
(2)若 P?2,1? ,△ OMP 的面积为

P

6 ,求 k 的值; 5 1 ? , k

O
B

x
N
第 23 题

(3)已知 k 为常数, M 、 N 的中点为 T ,且 S ΔMON

当 P 变化时,求 | OT | 的取值范围.

上师大附中 2015 学年第一学期期中考试 高二年级 数学学科参考答案 (考试时间:120 分钟 满分:150 分)

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 2 x ? y ? 3 ? 0 9. 2 10. ? 2. 3 3.

2 5

4. 2 5. 2

6.

? 4

7. 2 或 ?3

8.-4

1 或3 3

11. 3

5 ? ? ? 5? 12. ?0 , ? ? [ , ? ) . 13. 2 6 ? 6?

14. ①③④

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的.必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得 5 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15. B 16. B 17. 18. D

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题

务必写在答题纸上规定位置. 19. (本题满分 12 分) 解:设中国结每个 x 元,记事本每本 y 元,笔袋每个 z 元,由题设有

2 1 0 ? 2 x ? y ? 10 ? ? x ? 3 y ? z ? 10 ,因为 D ? 1 3 1 ? 0 ,则方程组有无穷多组解或无解, ? 5 y ? 2 z ? 30 0 5 2 ? 10 1 0
又 Dx ? 10

2 10 0

2 1 10

3 1 ? 20 ? 0 , Dy ? 1 10 1 ? ?40 ? 0 , Dz ? 1 3 10 ? 100 ? 0 , 30 5 2 0 30 2 0 5 30

从而该方程组无解。 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)由题意,直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的一个法向量 (1, ?2) 是 AC 边所在直线的一个方向向量

?AC 边所在直线方程为 2x+y-5=0.
(2)y=1 是 AB 中线所在直线方程

?设 AB 中点 P ( xp ,1) ,则 B (2xp ?1, ?1) 满足方程 x ? 2 y ? 1 ? 0 ? (2xp ?1) ? 2 ? (?1) ?1 ? 0 ,得 xp ? ?1 , ?P(-1,1)
则 AB 边所在直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 . 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)? x1 、 x2 是方程 2 x ? 2ax ? a ? 4 ? 0 两个不等实根,
2 2

? ? ? 4a 2 ? 8(a 2 ? 4) ? 0
x1 x2 ? 1 2 (a ? 4) , x1 ? x2 ? a 2

解之 ? 2 2 ? a ? 2 2

又? A 、B 两点都在直线 y ? ? x ? a 上, ? y1 y2 ? (? x1 ? a)(? x2 ? a) ? x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2

?

1 2 ( a ? 4) 2

?OA? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? a2 ? 4
a ? 8 ? a2 a ? 8 ? a2 , x2 ? 2 2

(2)由题意设 x1 ?

a ? 8 ? a2 ? y1 ? ? x1 ? a ? ? x2 ,同理 y2 ? x1 2

2 2 ? OA OB ? ( x12 ? y12 )(x 2 ? y2 ) ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 4 2

当 OA 与 OB 夹角为

? ? 1 时, OA ? OB ? OA OB cos ? 4 ? ? 2 3 2 3

? a 2 ? 4 ? 2 解之 a ? ? 6 ? (?2 2,2 2 ) ? a ? ? 6 即为所求.
22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第,3 小题满 分 6 分. 解:(1) 由平行四边形法则可得: OH ? OC ? OD ? OC ? OA ? OB ,即 h ? a ? b ? c ; (2) ? O 是 ?ABC 的外心,? OA ? OB ? OC , 而

????

??? ? ????
????

??? ? ??? ? ??? ?


?

? ? ?

??? ?

??? ?

? ? ? a?b?c,

???? ???? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? AH ? OH ? OA ? h ? a ? b ? c , BC ? OC ? OB ? c ? b ,

? AH ?BC ? (b ? c)?(c ? b) ? c ? b ? 0 , ? AH ? BC ;
???? ??? ?
在 ?ABC 中, O 为 ?ABC 的外心, ?A ? 60? , ?B ? 45? ,

???? ??? ?

? ?

? ?

?2

?2

? ?BOC ? 120? , ?AOC ? 90? ,
于是

?AOB ? 150? ,

? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?2 ? ? ?? ?? h ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? 2a? b ? 2b? c ? 2c? a
? ? ? ? ? ? ? 3R 2 ? 2 a ? b ? cos150? ? 2 b ? c ? cos90? ? 2 c ? a ? cos120?

? (2 ? 3) R2 ,

? h?

?

? 6? 2 R .( h ?? (2 ? 3) R ) 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,每小题满分 6 分. 【解】(1)当 k ? 1 时, lOA : y ? x ,所以 kMP ? ?1 ,又因为 P?

?3 1? , ?, ?2 2?

所以 lPM : y ?

3 1? ? ? ?? x ? ? ,即 x ? y ? 2 ? 0 , 2 2? ?

由?

?x ? y ? 0 ?x ? 1 ,解得 ? ,即 M (1,1) ,所以 | OM |? 2 . ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 1

(2)设 M (a, ka) ,则 OM ? (a, ka) , PM ? (a ? 2, ka ? 1) ,

由 PM ? OM 得 OM ? PM ? 0 ,即 a(a ? 2) ? ka(ka ? 1) ? 0 , 解得 a ? 0 (舍去) ,a ?

? 2 ? k k 2 ? 2k ? 2?k ? ,所以 M ?1? k 2 , 1? k 2 ? ? 1? k 2 ? ?

0 2 k?2 k 2 ?1

0 1 1 | (2k ? 1)( k ? 2) | 6 2k 2 ? 3k ? 2 ? , S ΔOPM ? ? 1 1? 2 2 2 2 5 1 ? k 1 ? k k ? 2k 1 k 2 ?1

1 11 (2k ? 1)( k ? 2) 12 2 ? ,则 ,化简得 2k ? 15k ? 22 ? 0 ,解得 k ? 2 或 ; 2 1? k 5 2 2 1 (1 ? 2k )( k ? 2) 12 1 2 ? , ② 若0 ? k ? , 则? 化简得 22k ? 15k ? 2 ? 0 , 解得 k ? ? 或 2 2 5 2 1? k 2 ? ,均不合题意. 11 11 综上①②可得, k 的值为 2 或 . 2
① 若k ? (3)设 T ( x, y ) , M (a, ka) 、 N (b,?kb) ( a ? 0 , b ? 0 , k ? 0 ) , 根据题意可知: | OM |? a 1 ? k 2 , | ON |? b 1 ? k 2 其中 sin ?MON ?

2k 1? k 2

S ΔMON ?

1 1 1 | OM | ? | ON | sin ?MON ? ,即 ab ? 2 ??(*) 2 k k

a?b ? x? ? ? 2 , ? k ( a ? b ) ?y ? ? 2 ?
1 ? a ? b ? ? k ( a ? b) ? OT ? ? ? ?? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ?
2 2

?a

2

? b 2 1 ? k 2 ? 2ab 1 ? k 2

??

?

?

?

?

1 1 2ab 1 ? k 2 ? 2ab 1 ? k 2 ? (当且仅当 a ? b 时,等号成立) 2 k

?

?

?

?

所以 OT 的取值范围是 ? ,?? ? . ?k ?

?1

?


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