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2011届高三数学模拟冲刺检测试题3


2011 广东高考数学模拟冲刺(三) 一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.幂函数 y ? f ( x ) 的图像经过点 ( , 4) ,则 f ( ) 的值为 ( ) A. 1 B.4 C.9 D.16

1 2

1 3

2.若集合 A ? {0 , m 2 } , B ? {1 , 2} ,则“ m ? 1 ”是“ A ? B ? {0 , 1 , 2} ”的 ( ) A.充要条件 C.必要不充分条件
[来源:Ks5u.com ]

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

3.在以下关于向量的命题中,不正确的是 A.若向量 a ? (x , y ) ,向量 b ? (?y, x )( ? x , y ? 0) ,则 a ? b B.在 ?ABC 中, AB 和CA 的夹角等于角 A C.四边形 ABCD 是菱形的充要条件是 AB ? DC ,且 | AB |?| AD | D.点G 是 ?ABC 的重心,则GA ? GB ? GC ? 0 4.在 ?ABC中,若 AB ? BC ? AB ? 0, 则?ABC 是 ( A.锐角三角形 B.直角三角形

?

?

?

?

??? ?

???

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ?2

) D. 等腰直角三角形

C.钝角三角形

5.已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? a ? 2cos ? (θ 为参数),曲线 C 不经过第二象限,则实 ? y ? 2sin ?
C. a≥1 D. a<0

数 a 的取值范围是( ) A. a≥2 B. a>3

6. 定义在 [?2, 2] 的函数满足 f (? x ) ? ? f ( x ) , 且在 [0, 2] 上是增函数, 若 f (1 ? m) ? f (m) 成立,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.

1 ?m?2 2

B. ?1 ? m ? 3

C. ?1 ? m ?

1 2

D. m ?

1 2

7.已知 a ? 1 , b ? 1 ,且 A.有最大值 e
2

1 1 ln a , , ln b 成等比数列,则 ab () 4 4
B.有最小值 e C.有最大值 e D.有最小值 e

y2 8.已知双曲线 C: x ? 2 ? 1 (b ? 0) ,过点 M(1,1)能作直线 l 交双曲线 C 于 A、B 两点, b
使得 M 是线段 AB 的中点,则实数 b 取值范围为( A. (1, 2) B. (?1, 0) ? (0,1) ) D. (1, ??)

C. (0,1)

9.函数 y ? sin x ? sin(

? ? x) 具有性质 3 ? A.图象关于点( ? ,0)对称,最大值为 1 3 ? B.图象关于点( ? ,0)对称,最大值为 2 6 ? C.图象关于点( ? ,0)对称,最大值为 2 3 ? D.图象关于直线 x= ? 对称,最大值为 1 3

?x ? 2 ? 0 y ?1 ? 10.已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域内运动,则 z ? 的取 x ?1 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
值范围是 A. [ ,2]
高考资源 网]

1 3

B. ( ??, ] ? [ 2,?? )

1 3

C. ( ??, ) ? ( 2,?? )

1 3

D . [ , 2)

1 3

[ 来 源:

ex 11.(理)函数 y ? 的图象大致是 x

A.

B.

C.

D.

(文)设偶函数 f ( x ) 在 [0, ? ?) 上为增函数,且 f (2) ? f (4) ? 0 ,那么下列四个命题中一 定正确的是 A. f (3) ? f (5) ? 0 B. f (?3) ? f (?5) C.函数在点 (?4, f (?4)) 处的切线斜率 k1 ? 0 D.函数在点 (4, f (4)) 处的切线斜率 k2 ? 0

12 .将面积为 2 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使二面角 D-AC-B 的大小为

? (0 0 ? ? ? 180 0 ) ,则三棱锥 D-ABC 的外接球的体积的最小值是
A.

8 2? 3

B.

32? 3

C.

4? 3

D.与 ? 的值有关的数

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(文)某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为 2∶3∶5,现用 分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 16 件,那么此样本的容量 n =______. (理) 某年级举行校园歌曲演唱比赛, 七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如右图所示, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 , .

14.直线 y ? kx ? b与曲线y ? x ? ax ? 1 相切于点(2,3) ,则 b 的值为:
3

.

15. (理)由曲线 y ? x , y ? ? x , x ? 2 , x ? ?2 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得的旋 转体的体积为 V1 ;满足 x ? y ? 4 , x ? ( y ? 1) ? 1 , x ? ( y ? 1) ? 1 的点组成的图形绕
2 2 2 2 2 2

y 轴 旋 转 一 周 所 得 的 旋 转 体 的 体 积 为 V2 , 试 写 出 V1 与 V2 的 一 个 关 系 式

V1 : V2 =



? y ? 1, ? (文)已知 x,y 满足约束条件 ? y ? x, 那么 z ? x ? 3 y 的最小值为 . ?2 x ? y ? 6 ? 0, ?
16.已知数列 ? an

? 是各项均为正整数的等差数列,公差 d ? N* ,且 ? an ? 中任意两项之和


也是该数列中的一项. (1)若 a1 ? 4 ,则 d 的取值集合为

(2)若 a1 ? 2m ( m ? N? ) ,则 d 的所有可能取值的和为 三、解答题(共 6 个小题,共 70 分)



17. 在 ?ABC 中, 角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c .若 cos C ? ?

2 5 ,cos B ? . 10 5

(1)求 cos A 的值; (2)若 a ?

2 ,求 ?ABC 的面积.

18.某高校 2010 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组: 第 1 组[160, 165) , 第 2 组[165, 170) , 第 3 组[170, 175) , 第 4 组[175, 180) , 第 5 组[180, 185)得到的频率分布直方图如图所示。 ⑴求第 3、4、5 组的频率; ⑵为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? ⑶在⑵的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求:第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率?

19. (文)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, AB= AD=2PA, E、F 分别是 PB、PC 的中点. ⑴证明:EF∥平面 PAD; ⑵求直线 CE 与直线 PD 所成角的余弦值.

(理)直三棱柱 ABC -A1B1C1 中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点 D 在 AB 上. (Ⅰ)求证:AC⊥B1C; (Ⅱ)若 D 是 AB 中点,求证:AC1∥平面 B1CD;

(Ⅲ)当 C1 B1

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 3
A1

C B D

A

20. (文)已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表: 甲 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg) 60 80 11 乙 70 40 9 丙 40 50 4

现分别用甲、乙、丙三种食物配成 10kg 混合食物,并使混合食物内至少含有 560 单位维生 素 A 和 630 单位维生素 B. ⑴若混合食物中恰含 580 单位维生素 A 和 660 单位维生素 B,求混合食物的成本为多少元? ⑵分别用甲、 乙、 丙三种食物各多少千克, 才能使混合食物的成本最低?最低成本为多少元? (理)某校组织“上海世博会”知识竞赛.已知学生答对第一题的概率是 0.6,答对第二题 的概率是 0.5,并且他们回答问题相互之间没有影响. (I) 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率; (Ⅱ)记 ? 为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数,求 ? 的分布列及数学期望

E? .

21..已知数列 {an }的前n项和为Sn , 且对任意正整数 n总有S n ? p(an ? 1) (p 为常数,且

p ? 0, p ? 1 ) ,数列 {bn }满足bn ? kn ? q (q 为常数)
⑴求数列 {an } 的通项公式(用 p 表示) ; ⑵若恰好存在唯一实数 p 使得 a1 ? b1 , a3 ? b3 , 求实数 k 取值的集合。 22.已知椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b 2 ,过椭圆上一点 P 引圆 O 的 2 a b

两条切线,切点分别为 A , B .

(Ⅰ) (ⅰ)若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e ; (ⅱ)若椭圆上存在点 P ,使得 ?APB ? 90? ,求椭圆离心率 e 的取值范围; (Ⅱ)设直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M , N ,求证:

a2 ON
2

?

b2 OM
2

为定值.

参考答案 一、选择题

1-5 CBBBA 5-10,ABCAD, 11-12 D(D)C 二、填空题 13 答案:(文)80(理) 85,3.2

19.(文)解: (Ⅰ) 在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴ EF∥AD, 又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,

(Ⅱ)若 D 是 AB 中点,求证:AC1∥平面 B1CD;

(Ⅲ)当

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 3

所以 AC1∥平面 B1CD. 分 (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知 AC⊥BC, 所以如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz. 则 B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 0, c),B1 (3, 0, 4). 设 D (a, b, 0)( a ? 0 , b ? 0 ) ,

………………………9

z C1
[ 来源:

??? ? 1 ??? ? BD 1 因为 点 D 在线段 AB 上,且 ? , 即 BD ? BA . AB 3 3
学.

A1

B1

? 4 ??? 4 , BD ? ( ?1, , 0) . 3 3 ???? ??? ? ??? ? 4 所以 B1C ? (3, 0, 4) , BA ? ( ?3, 4, 0) , CD ? (2, , 0) . 3 ?? ? 平面 BCD 的法向量为 n 1 ? (0, 0,1) .
所以 a ? 2 , b ? 设平面 B1 CD 的法向量为 n 2 ? ( x, y,1) ,

C B x D

A

y

?? ?

?3 x ? 4 ? 0 ???? ??? ??? ? ?? ? ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ? , 4 2 x ? y ? 0 ? 3 ? ?? ? 4 4 所以 x ? ? , y ? 2 , n 2 ? ( ? , 2,1) . 3 3
设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 ? ,

所以

?? ? ?? ? n1 ? n 2 3 cos ? ? ?? . ? ??? ? 61 n1 n 2
以 二 面 角



B ? CD ? B1











3 61 . 61
20.

………………………14 分

解法二:设分别用甲、乙、丙三种食物 xkg,ykg,zkg,混合食物的成本为 p 元,则

? x ? y ? z ? 10 ?4 x ? 6 y ? 32 ?60 x ? 70 y ? 40 z ? 560 ? ? ,即 ?3 x ? y ? 13 . ? ? x ? 0, y ? 0 ?80 x ? 40 y ? 50 z ? 630 ? ? x ? 0, y ? 0, z ? 0 ? 且 p ? 11x ? 9 y ? 4 z ? 7 x ? 5 y ? 40 .

(7 分)

(8 分)

21.

(||)

∴e ?

2 . 2
?

(ⅱ)由 ?APB ? 90 及圆的性质,可得 OP ? ∴ OP ? 2b ? a , ∴ a 2 ? 2c 2 ∴ e2 ?
2 2 2

2b ,

2 1 , ? e ? 1. 2 2

---------------- 6 分


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